“1+1”之我见

“1+1”之我见

索全明

武警警官学院训练基地 510440

1 “1+1=2”之缘由

当看到标题中的“1+1”时，在脑海中是否会自动浮现儿时数学老师教过的知识点：一加一等于二。但是，为何“一加一等于二”？让我们一起感受“一加一等于二”公理化的美吧。在1889年，国籍为意大利的数学家皮亚诺完成了自然数的公理化，即提出了五条假设：

（1）0是一个自然数；

（2）对每一个自然数a都有一个后继数a’；

（3）若两个自然数相等，它们的后继数也相等，反之亦然；

（4）0不是任何自然数的后继数；

（5）如果一个和自然数a有关的命题ƒ(a)在a=0时成立，且假设ƒ(a)成立时ƒ(a+1)也成立，那么ƒ(a)对所有的自然数都成立。

前四条假设比较简单，第五条假设实际上就是数学归纳法。好像一列按一定间距排好的多米诺骨牌，推倒第一个，所有骨牌都会一个接一个地倒下。按照这一套规则，皮亚诺认为，0的后继数是1，1的后继数是2，2的后继数是3，…，n的后继数是(n+1)…。这样就构成了唯一、有序、无穷的自然数列。那么为什么“一加一等于二”？这又涉及到如何定义加法的概念。首先要抛开脑子中已学过加法的概念，然后认为加法是一种运算，我们重新来定义它。皮亚诺说，加法要满足两个条件:

（1）任意一个自然数与0相加都等于这个自然数；

（2）任意一个自然数与另外一个自然数的后继数相加都等于这两个自然数相加之后的后继数。

按照这两个条件，证明“1+1=2”过程如右所示：1+1=1+0’=(1+0)’=1’=2，记为p*。同理，可证表1等式的正确性，这样我们就把一些司空见惯的数学现象，例如表1的内容，公理化了。表1中的第三列等式2是第二列等式1利用交换律所得。

表1 等式

注：为哥德巴赫猜想的证明埋下伏笔。

2 “1+1”之缘起和推进

“1+1”也使人联想到哥德巴赫。他是德国籍的一位中学教师^[1]，也是一位著名的数学家。生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，他在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个质数之和，如6=3+3,12=5+7,14=3+11等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，提出了以下的猜想，这就是著名的哥德巴赫猜想，别称“1+1”。

（1）任一大于等于6的偶数，皆可表示为两个奇质数之和^[2]。

（2）任一大于等于9的奇数，皆可表示为三个奇质数之和。

对哥德巴赫猜想证明的推进工作，如表2所示。

表2 推进工作^[3]

注：c是一个很大的自然数。

3 “1+1”的证明

通过了解“1+1”的缘起和推进工作，明白了前人对哥德巴赫猜证明的关于殆素数思想。现在让我们一起来用数学语言表示哥德巴赫猜想，体验一下用逆否命题证明的过程。

设变量x,y,z∈N，pri_ber为奇质数集，m为常量，则

（1）令m%2=0，∀{(x,y)|m=x+y,m≥6}，记作p1，则∃{(x,y)|x,y∈pri_ber }，记作:q1。

（2）令m%2=1，∀{(x,y,z)| m=x+y+z，m≥9}，记作p2，则∃{(x,y,z)| x,y,z∈pri_ber}，记作q2。

证明：

（1）由于“令m%2=0”不是陈述句，“m=x+y”没有判断的语义，所以┐p1为∀{(x，y)|m=x+y，m<6},等价于集∀{(x,y)|m=x+y，m∈{2,4}}。令┐p1：∃{（x,y）|x,y不全为pri_ber奇质数}，因此，┐q1⇒┐p1的等价于方程m=x+y是否有解。

1）当m=2时，问题转化二元一次方程2=x+y，由于p*,x、y∈N，即(1,1)不全为奇质数。

2）当m=4时，根据表1的①，②，方程4=x+y的解集为{(1,3),(2,2),(3,1)}，即4=x+y的解集的每个元素不全奇质数。

因此，命题┐q1⇒┐p1为真，由于原命题与逆否名否命题的真假性一致，即命题p1⇒q1也为真，证毕。

（2）令┐p2：∀{（x,y,z）|m=x+y+z，m<9}等价于∀{(x,y,z)|m=x+y+z，m∈{1,3,5,7}}，┐q2：∃{(x,y,z)|x,y,z不全为pri_ber}，证明命题┐q2⇒┐p2的真假性就转化为求解三元一次方程m=x+y+z的问题。

1）当m=1时，由于x,y,z∈N，三元一次方程1=x+y+z解集为∅，则（x,y,z）不全为奇质数。

2）当m=3时，由于x,y,z∈N，解之，并用表1的③验证，解为(1,1,1)，即三元一次方程3=x+y+z解集中的元素不全为奇质数。

3）当m=5时，由于x,y,z∈N，解之，并用表1的④和⑤验证，三元一次方方程5=x+y+z的解集中的元素分别为(1,1,3)，(1,3,1)，(3,1,1)，(1,2,2)，(2,1,2)，(2,2,1)。显然，每个元素不全为奇质数。

4）当m=7时，由于x,y,z∈N，解之，并用表1的⑥，⑦，⑧，⑨，⑩验证，三元一次方程7=x+y+z解集元素为(1,1,5)，(1,5,1)，(5,1,1)，(1,2,4)，(1,4,2)，(2,1,4)，(2,4,1)，(4,2,1)，(1,3,3)，(3,1,3)，(3,3,1)。显然，每个元素不全为奇质数。

所以，命题┐q2⇒┐p2为真，由于原命题与逆否名否命题的真假性一致，即命题p2⇒q2也为真，证毕。

综上所述，哥德巴赫猜想得证。

评注 针对直接正面论证这一猜想的困难性，本文首先利用皮亚诺公理建立起一阶算术系统和重新定义的加法运算，证明“1+1=2”，利用交换律，同理可证表格1中作为伏笔的内容；回顾“1+1”缘起、进展，利用集合语言表示哥德巴赫猜想；借助“1+1=2”和集合化语言证明哥德巴赫猜想等价的逆否命题，间接地证明哥德巴赫猜想的正确性，以进一步拓宽对哥德巴赫猜想难题的证明的思路。

参考文献

[1]吴怒梅. 中学数学开放式教学模式的探究[D]. 华中师范大学, 2015.

[2]李一霖. 关于哥德巴赫猜想[J]. 数学大世界(上旬), 2020, No.410(02):98-99.

[3]王振宇, 李晓卓, 谢江欢,等. 基于Python的哥德巴赫猜想问题验证方法[J]. 电脑编程技巧与维护, 2020(2):17-19.

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