抓特征 明方向 优策略 提素养——从一道解析几何高考题的解题说起

抓特征 明方向 优策略 提素养——从一道解析几何高考题的解题说起

王成维

浙江省慈溪市浒山中学

摘要：本文从一道高考试题的来源说起，经历从剖析问题的特征和明确解题的方向，将平时积累的经验进行迁移，揭示出问题本质，优化解题策略，培养数学素养．

关键词：问题本质；核心素养

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“课程标准”）指出：“全面落实立德树人要求，深入挖掘数学学科的育人价值，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程．” 因此，在平时的教育教学过程中，要落实核心素养的培养．那么，我们在解题教学中如何落实呢？笔者认为，高考数学试题既考查学生对基础知识和方法的掌握，又考查对数学思想和本质的理解．如果我们在解题中能挖掘背景，抓住特征，明确方向，从而达到优化计算．下面笔者通过对一道浙江高考试题的探究与剖析，就“如何研究学生在解题过程中，抓住问题本质，优化解题策略，提升核心素养”与大家一起探讨．

1试题呈现

题目1 已知点 为抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物线于 、 两点，点 在抛物线上，使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴于点 ，且 在点 的右侧．记 ， 的面积分别为 ， ．求 的最小值及此时点 的坐标．

(2019年浙江省数学高考试题改编)

2 命题意图与试题来源

2.1 命题意图

高考试题中，通过平面图形的展现是解平面解析几何问题的关键，并通过严密的计算来解决问题，既体现了数形结合思想的应用，也考查了直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象等数学素养．

2.2 试题来源

对平面解析几何的内容，学生普遍感觉运算大且以易算错．但不管怎么考，笔者发现，在以往的高考或模拟试题中，还是有轨迹可循的，如：

题目2 设抛物线 的焦点为 ，抛物线上的点 到 轴的距离等于 ．

（Ⅰ）求 的值；

（Ⅱ）若直线 交抛物线于另一点 ，过点 与 轴平行的直线和过点 与 垂直的直线交于点 ， 与 轴交于点 ，求点 的横坐标的取值范围．

(2016年浙江省数学高考试题（文）)

3 问题的探究与解答

一）理清思路，明确方向

对解析几何的解答题，主要采用 “设而求”与“设而不求”的思想方法．因此我们以此为导向，寻求问题的思路，进而通过运算解决问题．

思路一 借助题目2的解题经验，采用“设而求”的思想，即设点 的坐标，通过运算求出其它的点，以此来表示 ， 的相关边长，从而可以计算面积，再利用基本不等式求最值．

思路二 按照“设而不求”的思想，抓住“点 是 的重心”，利用几何关系将 与 的面积， 与 的面积进行转化，从而得到 与 的面积比，最后利用基本不等式求最值．

二）精确计算，优化对比

由题意得抛物线的方程为 ．

方法一、（设而求）设 （ ）， ， ， ．

因直线 过点 ，故直线 的方程为 ，

联立方程组 ，消去 并整理得 ，

故 ，即 ，所以 ．

因为 是 的重心，

所以 ，

代入得 ， ．

所以直线 方程为 ，即 ，

所以 ．

因 在点 的右侧，故 ．从而

．

令 ，

．

当且仅当 即 时取等号，

所以 的最小值为 ，此时 ．

方法二、设 ， ， ， ， ， ，不妨设 ，

因为 点 是 的重心，

所以 ，

由 ， ，且

可得 ．

由 , , 三点共线，可得 ，同理可得 ，

因为 ，所以 ，

令 ，则

，

当且仅当 即 时取等号．

所以 的最小值为 ，此时 ．

4 解题感悟与反思

课程标准指出：“教师要把教学活动的重心放在促进学生学会学习上，积极探索有利于促进学生学习的多样化教学，不仅限于讲授与练习，也包括引导学生阅读自学、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等．”也就是说，我们在教学过程中不能就题论题，而是要通过解题，善于总结基本概念、方法和数学思想，抓住问题本质，再将问题所体现的内涵和方法进一步引申，切实提升数学素养．

（1）夯实基础

注重数学核心概念的学习，并要加以理解和应用；要分析问题的特征，洞悉问题的本质，同时要掌握解题的基本思想方法，会总结解题经验并能迁移，便于解决新的问题．如求解圆锥曲线综合题时要注意两大思想“设而求”与“设而不求”，要明确哪些可以用“设而求”思想，哪些可以用“设而不求”思想，用哪种思想使得计算简便等．

（2）注重变式

要改变问题的形式，使学生在解题中获得的知识、方法、技能和活动经验能顺利迁移，并能进一步归纳、拓展，逐步挖掘本质，从而提高解题的能力，切实提升数学素养．如平面解析几何的变式主要有：改变图形的特征和部分条件等，我们可以引导学生分析特征，理清思路，挖掘思想方法：数形结合、函数与方程和转化化归思想，培养学生的方程、函数、不等式和几何意识．题目1的变式如下：

变式1．已知点 是椭圆 的左焦点，且 ，过点 的直线交椭圆于 、 两点，点 在椭圆上，使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴于点 ， 在椭圆内且在点 的右侧．记 ， 的面积分别为 ， ．求 的最小值及此时点 的坐标．

变式2．（义乌市2020学年高三第一次模拟）已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 过点 ，直线 与抛物线 相交于 ， 两点．

（1）求抛物线 的方程；

（2）直线 过点 ，且倾斜角与 互补，直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 与 的面积相等，求实数 的取值范围．

总之，在平时的教学中，我们要立足于基础，引导学生分析问题特征，抓住问题本质，以培养学生的运算和思维能力．留给学生足够的思考和交流的时间和空间，让其发现问题的切入点、方法源，理解基础知识，掌握基本思想方法，内化基本活动经验，并通过一题多解和变式训练，来逐步巩固课堂成果，以锻炼学生良好的思维品质，提升学生数学学科核心素养．

参考文献：

[1][1]刘峰. 浅谈解析几何题的解题策略——以一道模考题为例[J]. 数学教学通讯, 2013, 000(009):51-52.
[2]闫伟, 吴银军. 把握本质 通透解题 提升素养——对一道解析几何模考题的探究与思考[J]. 数学教学通讯, 2020(30).