核心素养建构下数学教学实践——以《利用函数性质判定方程解的存在》为例

核心素养建构下数学教学实践 —— 以 《利用函数性质判定方程解的存在》为例

赵小俊

陕西 洋县第二高级中学

摘 要：如何在数学教学中提升学生的核心素养，是我们数学教师的永远课题，本文以“利用函数性质判定方程解的存在”为例，让学生体会“函数与方程的统一”，进一步体现数形结合思想。

关键词：核心素养；函数零点；方程的根

【数学素养】数学抽象、逻辑推理

【教学目标】

（1）知识与技能目标

了解函数零点的概念；理解函数零点与方程的根之间的关系；掌握判断函数零点存在的方法；

（2）过程与方法目标

培养学生独立思考,自主观察和探究的能力；树立数形结合，函数与方程相结合的思想；

（3）情感态度与价值观目标

培养学生用联系的观点看待问题；感悟由具体到抽象、由特殊到一般地研究方法，形成严谨的科学态度。

【教学重点】函数零点与方程根之间的联系及零点存在的判定定理

【教学难点】探究发现零点存在条件，准确理解零点存在性定理

【教学方法与手段】实例引入、探究新知、实践探索、总结提炼、总结、反思。

【使用教材的构想】倡导积极主动，勇于探索的学习方式，运用数形结合、教师引导——学生探索相结合的教学方法，学生亲身经历、感受来获取知识，培养学生观察、发现、抽象与概括、运算求解等思维过程。

【教学过程】

（一）设置情景，导入新课

1、实例引入

如下方程：（1）2^-x=4； (2) 2^-x=x．方程(1)可解，而方程（2）无法直接求解，但我们学习了函数知识之后，我们就可以借助函数研究方程解的情况。（展示本节必要性和重要要性出示课题）

2、方程的根与相应函数图象之间的关系．

（1）结合所学知识填空： （学生自主完成）

（2）引导学生归纳归纳，结合上述实例可以得出结论：

方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．

（二）引导探究，获得新知

1、函数零点

概念：把函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标称为函数y＝f(x)的零点。

说明：①函数零点不是一个点，而交点的横坐标值。

②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根。

2、函数的零点与方程的根有共同点和区别：（重点讲解）

（1）联系：

①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；

②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点。

（2）区别：零点是对于函数而言，根是对于方程而言。

以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，解决相关问题可互相转化，这正是函数与方程思想的基础。

自主训练 求下列函数的零点：

解析：（略）

2、零点存在基本定理：

（1）观察函数的图象探索零点存在条件．

①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）．

②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）．

③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）．

（2）零点存在性定理：

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点。即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。

3、例题剖析，巩固新知

例1：判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：

（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，

则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点。

（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，

则f(x)在区间(a，b)内没有零点。

（3）若函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f

(b)<0，

则f(x)在区间(a，b)内存在零点。

解析：（（提问学生，引导分析，举出反例）

概括归纳：定理不能确定零点的个数；定理中的“连续不断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点。

巩固新知

1）下列函数在相应区间内是否存在零点？

（1）f(x)=log₂x，x∈[ ，2]； （2）f(x)=e^x-1+4x-4，x∈[0，1]。

2）方程– x ³ – 3x + 5=0的零点所在的大致区间为 （ ）

A．(– 2，0) B．(0，1) C．(0，1) D．(1，2)

例3：求函数f(x)＝log₂x＋2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)。

解法2：将方程log₂x＋2x－6=0化为log₂x=6-2x，分别画出g(x)=log₂x与h(x)=6-2x的草图，可求解。

概括归纳说明在区间(a，b)内零点的唯一性：（1）f(a)·f(b)<0；（2）函数单调；

（

（1）一个关系：函数零点与方程根的关系：

（2）两种思想：函数方程思想；数形结合思想。

（3）三种题型：求函数零点、判断零点的个数、求零点所在区间。

（四）布置作业：课本P119 A组 1 、 B组 1

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）

[M] .北京：人民教育出版社，2018

[2] 王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M] .北京：高等教育出版社，2018