秒解空间几何体的外接球和内切球问题

秒解空间几何体的外接球和内切球问题

陈正毕

云南省巍山县第二中学 云南大理 672401

球体几何问题是高考命题难点和重点，当然也是很多考生看到就头疼的题目.很多考生都会发问，找不到做题的切入点，计算不好，如何处理球体问题.

球体往往和其他几何体综合考察，很少单独出现.衍变为空间几何体的内切球或者外接球情景问题。本论文将对解决这类问题的思想和方法,规律与技巧进行讲述,以期帮助学生更好地理解和学习该部分知识,从而提升学生的数学成绩.

一、球体的基本性质

1、球的概念

（1）从集合得到的定义：在空间中到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球；

（2）从旋转给出的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体（solid sphere）.

2、球的相关公式

（1）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r²=R²-d²；

（2）球的面积公式： ；

（3）球的体积公式： .

3、球的相关性质.

（1）用一个平面去截一个球，截面是圆面；

（2）球心和截面圆心的连线垂直于截面.；

（3）球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆；

（4）球的大圆是最大的截面圆；

（5）过切点的球半径垂直于球的切面.

二、几何体外接球

1.能补为长方体、正方体或直棱柱

（1）有三条线两两垂直--墙角模型（不画球心的位置即可求出球半径）

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 ，即 ，求出

例1已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 ，体积为 ，则这个球的表面积是（ C ）

A． B． C． D．

解： ， ， ， ，选C；

例2若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是

解： ，

（2）对棱相等模型--麻花模型（此类问题可以补形为长方体）

例3三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）

解：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

设 出长方体的长宽高分别为，，，，列方程组，

，

补充：

第 三步：根据墙角模型， ，

， ，求出 .

例4棱长为 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.

解：截面为 ，面积是 ；

（
3）直棱柱或圆柱模型--汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

如图，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）解题步骤：

（ⅰ）确定球心的位置，是的外心，则平面；

（ⅱ）算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；

（ⅲ）勾股定理：，解出

例5 一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为

解：设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的关径为，则，

底面积为，，，，

，球的体积为.

（3）线面垂直模型（一条直线垂直于一个平面）

例6如图， 平面

解题步骤：（ⅰ）将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 ，连接 ，则 必过球心 ；（ⅱ） 为 的外心，所以 平面 ，算出小圆 的半；径 （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 ）， ；（ⅲ）利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① ；

，计算出外接球半径 .

2.不能补为柱体的模型

基本关系 ，方程（组）思想解决问题。

（1）面面垂直或线面垂直模型--L模型

（ ⅰ）两个平面垂直模型

问题情境：平面 平面 ，且 （即 为小圆的直径），分析：

（ⅰ）易知球心 必是 的外心，即 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 ；

（ⅱ）在 中，可根据正弦定理 ，求出

例7三棱锥 中，平面 平面 ，△ 和△ 均为边长为 的正三角形，则三棱锥 外接球的半径为.

解 析： ， ，，

，；

法二：，，，

， .

（2）折叠模型--怀表模型

两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图)

解题步骤：（
ⅰ）先画出如图所示的图形，将 画在小圆上，找出 和 的外心 和 ；

（ⅱ）过 和 分别作平面 和平面 的垂线，两垂线的交点即为球心 ，连接 ；

（ⅲ）解 ，算出 ，在 中，勾股定理：

（3）一般棱锥--鳄鱼模型

例8已知 ， ， ， ， 是球 的球面上的五个点，四边形 为梯形， ， ， ， 面 ，则球 的体积为（ A ）

A． B． C． D．

解 ：取 中点 ，连接

且 四边形 为平行四边形

，又

， 为四边形 的外接圆圆心

设 为外接球的球心，由球的性质可知 平面 ，

作 ，垂足为 ， 四边形 为矩形，

，设 ， .

则 ，得： . ， 球 的体积： .

两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥模型

例9 ，求三棱锥 外接球半径（分析：取公共的斜边的中点 ，连接

，则 ， 为三棱锥 外接球球心，然后在 中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。

例10在矩形 中， ， ，沿 将矩形 折成一个直二面角 ，则四面体 的外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．

解： ， ， ，选C

三、几何体的内切球问题

1.如图，三棱锥 是正三棱锥，求其内切球的半径。

（ⅰ）先现出内切球的截面图， 分别是两个三角形的外心；

（ ⅱ）求 ， ， 是侧面 的高；

（ⅲ）由 相似于 ，建立等式： ，解出

2．同理，四棱锥 是正四棱锥，可以求其外接球的半径

例11已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．

【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，

其
中 ，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为 ，

由于 ，故 ，

设内切圆半径为 ，则：

，解得 ，其体积： ．故答案为 ．

方法小结：立体几何中与多面体相关的外接球问题，在近些年的高考中悄然兴起，多以客观题方式出现，解决此类问题可以有2个策略，一、利用模型，借助长方体，四面体等几何体，构建立体模型；二、定位球心位置，通常两个截面的外心垂线的交点，即为球心。找到了球心，就可以知道半径，外接球的问题自然就可解决.

换个角度说，球的内接几何体及球的外切几何体的计算问题是空间几何体知识结构中重要的组成部分,出现的概率大，在高考中经常以选择题,填空题的形式呈现, 有时是压轴题.球体问题考查学生的直观想象和运算求解能力，还考查空间想象能力、逻辑推理能力等核心素养,是高考以及其他考试中比较常见的问题，经常是考生容易拉开差距的题目，高中学生应该加以重视，特别是毕业班学生应该熟悉常见模型，训练做到有的放矢. 针对性护理在甲状腺功能亢进合并糖尿病患者中的应用

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