相似三角形在初中数学解题中的应用摭谈

相似三角形在 初中数学 解题中的应用 摭谈

王盛彬

福建省 宁化城东中学

摘要：相似三角形是三角形学习中重要的考点，也是继全等三角形学习后对三角形认识的进一步提升，其在初中数学解题中具有特殊而且重要的地位。本文从求线段长或线段比、求面积或面积比、证明比例线段等三个方面举例探讨，旨在举一反三论述相似三角形在初中数学解题中的应用。

关键词：相似三角形；初中数学；解题应用

三角形是几何研究的基础，也是最简单的平面图形。在初中数学教学中，我们一般先研究三角形的简单性质，然后重点探讨三角形全等与三角形相似。三角形的全等与相似是数学教学中对三角形相互关系的深层次认识，在数学学习具有重要的理论与实践价值。因而，全等与相似三角形是初中几何的重要内容，也是各地中考的热点。由于全等三角形是相似三角形在相似比为1时的特例，为此，本文将重点探讨相似三角形在初中数学解题中的应用。相似三角形具有许多重要的性质，因此它在解题中有着十分广泛的应用，这里主要通过举例加以说明。

1. 求线段长或线段比

相似三角形对应边具有固定的比例关系，我们常常利用这种关系求出一些线段长或者线段比。

1. 雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远一块小积水处，他看到了旗杆的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m，该生眼睛的高度是1.5m，那么旗杆的高度是多少？

这是一道相似三角形的实际应用题。我们首先要按照题目文字描述画出图形，并在图形中找到相似三角形，才能顺利进行数学建模，进而解决问题。

C

A

D

B

E

图1

解析：根据题意，点C为积水处，AB为学生站立位置眼睛的高度，由题目描述可得图1，AB⊥BD，ED⊥BD，AB=1.5，BC=2，CD=40。

由AB∥DE，得∆ACB~∆ECD。由此有 = ，即 = ，从而有DE=30。

故旗杆的高度为30m。

例2.如图2所示，在∆ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，CF的延长线交AB于点E，若AF:FD=1:3，则AE:EB= ，若AF:FD=1:n(n≥0)，则AE:EB= 。

解析：过D作DG∥AB交CE于G，由于D是BC的中点，可知DG是△BCE的中位线，∴DG= BE。由DG∥AE，得∆AEF~∆AGD，则 = = 。∵EG= BE∴ = ∴AE:BE=

同理可求，当AF:FD=1:n(n>0）时，AE:EB=1：2n。

图2

二、求面积或面积比

相似三角形的面积比等于对应边长比的平方。利用这一性质可以很快求出对应的相似三角形面积。

例3.如图3所示，在▱ABCD中，E为DC边上的中点，AE交BD于O，若 =9cm² ,则 等于（ ）

（A）18cm² (B)27cm² (C)36cm² (D)45cm²

^图3

解析：由▱ABCD知AB∥CD，∴∆DOE~ ∆BOA ∴ =（ ）²

而AB=DC=2DE ∴ = ∴ =4， =4×9cm² =36cm^{2 .}

故应选C。

一般来说，对顶角型的相似三角形，结合平行线，可以很容易找到需要的相似三角形。如本题的∆DOE~ ∆BOA。

三、证明比例线段

相似三角形中对应边长线段对应成比例，这就为我们证明比例线段创造了很好的条件。

例4.如图4 所示，已知正方形ABCD中，O是AC与BD交点，∠DAC的平分线AP交CD于点P，∠BDC的平分线DQ交AC于点Q，求证： = 。

解析：由正方形的性质，知∠CAD=∠BDC=45º。又AP平分∠CAD，DQ平分∠BDC，∴∠CAP=∠CDQ ，又ACP是公共角，∴∆ACP~∆DCQ

∴ = ，又∵AC是BD的中垂线，∴BQ=DQ。又BD=AC，∴ = 。

图4

相似三角形在解题过程中的应用，除了证明相关线段相等、对应成比例，对应三角形面积相等或者对应成比例外，还可以应用于证明对应角相等。因此，相似三角形在数学解题中具有广泛的应用，必须通过训练培养学生的应用意识，在熟练的基础上发展学生的数学核心素养。

参考文献：

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7. 马彩艳.中小学三角形知识分布及其教学研究——以人教版数学教材为例[D].陕西师范大学，2014、05、01.

P

Q

O

C

B