4-6岁儿童解决平分问题的实践研究*

4-6岁儿童解决平分问题的实践研究*

张丽萍 姜露

上海市松江区绿洲艺术幼儿园

摘 要：本研究以上海市某幼儿园122名4-6岁儿童为对象，探讨儿童对于不同的平分问题（求除数，求商）的解决能力的发展情况，并分析比较儿童在解决不同平分问题时所使用的策略。研究发现，（1）4-6岁儿童已经能够顺利完成24以内不同类型的平分任务；（2）4-6岁儿童在解决不同类型的平分任务时存在年龄差异；（3）4-6岁儿童在解决平分问题时存在多种策略，不同的平分条件下，儿童的使用策略也会有所不同；（4）对4-6岁儿童平分任务的指导能提高儿童平分的正确率。结论：4-6岁儿童能使用有效的策略来解决不同类型的平分问题。

关键词：平分；求商；求除数；4-6岁儿童；非正式的知识

一、研究背景

儿童在日常生活中经常会碰到分点心，分食物，分玩具等这样的场景。即使是年龄很小的儿童也有过分东西的经验，比如，在日常家庭生活中分糖果、分蛋糕、分苹果，在幼儿园帮老师分发盘子、碗、调羹等。平分是指将一个连续量或非离散量分成几个部分，而分开的每个部分的数量是均等的(林福来, 黄敏晃, 1993; 林福来等, 1996)。学前儿童的平分能力是幼儿综合能力的体现（杨政奎，2016)。幼儿解决平分问题的前提是对数概念的认知，数概念是学前儿童数学教育的核心内容（郭丹龙，黄瑾，2016）。平分问题的解决还需要儿童具备一定的相关经验，如一一对应关系、简单的函数关系等，学前儿童对平分问题的理解其实也是学前儿童对对应、数量、包含等数量关系的具体理解与运用。因此，幼儿对平分问题的理解与解决是促进幼儿思维发展的有利因素（赵振国，2009）。

学前儿童在日常生活中分东西的场景，将一定数量的物体分成相等的几份，从这个意义上讲，平分和除法是相同的，除法就是将被除数分成相等的几份。儿童拥有平分东西的经验，可以为他们提供对除法的初步的感性的认识。同时，也有研究表明，儿童能够用具体的物体来表征除法问题（Carpenter, Franke, Fennema & Weisbeck, 1993; Correa, 1994）。因此，平分作为学前儿童一种非正式的经验和知识备受关注，被很多研究者认为可以在日后其正式的除法知识学习中起到很重要的作用（Hughes, 1986; Carpenter, Fennema & Franke, 1996）。

国外很多研究探讨了儿童的平分能力，包括其发展特点、与除法的关系、以及儿童平分时使用的策略等（Hunting & Sharpley, 1998; Squire & Bryant, 2002a; 2002b）。国内虽然也有一些研究从基础理论方面出发，通过设置了除得尽和除不尽的情景来考察儿童是否能完成平分，探讨其与除法之间的关系（周晶，2010），但大多研究都聚焦于教学实践方面。

Fischbein, Deri, Nello & Marino（1985）和Greer（1992）提出除法可以分为求商（partitive pision）和求除数（quotitive pision）两种。根据这种分法，前述的平分问题对应其中的求商，即一个集合平分成若干个相等的子集合，这其中接受者的数量（除数）是已知的，要求是每个接受者所获得的数量或者说是每个子集合中元素的数量（商）。这种除法也被有些台湾学者称为等分除。另一种求除数的除法，也被一些学者称作包含除，即已知每个子集合中元素的数量（商），求子集合的数量（除数）。虽然与等分除相比，这一类问题比较少，但日常生活中偶尔也会遇到。比如8块小饼干，每位小朋友分两块，可以分给几位小朋友。研究小学教科书中除法相关的部分，可以发现对于这一类除法问题，也是通过问（被除数）中包含了几个（商）这样的问题来导入。可见，如果儿童日常生活中具备了这方面的分配经验，也会对其日后学习正式的除法知识有一定促进作用。但是，考察儿童如何解决某一类平分问题，即一定数量的物体平均分给指定的接受对象，每个对象能分到多少，对于这一类求除数的平分问题，国内外研究都探讨得较少。本研究旨在考察4-6岁儿童解决以上两种不同平分问题的能力以及解决问题时所使用的策略。

二、研究方法

（一）研究对象

上海市松江区某幼儿园中班和大班的共计122名儿童参加了本研究。其中，中班儿童61名（平均年龄为57.61个月，标准差4.42，年龄范围49-65个月，男孩30名，女孩31名）；大班儿童61名（平均年龄66.84个月，标准差3.93，年龄范围61-72个月，男孩31名，女孩30名）。

本研究根据不同的平分问题分为两个条件。一个条件是求商组，主要是测查儿童是否能解决每个盘子中分到几块糖果的问题；另一个条件是求除数组，主要测查儿童是否能解决每个盘子分指定数量的糖果时需要几个盘子的问题。所有参加测试的儿童被随机分配到以上这两个条件中（表1）。

表1 参加求商组与求除数组的被试情况

（二） 研究工具与材料

本研究参考了Frydman & Bryant (1988)，Chen & McNamee (2007)，周晶(2010)等的研究工具，根据这些研究的结果，结合本研究的儿童年龄，最终确定平分的数量为12和24。平分的数量为12时，接受者的数量是2，3，4，6；平分的数量为24时的接受者数量是3，4，6，8。本研究使用的材料为粉色糖果和白色盘子。儿童需要平分的对象是糖果。白色盘子作为接受的对象，用于让幼儿将糖果平分后放置到盘子中。

（三）研究步骤

本研究采用一对一测试方法。在正式测查前，每个被试接受两道练习题的测试。这两道练习题分别选取了4和6为平分数量。每个被试根据其分组，完成不同平分问题的练习。例如，练习1选取4为平分数量，对求商组的被试，主试出示4颗糖果和2个盘子放在桌上，主试对被试说“这里有一些糖果，请你分到盘子里，要每个盘子一样多，而且要分完，好不好？”待儿童分完后，问其每个盘子中分到几颗。对于求除数组的被试，主试拿出4颗糖果，并告诉其“这里有一些糖果，需要把老师给的糖果全部都分到盘子里，每个盘子分2颗糖，需要几个盘子呢？”并让其操作。第1题结束后，进行练习的第2题。所有的被试都顺利通过练习，说明其较好地理解了课题的要求。

练习结束后，主试把糖果和盘子收回，开始正式测试。所有测试程序均跟练习相同，但是正式测试中，主试让被试自己取其觉得需要的数量的盘子。分完后，询问儿童是否每个盘子里的糖果数量一样多，并让其回答每个盘子分到几颗糖或者需要几个盘子。每一个被试共计接受8道题的正式测试。测试中，没有对儿童的操作时间进行限制，以儿童主动停止操作为任务结束标准。每一个儿童完成全部测查任务的时间大约在15-25分钟。每个儿童平分的过程全部使用摄像机进行记录，同时主试将测查结果简单记录在相应的记录纸上。

三、研究结果

（一）4-6岁儿童解决平分问题的能力

1、4-6岁儿童平分问题的操作情况

在本研究中，每个儿童被随机分配到两个条件，每个条件的儿童都需要完成8个任务的平分问题。在每一题中，平分正确计1分，错误计0分，分别算出每个儿童的平分操作得分以及总平均分。结果如表2所示。

表2 两条件中不同性别儿童的平均操作得分(M ± SD)

为了检验不同性别的儿童得分情况是否存在差异，分别进行了独立样本t检验。结果显示，中班儿童、大班儿童解决不同平分问题时均不存在性别差异(中班：求商组t = 0.68；求除数组t = 1.17；大班：求商组t = 0.46；求除数组t = 0.15，p值均大于0.05)。因此，之后的分析中不再考虑性别因素的影响。

为了检验不同年龄的儿童在解决不同类别的平分问题时是否有差异，以条件(求商；求除数)、年龄(中班、大班)为自变量，儿童的平分操作得分为因变量，进行两因素方差分析，结果显示，条件和年龄的交互作用显著(F = 7.31, p = .008 < 0.05)。简单效应检验发现，求商平分问题中，年龄的简单效应显著(p < 0.001)，说明中大班儿童解决求商平分问题的能力存在显著差异，大班儿童好于中班儿童；而求除数平分问题中，年龄的简单效应不显著(p = .058)，说明中大班儿童解决求除数平分问题的能力无显著差异。同时，结果显示，对于中班儿童，条件的效应显著(p < 0.001)，说明中班儿童在解决求商与求除数的平分问题能力方面存在显著差异，即解决求除数平分问题的能力高于解决求商平分问题的能力；而大班儿童在解决求商与求除数平分问题的能力上不存在显著差异(p = .737)。

以上结果表明，儿童的平分能力大班高于中班，并且，解决求除数的平分问题的能力要高于解决求商的平分问题的能力。不论在哪个条件，大班的儿童在完成平分操作上普遍较好，比较稳定。另外，对于中班来说，解决求除数的问题能力远远大于解决求商的平分问题能力。其原因可能是，求除数的问题，对于儿童来说，被问到每个盘子分指定数量，可以分几个，他们并没有很好地理解除数和商和被除数的关系，只是机械地拿出指定的数量放入每一个盘

中进行配对。

此外，本研究计算了不同平分数量下儿童的平分得分。结果显示，中班儿童与大班儿童在完成不同的平分数量，即12和24时的得分也是不同的。中班儿童在完成12和24的平分任务时，平均分分别为3.15(SD = 1.39)和2.57(SD = 1.71)，说明平分数量对中班儿童的平分操作得分产生影响，平分数量12的平分行为得分明显高于平分数量24的平分行为得分。大班儿童在完成12和24的平分任务时，平均分分别为3.92(SD = 0.42)和3.77(SD = 0.64)，可见大班儿童在解决不同数量的平分任务时得分都很高，已经接近满分。

为了检验不同年龄的儿童在解决不同平分数量的平分问题时是否有差异，以平分数量(12、24)、年龄(中班、大班)为自变量，儿童的平分操作得分为因变量，进行两因素方差分析。结果显示，年龄的主效应显著(F = 43.452, p < 0.001)，平分数量的主效应也显著(F = 5.842, p < 0.05)，而年龄与平分量的交互作用不显著(F = 2.040, p = .155)。进一步检验显示，中班儿童在完成平分数量12和平分数量24的平分任务时，平分成绩之间有显著差异(p < 0.05)。而大班儿童则不存在差异(p = .136)。这说明大班儿童在解决平分问题时不太受平分量的影响，即使平分24的任务对大班儿童来说也不难，大班儿童已经具有较好的解决平分问题的能力。

综上所述，儿童在解决平分任务时受年龄的影响较大，大班儿童解决平分问题的能力高于中班儿童，同时中班儿童的平分能力受到平分量的影响较大。

2、 4-6岁儿童对平分问题的理解情况

儿童每次平分任务结束后，需要回答主试的问题“每个盘子分到几颗糖？”或者“需要几个盘子”。儿童每次回答正确计1分，回答错误计0分。每个儿童对平分问题的理解得分范围为0-8分。结果显示，在儿童对求商平分问题的回答得分中，中班、大班儿童的平均得分分别为4.48(SD = 3.17)和7.52(SD = 1.31)；而对求除数平分问题的回答得分中，中班、大班儿童的平均分分别为6.40(SD = 2.18)和7.67(SD = 0.55)。可见，大班儿童对平分问题的理解程度高于中班儿童，而儿童对解决求商的平分问题的理解提高得更快。

为了知道不同年龄的儿童在理解不同条件的平分问题时是否有差异，以条件(求商、求除数)、年龄(中班、大班)为自变量，儿童的回答问题得分为因变量，进行两因素方差分析。结果表明，年龄和条件的交互作用显著(p = .019 < 0.05)。简单效应检验发现，求商平分问题中，年龄的简单效应显著(p < 0.001)，求除数平分问题中，年龄的简单效应也显著(p < 0.05)，这说明无论是对求商平分问题的理解还是对求除数平分问题的理解，年龄对平分问题理解的能力都产生影响，大班儿童对平分问题的理解提高的更快。中班儿童中，条件的主效应显著(

p = .001)，大班儿童中，条件的主效应不显著(p = .846)，说明中班儿童对不同条件下平分问题的理解存在显著差异，对求除数平分问题的理解优于对求商平分问题的理解，而大班儿童则无显著差异。

以上结果表明，大班儿童对平分问题的理解能力高于中班儿童，并且，中班儿童对求除数的平分问题的理解能力要高于对求商平分问题的理解能力。这与两组儿童对平分问题的操作得分是完全一致的。

此外，本研究计算得到不同年龄段儿童对不同平分数量的理解得分均值。大班儿童与中班儿童在回答不同的平分数量(12和24)时的平均行为得分也不同。中班儿童在理解12和24的平分任务时，平均分分别为2.98(SD = 1.44)和2.44(SD = 1.67)。大班儿童在完成12和24的平分任务时，平均分分别为3.87(SD = 0.46)和3.72(SD = 0.66)。可见，大班儿童对平分问题的理解得分更高，且大班儿童对不同的数量的平分任务都已经有了较高的理解水平。

为了知道不同年龄的儿童在理解不同平分数量的平分问题时是否有差异，以平分量(12和24)、年龄(中班、大班)为自变量，儿童的回答问题得分为因变量，进行两因素方差分析。结果发现，年龄的主效应显著(F = 51.739, p < 0.001)，平分量的主效应也显著(F = 5.238, p < 0.05)，而年龄与平分量的交互作用不显著(F = 1.710, p = 0.192)。以上结果表明，4-6岁儿童对平分数量12的理解水平要高于平分数量24的理解水平，对于中班儿童来说这种差距更加明显。这说明对4-6岁儿童来说，平分数量的大小对儿童对平分问题的理解有一定的影响，平分数量越小越容易理解，平分数量越大越难理解。

（二）4-6岁儿童平分时使用策略

1、 儿童平分策略的总体情况

了解学前儿童在完成不同条件的平分任务过程中所使用的策略，能够为幼儿园教师在日常平分活动中使用有效的指导方法，提升儿童平分能力提供参考。为了解儿童在完成不同条件的平分任务过程中所使用的策略，本研究通过观察儿童完成平分任务过程的录像，将儿童使用的策略进行了整理和归纳。本研究中，不同的儿童使用的策略不同，且同一名儿童在不同平分问题情境下(即不同的平分任务中)使用的策略也有所不同。因此在对策略进行归纳分析时，本研究采用对儿童完成每一个测试任务的具体策略进行归类的方法。全部122名儿童所接受的测试题目总数为976题，平分错误的有158题，平分正确的题目为818题。

儿童平分成功的818题中，使用的策略分为以下五种：(1)直接说出答案再装盘策略，即儿童在接收到平分任务后，先目测思考出问题的答案后再把糖果装到盘子里，先思考后操作。(2)糖果移动摆放后再装盘策略，即儿童听到平分任务后，没有直接装盘，而是先把糖果根据自己的想法在桌子上移动摆放，通过摆放糖果从而了解正确答案后再装盘。(3)边思考边装盘策略，是指儿童在接收到平分任务后，一边装盘一边思考的策略。(4)先猜测所需要的盘子数再装盘策略，指儿童在接收到“需要装到几个盘子里”的平分任务后，先进行猜测，拿出自己所猜测的盘子数量摆在桌子上，然后进行平分操作，在操作过程中发现盘子数量不对后再调整。(5)平分正确，但没有装盘策略。是指儿童听到平分任务后，用目测或者是在桌子上移动摆放的方法得出正确答案，但却没有把糖果装到盘子里。在完成“每个盘中分几颗糖果”的平分任务时，因为盘子数是主试给出的，幼儿直接把主试说的盘子数量摆到桌子上即可，所以不存在先猜测所需要的盘子数再装盘这一策略。

以上策略在儿童正确完成平分任务时所使用的频率不同，其中70%以上的儿童都采用边思考边装盘的方法，其它四种策略所占的比重都比较小且相差不大(表3)。这说明，大部分学前儿童在完成平分操作之前并没有形成明确的平分方法，他们都是边装盘边思考，对于学前儿童来说，具体操作在完成平分任务中是非常必要的。

表3 儿童平分策略的频次及百分比

2、 求商组中儿童使用的策略

求商组中儿童解决“一个盘子中分到几个糖果”的问题时，所使用的具体策略类型主要有：(1)一轮完成型策略；即指儿童一轮操作下来就能够顺利完成平分任务的操作策略。(2)复数分配多轮完成型策略；指儿童依次在每个盘子里投放1到n颗糖，几轮下来后，糖果全部分完的策略。(3)复数分配调整完成型策略；指在每一份中投放n颗糖，中间过程不断调整糖果数，最终使每一份的糖果数相等的策略。(4)单数分配型策略；即指儿童在每个盘子当中依次只投放一颗糖果，直到把所有的糖果分完的策略。(5)单数分配调整完成型策略；指的是每次只在盘子里投放1颗糖，但仍然需要对个别糖果做出调整而最终使每个盘子中的糖果数相等的策略方法。(6)直接说出答案，无操作型策略。指的是幼儿只通过观察和思考就能说出答案，但没有进行平分操作的策略类型。儿童使用这六种策略的具体情况如表4所示。

表4 求商组儿童所使用的策略频次与百分比

结果表明，大班儿童在解决求商问题时，运用一轮完成型策略和复数分配调整完成型策略、以及直接说出答案，无操作策略的频数要明显高于中班。并且大班儿童顺利完成平分任务的频次（235次）远远高于中班（145次），这说明大班儿童解决求商问题时，平分的有效策略要明显好于中班。

从儿童的平分行为来看，单数分配完成型策略和复数分配多轮完成型策略运用的原理都是“一一对应”，这样“一一对应”策略已经超过40%，是求商组中占比最高的操作策略。这与先行研究的结果(Frydman & Bryant, 1988)一致。

3、求除数组儿童使用的策略

求除数组儿童解决“需要用到几个盘子”的问题时，所使用的策略类型主要有：(1)一轮完成型策略；即指儿童一轮操作下来就能够顺利完成平分任务的操作策略。(2)复数分配型策略；即依次向盘子中放入1至N颗糖果，直到所有的糖果都分到盘子中的策略(3)单数分配型策略；即每次只取一颗糖，直到最后把所有的糖果都分光的策略。(4)包含型策略；指儿童一次性放入主试所要求的糖果数，直至将所有的糖果都分完的策略。(5)其它(多种策略并存)策略；指的是儿童在完成平分任务时运用了多种策略完成平分任务。(6)直接说出答案未操作型策略。以上六种策略类型使用的具体情况如表5所示。

表5 求除数组儿童所使用的策略频次与百分比

从儿童的平分行为来看，单数分配完成型策略和复数分配多轮完成型策略的原理都是“一一对应”，如果把这两种策略类型都归为“一一对应”策略，那么求除数组儿童中“一一对应”策略已经接近50%，是求除数组儿童解决平分问题时运用最多的操作策略，这也与先行研究的结果(Frydman & Bryant, 1988)一致。

此外，对比求商组儿童和求除数组儿童所使用的策略时发现，两组儿童所使用的策略很多是一样的，在操作中，儿童装糖果的方法大同小异。这也体现出了在解决平分问题时，在被除数一定的情况下，除数和商之间是可逆的。

（三）儿童平分失败的错误原因与指导

1、儿童平分失败的原因

在对4-6岁儿童进行平分测验的过程中发现，有部分儿童未能完成平分任务，但是通过主试指导语的改变或者引导，可以提高其完成任务的成绩。在本研究中，除了前面分析的122名儿童外，有42名儿童在测试中接受了主试的指导，其中大班儿童为17名，中班儿童为25名。分析发现，本研究中接受指导的42名儿童（未能完成的任务为57题），儿童不能完成平分任务的原因及出现的频次如下表所示。

表6 影响4-6岁儿童完成平分任务的原因统计

2、儿童平分失败的指导

不同的错误原因指导的方法与效果也会不同。（1）盘子数量拿错或忘记题目要求；这类儿童往往在平分操作过程中由于拿错了盘子数量或不了解主试要求的盘子数量而直接影响到平分任务的完成，此时，主试的不断提醒能发挥较好的效果，帮助其完成平分任务。对于这一类错误，引导后的成功率很高，达到了85.71%。（2）胆小犹豫；在平分操作过程中，发现个别儿童不能够大胆完成操作，他们往往动作非常缓慢而且迟疑不决，甚至每放一颗糖果都要看看主试的反应，对这类儿童，主试主要以鼓励为主。对于此类错误，主试的引导效果接近100%。（3）平分操作过程中遇到阻碍；在诸多因素中，儿童平分的成功与否跟主试能否及时帮助儿童越过障碍、解决难题直接相关。本研究中，主试对这类问题指导的成功率为77.78%。（4）注意力不集中。这类儿童了解平分的概念，但因为注意力不集中而不能正确平分。他们如果注意力时间足够长，或者有勇于尝试不怕困难的精神，能够不断去检查与纠正自己的平分行为，成功率就会很高。主试的引导对这类儿童有一定的效果，但很难去客观的判断指导成功率的具体数值，因为这与儿童的个性特点息息相关。（5）不理解平分问题。儿童在平分操作过程中，由于对平分问题没有充分理解而出现失败，在所有的平分指导过程中，这也是成功率最低的一类，不足10%。对于那些不理解平分问题的概念而随意放糖果的儿童，主试的指导语收效甚微，很多指导语基本无效，儿童依然会根据自己的理解来分糖果，并且随意性很高，这说明对平分概念的理解是需要一个过程的，并不能通过主试简单的语言指导就能够实现。

同时，在指导实践中发现，不同年龄段的儿童在解决平分问题时所遇到的困难以及需要主试提供的指导有一定的差异性，因此有必要了解针对不同年龄段的儿童提供怎样的指导语才比较有效。总结对大班儿童的指导内容会发现，对大班儿童教师的指导其实比较简单，主要有：（1）提醒幼儿根据教师的要求来操作，就是把题目多重复几遍，防止幼儿忘记；（2）鼓励幼儿继续分完，不遗漏糖果；（3）提示幼儿对自己拿的盘子数量或糖果数量做一些检查工作，不要粗心。（4）对在平分过程中遇到困难的幼儿，鼓励其积极大胆的尝试。对中班儿童的指导内容除了延续大班的4种方式外也增加了一些其他指导内容。主要有：（1）帮助幼儿理解测试内容，也就是充分理解练习阶段的两个题目。（2）鼓励幼儿要专心完成测试，不三心二意。

尽管教师对中班儿童指导的内容更加全面，指导语也更多，但指导效果却不如大班。一个原因可能是大班儿童与中班儿童在解决平分问题的过程中所遇到的困难是不同的，大班儿童主要是忘记或忽略平分要求，极少数的大班儿童会出现不完全理解平分概念，或使用了策略但却平分失败的现象。对于忘记或忽略平分要求的大班儿童来说，教师的不断提醒往往能收到立竿见影的效果。而中班儿童所遇到的平分困难相对来说更加多样化，指导语的即时效果会比较差，同时有些隐性的指导内容是很难检测其效果。比如持续提醒中班幼儿保持对平分任务的兴趣与专注力等。另一个原因可能是大班儿童对平分问题的理解力较高，主试只要重复一遍题目，大班儿童就能很快领会并进行调整以完成平分任务，而中班儿童由于理解能力没有大班好，不容易被教师的提示所影响，主试提示后其成功率依然比较低。

另外，在指导过程中发现，大班儿童与中班儿童还有一个很明显的区别，即大班儿童想问题更加客观，觉得只有好好操作才能完成任务，而中班儿童把自己没能完成任务的原因更多地归结于外因，比如“我没带我的魔法棒，所以我分不出来”“我好像听到有人在喊我”“妈妈说我还小呢”等。

四、研究结论与不足

综上所述，本研究的结论如下：4-6岁的儿童已经具备一定的解决平分问题的能力，这种能力随着年龄的增长不断提高；儿童解决求除数的平分问题能力要优于求商的平分问题，且对于不同平分问题会采取不同的策略。

本研究针对4-6岁儿童进行平分问题的实验，共分为两个条件，分别考察了儿童解决求商平分问题和解决求除数平分问题的能力，分析其解决问题时使用的策略。在研究中还存在着不足之处，比如被试年龄段不够广泛。先行研究发现，3岁儿童已经可以完成平分非连续量了。本研究的对象是4-6岁，没有对3岁儿童也进行考察，为了更好地了解儿童平分能力的发展情况，今后将扩大年龄范围进行考察。

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