在问题解决中渗透建模思想——以“植树问题”教学为例

在问题解决中渗透建模思想——以“植树问题”教学为例

许丽质

福建省厦门市翔安区实验学校 福建省厦门市 邮编 361102

摘要：数学与生活的紧密联系要求学生在解决问题时，形成一种“建模”思想，以便更好地解决实际问题。因此，应重视学生模型思想意识的渗透与建模能力的培养。本文以“植树问题”这一教学案例为例，让学生充分经历与感受建模的过程，提升学生的数学学习能力。

关键词：小学数学 模型思想 植树问题

《数学课程标准》2011年版指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。培养学生的模型思想，必须从生活原型或问题的背景出发，让学生经历观察、操作、分析、验证等，用数学语言或数学符号表达出数学模型，再运用数学模型解决一些实际问题。植树问题是一类数学问题的统称，历来也是学生理解的难点。本课教学，让学生充分经历数学建模的过程，帮助学生形成一定的模型思想，逐步感知植树问题下的模型思想的体现。

一、生活引入，感知模型。

弗赖登塔尔认为：数学化的对象应是学生熟悉的现实，而不是成人熟悉的现实。因此，可以结合学生的生活实际，选择学生熟悉的素材，将学生所熟悉的生活实例作为植树问题的背景模型。

【片段一】

1.师：同学们，如果你用数学的眼光观察生活，你会发现生活中处处有数学。伸出一支手，五指张开，你看到了数字几？

生1：5个手指。

生2：4个空隙（对着自己的手指数间隔1、2、3、4）。

师：这个空隙在数学上叫作间隔。

师：5个手指头几个间隔？4个手指头呢？3个、2个呢？

2.师：这节课我们就一起来学习跟间隔有关的问题：植树问题。

这样的情境导入，来源于学生的生活，富有生活性，亲近易懂，直奔主题。学生直观地看出：手指的个数和间隔数之间相差1。为学习新知做好铺垫，使学生初步感受到生活中处处有数学，感受到真实、亲切、有趣的数学模型，感知数学模型的存在。

二、提炼信息，抽象模型。

植树问题，其数学本质是点与段的一一对应问题。引导学生从数学信息中，抽象出“树”是植在“段”所对应的“点”上。学生理解了这一点，就为构建点段关系的“植树问题”模型奠定了基础。

【片段二】

例题：同学们在全长100米的小路一边植树，要求每隔5米栽一棵（两端要栽）。 一共要栽多少棵树？

1.师：读一读题，找一找数学信息？

2.师：猜一猜，可以栽多少棵树？生：20棵，21棵。

3.师：到底是多少棵呢？不急，可以采取什么方法进行验证？

生1：画图。可以用一条线段表示100米，每隔5米也就是每隔一小段画一棵。

生2：这样太麻烦了，我认为可以先研究短的，再找规律。

师：遇到比较复杂的问题时，先从简单的情况入手进行研究，这叫作“化繁为简”。

生3：那么我们可以选取100米中的一小段来研究：10米，15米，20米。

4.师：每个同学自选一个数据进行研究，画一画线段图，算一算棵数，想一想，棵数与什么有关？

“要栽几棵树”这个开放性的问题提出后，留给学生充足的时间独立思考，让他们尝试把想法画下来。学生自然会对自己的想法进行梳理：借助生活情境在头脑中想象栽树过程，抽象出植树问题的“动作模型”，再借助这一生活中的“动作模型”画图，就进一步抽象出点（树）和段（间隔）的“图形模型”，最后借助线段图直观数出棵数。学生在独立思考中经历两次抽象，润物无声地实现了从“境”到“模”的过渡。

三、自主探究，建构模型。

当生活的原型生动地展现在课堂中，教师要适时引导学生通过自主探索、合作交流，将实际问题逐步建构数学模型，经历自主建构模型的过程。

【片段三】

1.汇报展示：

生1：10米，3棵树；10÷5=2（个）2+1=3（棵）

生2：15米，4棵树；15÷5=3（个）3+1=4（棵）

生3：20米，5棵树。20÷5=4（个）4+1=5（棵）

2.仔细观察图和算式，你发现了什么？

生：棵树比间隔数多1

3. 生1追问：2个间隔怎么会有3棵树？为什么用2+1”，“多的1棵在哪？”

生2追问：为什么棵树比间隔数多1？展开小组讨论。

4.反馈：

生1：我们小组认为多出来的1棵是最后这1棵。

生2：我们小组认为多出来的1棵是第1棵。

此时课堂上学生呈现了两种观点，引发了精彩的辩论。

生3：我们小组认为多出来的1棵是最后这1棵，因为10÷5=2个间隔，这2个间隔其实就是对应2棵树，再加末尾的这1棵就是3棵。

生4：我来补充，我可以圈一圈，画一画：树、间隔，树、间隔，树。所以我们认为这1棵就是最后1棵。大家看清楚了吗？（全班学生鼓掌）

生5：我们小组有不同意见，我们认为多出来的1棵是第1棵，因为也可以是间隔、树，间隔、树，所以多出来的1棵就是第1棵树。同样地，我也圈一圈，让大家看得更清楚。

师：真了不起，为这两位同学喝彩。像这样，一棵树对应一个间隔，在数学上叫作一一对应。请同学们在自己刚刚画的线段图上圈一圈一一对应关系。

在汇报交流过程中，当一个学生追问“2个间隔怎么会有3棵树？”，引发了其他同学深入思考。经过辩论，学生从不同角度进行分析，最后达成共识，尝试用一一对应的方法说明棵数和间隔数的对应关系。交流算法时，一个学生质疑“为什么用2+1”，“多的1棵在哪？”，再度引发学生进一步探究。经过探究，有学生发现棵数比间隔数多1，但这又再次把学生推向更深的思考，2个间隔怎么能加1棵树呢？通过交流，借助数形结合学生逐渐感悟到：两端都栽，2个间隔对应着2棵树，此时的2俨然已转化为对应的2棵树，还剩下1棵树，这1棵可以是第一棵树也可以是最后一棵树，所以要用2+1。就这样，学生的思路越来越清晰，也越来越接近知识本质，同时探索意识也在不断增强。可见，课堂上这些具有启发性的问题，既能激活学生的思维，又能有效引导学生去探索、去发现，形成模型思想。

【片段四】

1.如果不画图，你能算出35米要栽多少棵树吗？

2.建构植树模型。

师：不画图就能算出来，看来同学们已经找到规律了。

现在我们来总结一下植树问题，两端都栽怎么求棵数？小组讨论。

两端都栽：全长÷间距=间隔数，间隔数+1=棵数

3.师：那么全长100米现在大家能解决了吗？

生：100÷5=20（个）20+1=21（棵）

4.师：如果小路继续延长至500米，1000米……呢？

学生依据前面规律猜测，通过想象、推理进一步验证、感受规律的存在。层层推进的活动，表面看似是小路的不断延长变化，实则是让学生自主探索、经历植树模型的建构过程，加深理解植树模型。显而易见，学生经历的是“提出猜想——实践验证——揭示规律”的过程，学到科学探究的方法，积累了数学探究的经验。最后，对比不同长度的线段图，学生的结论呼之欲出，很快地抽象出两端都栽的植树模型——“棵数=间隔数+1”，建构起清晰的数学模型。顺势推理、争论不休、各抒己见，学生潜在的创新精神和批判精神得到淋漓尽致地发挥，体验到探索过程中“柳暗花明”的快乐，在心田播下“崇尚真知”的种子。

四、联系实际，应用模型。

数学来源于生活，又服务于生活。让学生灵活运用所建立的数学模型解决生活实际问题，体会到数学服务于生活的功能。

【片段五】

1. 师：同学们，植树问题不只是植树，它在生活中应用十分广泛，请看：礼炮、椅子、路灯、钟声……

生活中你还见过类似的植树问题吗？生举例。

2.疫情防控期间，排队买口罩，也蕴含着植树问题，请看：

新型冠状病毒来袭，厦门实行“口罩预约登记摇号购买”。疫情防控期间，明明和爸爸来到网点排队购买。这不远远就看到排了好长的队伍，爸爸忍不住开始出题考明明：“儿子，为了避免交叉感染，排队时每两个人间隔1米，队伍一共有16个人，你算算这支购买口罩的队伍有多长呢？”适时进行防疫卫生教育。

学生灵活应用所学植树模型解决生活问题，体会数学与生活的联系。在应用模型解决问题的过程中，引发思维碰撞，在探索中感悟到：生活中植树、安装路灯、排队等问题都有着相同的数学结构，都属于植树问题，都可以用植树模型来解决。这样的教学活动，促进学生的应用意识、归类思想、思辨能力的形成，培养了学生求真求实的精神。

五、回顾反思，拓展模型。

为了加深学生对数学模型思想的深刻理解，适当地拓展延伸，让学生体会数学模型一般化的思想方法。从而实现从解决一个问题到解决一类问题的转变，体会到在数学学习中构建数学模型的重要性。

【片段六】

师：那么植树问题只能是两端都栽吗？如果一端有房子挡着；两端有房子挡着；在封闭图形上植树，那又怎么算棵数呢？

有了前面的学习方法，学生通过自主探究，推导出“两端都不栽”、“只栽一端”、封闭图形的植树模型，深度理解和建构“植树问题”所有情况的数学模型。这样的拓展延伸，实现了知识间纵向的沟通联系，激发了学生的探究兴趣，学生不仅仅获得了数学结论，而且在建模的过程中内化了知识、内化了模型、升华了思想。

总之，整节课学生在独立思考、不断探索中，经历了植树模型产生、发展、应用的过程。在画图、论理、推理等活动中，利用观察、操作、归纳等方法发现规律，建构模型，不断积累数学活动经验。重视在问题解决中渗透建模思想，激发学生的建模潜能，提升学生的数学学习能力。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011 年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012

［2］刘晓棠 . 基于数学建模的小学“数学广角”教学设计研究[D].重庆师范大学,2017.