时间序列 AR(p) 模型在沉降监测数据处理中的应用

刘业 陈雷

中建八局第四建设有限公司 青岛 266100

摘要：进入21世纪以来，我国加快了城市化进程，给人民生活带来了便利。同时，近年来由于工程施工引起的地表沉降灾害也层出不穷。随着变形监测技术的不断发展，现在已有很多的沉降监测预测模型。本文以厦门第二西通道A3标基坑沉降监测工程为例，介绍了时间序列模型的基本原理，采用AR(p)模型进行沉降分析，分析模型的精度与适用度，可以为工程施工阶段的变形监测提供较为可靠和准确的信息，为后期设计与维护提供参考。

关键词：沉降监测；时间序列模型；AR(p)模型

一、引言

随着我国建设事业的快速发展，高频率的工程建设中使得地表承受能力逐渐下降，各种地表沉降灾害渐渐出现。变形监测采取的办法主要是通过连续同周期的监测，得到实时准确的监测数据，并在数据处理后进行准确分析与判断，进而建立最适合的预测模型对沉降进行较为合理的预测。通过预测提前获知危险沉降区域从而采取预防措施，可以提前防止沉降灾害的发生。随着变形监测技术的不断发展，现在已有很多的沉降监测预测模型。在这些预测模型中，沉降监测中使用较多的预测模型包括：灰色系统、线性回归与时间序列模型等。本文主要是以厦门第二西通道工程A3标明挖I-1基坑为研究对象，先介绍了时间序列模型的基本建模流程，利用实际数据，结合时间序列模型中的AR（p）自回归模型确定函数模型，对实测数据进行分析，判断其沉降趋势，并对模型的精度进行分析，通过模拟并预测变形发展趋势，为工程施工阶段的变形监测提供较为可靠和准确的参考。

二、时间序列AR（p）的建立

时间序列是一种依据时间发展，运用动态统计进行分析与预测的方法。具体来说指通过随机过程理论与一定的数学统计法，预测事物将来的发展，可以有效解决现实生活生产问题。时间序列分析主要是从单个的时间变量形成的序列，进行微分方程的建立，从而得到形变趋势项，然后采取自回归模型(AR模型）进行模型构造。在时间序列的理论和科技一直发展和改进，及各类学科不同行业的相互深入与交叉，航天工程、军事建设及工农业等诸多领域应用，随着时代变化发展，该模型的越来越受到人们的重视，得到不同行业科研工作者越来越多的关注。依靠原始监测数据进行科学的分析预报，时间序列分析有着不错的效果，大量研究成果显示此分析模型是个理想的预测模型，在预测事物发展未知值时有着很高的可靠性，尤其是在短期趋势预测上面，精度会更高。

三、AR（p）模型的建模原理

通常来说，时间序列生成过程是未知的， 由 与 等多个数据决定，即：

（1）

式（1）称 阶自回归模型，记为AR（p）。其中模型待估参数为 。 为均值为0，方差为 正太分布的序列。

矩阵形式为:

（2）

式中,

, ， , （3）

最小二乘估计为：

（4）

在对离散的 进行分析前，我们都要判定该序列是不是为平稳序列。若序列具备不平稳趋向，需采取差分法进行适当阶数的处理，消除其趋向性与周期性；偏差较大时，应标准化处理，以保证精度。

通常来说，要研究时间序列中不同时间点的随机数据的相关关系，以及了解时间序列的内部结构，就需要对时间序列的自相关函数和偏自相关函数进行了解与分析。

自回归过程AR（p）自相关函数的表达式（递推公式）为：

（5）

在表达式中，令 ，则可以得出一组方程式，称为尤勒-沃克（Yule-Walker）方程:

（6）

其矩阵形式为:

（7）

简记为：

（8）

则

（9）

中最后一个参数 称为偏自相关系数，序列 称为偏自相关函数。一般来说，偏自相关函数具有截尾性，是p步截尾的，可依据偏自相关系数图初步判断模型阶数。

AR(p)模型的适用性检验可采用Akaike信息检验准则中的AIC准则，当取最小值时模型为适用模型。

AIC准则函数：

（10）

四、实例分析

利用厦门第二西通道A3标明挖基坑（I-1基坑）地表竖向沿基坑方向布置6个断面测点进行建模预测,以监测点IDBC4-1的观测值为例，选取前34期观测数据进行时间序列AR（p）模型建模。初始数据如表1所示。

表1

利用AR（p）模型进行数据处理主要流程为：

（1）绘制原始数据序列图，根据原始数据序列图判断原始数据有明显不平稳趋势，对原始数据进行二阶差分消除不平稳趋势，使得原数据序列经差分处理后，基本消除线性趋势性，数据序列初步转化为平稳系列。

（2）对差分后对序列进行标准化处理,消除特征差异性。计算出自相关系数，绘制自相关系数分析图如图1所示。从图中可以看出，原始数据经二阶差分后，自相关系数在0处上下摆动，差分后数据基本达到平稳状态。

图1 自相关系数分析图

（3）解Yule-Walker方程，求偏相关系数，绘制偏自相关函数图如图2所示。根据图2进行偏相关系数截断尾性分析，可初步判断次时间序列符合AR(2)模型。

图2 偏相关函数图

（4）使用AIC准则函数进行适用性检验，五阶以内的AIC值分别为：40.3968，39.4965 41.8280 44.7242 47.8046。取最小值39.4965，此时阶数为2阶，AR（2）为适用模型。

（5）使用最小二乘法进行参数估计，即： , 1.2842， -0.2662。此时可根据所得AR（2）模型计算模拟值。

模型对3-34期数据模拟结果及残差计算结果如表2所示：

表2 模型对3-34期数据模拟结果及残差计算结果

模型后期模拟值对比图如图3所示：

图3 模拟值对比图

模拟值曲线与实测值曲线基本吻合，初步判断AR(2)模型预测精度高，预测能力较强。

显然，从模拟值残差与模拟值对比图中可以分析：

（1）AR（2）自回归模型预测值的变化趋势符合实测值的变化趋势，仅有个别期次的变动跟实测值有较小偏差，可以很好的替代实测值的变化趋势线。

（2）AR（2）模型预测趋势线与实测值基本相同，能够较好的利用原始观测数据进行模拟预测。预测值残差为8.876，平均相对误差为3.450%。容错性较高，得到的模型对未来变形的预测有着较高的精度，符合真实情况。

（3）在处理没有明显趋势性或没有具体规律的对象时，AR（2）自回归模型容错性较高，具有较强的预测能力，更加符合真实情况，是本文实际基坑变形监测研究中得出的最优模型。

五、结语

（1）实验结果表明，AR(p)模型有着较高的精度和较强的容错能力，预测结果跟符合实际监测情况，预测趋势线与实测值基本相同，能够较好的利用原始观测数据进行模拟预测。

（2）文中研究区域范围较小，主要对象为A3标I-1基坑，具有一定局限性，监测数据模拟预测结果仅能反映出局部地区沉降特征。后续研究中应对沉降工程中各个区域沉降监测数据及施工参数进行收集整理，对不同区域的沉降现象进行进一步研究。另外，文中只利用AR(p)模型结合实际监测数据进行预测，并未对其它预测模型展开研究，对各种预测模型的研究需要加强。

（3）文中研究所用数据量较少，且皆为等时间间隔数据。在具体工程中，常常会因为仪器、路况、天气等因素，导致监测数据时间间隔有所差异。因此，对于大数据量，非等时间间隔的沉降监测预测模型还需深入研究。工程沉降是一个复杂问题，受到例如天气、掘进速度、岩土构成等诸多因素的影响，会对沉降预测结果造成影响。进一步收集各种因素影响的参数资料，才能更真实的进行模拟预测。

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