激发兴趣，引发思考-指导初中生撰写数学小论文初探

激发兴趣，引发思考 - 指导初中生撰写数学小论文初探

陈琦

宁波市海曙区储能学校

摘 要：正确指导初中生写好数学小论文，不仅是引导学生进行研究性学习的一个很好的方法和途径，而且有利于发展学生探索精神，适应当前教育改革的发展要求。本文通过指导初中生撰写数学小论文的实践探究，将数学教学与论文撰写结合起来，为数学教学提供有效参考借鉴。

关键词：初中数学，指导，小论文

时代的发展，推动着基础教育不断改革，新的教育理念冲击着传统的数学教学方法。实施多元化教学，包括将数学教学与论文撰写结合在一起，成了一种有效而实用的教学尝试。下面笔者就结合自己的教学实践，谈谈如何指导初中生写好数学小论文。

一、写什么——指导学生如何选题

对于初中生而言，认为学好数学就是单纯地会解题就可以了。觉得写论文是高大上的事。其实不然，教师不能仅仅关注解题结果，而是应从多元着眼，更关注学生的学习过程。学写数学小论文，就可以培养学生各方面的综合素养，包括阅读能力、分析问题、解决问题能力、写作能力。万事开头难，对初中生而言，对于小论文写什么会感到困惑，觉得无从下手。

首先，教师要帮助学生克服畏难情绪，应该正确指导学生如何选题。我从图书馆借来一些适合初中生阅读的数学杂志，如《中学生数学》、《数学大世界》等杂志，让学生阅读其中经过挑选出来的一些小文章，同时把上几届学生的小论文用电脑展示给学生看，让学生对数学小论文的选题有个初步的了解。

其次，由教师总结后提出几类选题：

1. 发现数学——结论反思型：这类选题侧重对课内知识的总结和反思。可以要求学生对所学知识进行梳理和归纳:总结学习中的得失，学习方法和经验介绍，反思错题困惑，也可以动手验证定理和公式，如勾股定理的几种证明方法，n边形内角和的几种证明等。像姜同学写的《神奇的零次幂》 ：“在学习了0次幂后，任何数（除0以外）的0次幂是1，为什么呢？ 我到网上搜了搜，只看到了关于幂和乘方的解释，并没有任何关于零次幂为什么等于一的解答。最多只有撂下一句: 这是国际惯例规定的，便没有了下文。为了自圆其说，探究零次幂的成因。于是，我开始探索这个问题，首先，我根据幂的定义来解释，发现是这样，假设用字母N代替任何数（0除外），N⁰表示零个N相乘，那结果应为0，可为何数学家们把它定义为1呢？后来，我学习了同底数幂的乘法公式，推导了其中一个与零次幂密切相关的公式A^m/Aⁿ=A^m-n,那么零则是由两个相等的非负数相减得来的，若m=n,右式A^m-n就会变成A⁰，左式就相当于变成了A^m/A^m,那么答案就变成了1了，这样一来数学家将A⁰（A>0）规定为1也就说得通了。”

点评：在撰写小论文的过程中，姜同学发现了同底数幂的除法公式，很好解释了非零数的0次幂是1，不知不觉中，学生自己探究出数学结论，印象非常深刻。为后续学习同底数幂的运算奠定了基础。

2、理解数学——问题探索型：研究某个数学问题，探索规律，得出解决问题的办法；也可以把某一道有挑战性的题目简便的或与众不同的解法（包括一题多解）条理清晰地表达出来。如王雨霏写的《求绝对值和的最小值》：已知Y=|X-1|+2|X-3|+4|X-4|,求Y的最小值。以前做这道题，我们通常会用零点分段法去做，可是这样分类讨论很慢，分点一多，影响了准确率。

现在，我用了一种更简便的方法，利用数轴来解决这道题：

Y=|X-1|+2|X-3|+4|X-4|

=|X-1|+|X-3|+|X-3|+|X-4|+|X-4|+|X-4|+|X-4|

∵有7个绝对值相加，所以取中间项第4个项，|X-4|

∴X=4

代入原式得，Y=3+2=5

可是，为什么有7个项就取中间项呢？让我来证明一下。

设有A、B两点,使A≥B,点X在直线AB上，则X到A,B的距离和为|X-B|+|X-A|,要使|X-B|+|X-A|的值最小，从图一的数轴可见，X必须在A,B之间，即B≤X≤A，此时X到A,B的距离和为|A-B|

B X A

（图一）

由此可得，结论一：Y=|X-B|+|X-A|, (A≥B),当B≤X≤A，Y有最小值

同样，设有A、B、C三点，使A≥B≥C,则X到A,B,C的距离和为|X-C|+|X-B|+|X-A|,要使|X-C|+|X-B|+|X-A|的值最小，从图二的数轴可见，当X在B上，即X=B时，X到A,B,C的距离和为|A-C|

C B(X) A

(图二)

由此可得，结论二：Y=|X-C|+|X-B|+|X-A|,( A≥B≥C),当X=B，Y有最小值。

同理设，有A、B、C，D四点，使A≥B≥C≥D,则X到A,B,C,D的距离和为|X-D|+|X-C|+|X-B|+|X-A|,要使|X-D|+|X-C|+|X-B|+|X-A|的值最小，从图三的数轴和结论一可先得出，当D≤X≤A时，|X-D|+|X-A|有最小值|A-D|; 当 C≤X≤B时，|X-C|+|X-B|有最小值|B-C|。而点B,C又在点D,A之间，所以当C≤X≤B时，X到A,B,C,D的距离和为|B-C|+|A-D|

D C X B A

(图三)

由此可得，结论三：Y=|X-D|+|X-C|+|X-B|+|X-A|, (A≥B≥C≥D),当C≤X≤B，Y有最小值。类似地，有A、B、C，D，E五点，要使|X-E|+|X-D|+|X-C|+|X-B|+|X-A|的值最小，

由此可得，结论四：Y=|X-E|+|X-D|+|X-C|+|X-B|+|X-A|, (A≥B≥C≥D≥E),当X=C，Y有最小值。

由结论一，二，三，四，我发现：

当有2个绝对值相加时，X在两点之间，Y有最小值；

当有3个绝对值相加时，X在最中间的点上，Y有最小值；

当有4个绝对值相加时，X在最中间的两个点之间，Y有最小值；

当有5个绝对值相加时，X在最中间的点上，Y有最小值。

依此类推，我找到了它们的规律：

Y=|X-a1|+|X-a2|+|X-a3|+……+|X-an| (a1≤a2≤a3≤……≤an)

当有n个绝对值相加时，n为偶数时，X在最中间的两点(项)之间，即a(n/2)≤X≤a((n/2)+1)时，Y有最小值；

当有n个绝对值相加时, n为奇数时，X在最中间的点（项）上，即X= a((n+1)/2)时，Y有最小值。

最后，让我们回到原题，Y=|X-1|+2|X-3|+4|X-4|，原题可拆分为：

|X-1|+|X-3|+|X-3|+|X-4|+|X-4|+|X-4|+|X-4|，按照得出的规律，当有7个绝对值相加时，7为奇数，X在最中间的点（项）上，(7+1)/2=4,即第4个项——|X-4|,当X=4时，代入原题，便得出最小值Y=5.

点评：对于像王雨霏这样成绩优秀的学生，她具有规范的书写习惯和较强的数学思维，通过数形结合的思想，由浅入深，由特殊到一般，证明得出了求绝对值和的最小值的简单方法。仅仅依靠课堂内的学习与课本知识是远远不足的，需要根据学生的实际水平进行知识的拓展。这一类型的学生通常对更广阔的知识充满兴趣，有很多解题的心得体会，能够真正深入地理解数学。课后我把这篇小论文在全班展评，得到全班同学的一致好评，她本人在今后的数学学习中变得更加努力钻研、充满自信。

3、应用数学——实践应用型：数学来源于生活，又应用于生活。可以说生活处处有数学。如峰谷电、商品打折、中大奖的概率、红绿灯的安排等等。要鼓励学生用数学的眼光来观察周围的世界，找到现实生活中蕴含的数学信息，提炼出自己想要探究的问题。如孙菀贻写的《理财小能手》：金秋十月，秋高气爽，爸爸妈妈决定带我们一起去宁海的前童古镇玩一玩。

我

成人 70元

儿童 35元

团体 60元（10名及10名以上）

但

二大一小 155元
一大一小 95元

“孩子们，怎样买票才最划算呢？赶紧给我们出出主意！”妈妈问我们。
读小学的乐乐妹妹争先恐后地答道：“姑妈，我知道，八个大人买大人票，小孩买儿童票，8*70=560（元） 6*35=210（元），总共需要770元，对吗？”
“当然是买团体票划算了！”丁丁不屑一顾地说道，“不是说团体票有优惠吗？那我们全部人可以一起买团体票，总共有十四人，14*60=840（元），需要840元！”话还未说完，丁丁马上改口道：“不对不对，我算错了，8个大人加2个小孩组成团体票，其余小朋友买儿童票，10*60=600（元），4*35=140（元），总共需要740元，足足便宜了100元哦！”丁丁自鸣得意地说道，弟弟妹妹们也在一旁附和道。
站在一旁的我，看了看窗口前的告示，在心中暗暗盘算着：二大一小 155元，一大一小 95元，我们今天一行人共有八位大人，可以组成四组二大一小，还多出两位小朋友可以购买儿童票，4*155=620（元），2*35=70（元）加起来一共要690元！这样可比丁丁的方案还要优惠50元哦！“妈妈，不着急买，我有更优的购买方案！”我激动地说着，“大家景点今天推出的优惠套餐二大一小 155元，一大一小 95元，而我们今天的团队，既有儿童，又有大人，我们可以购买优惠套餐啊！”我沾沾自喜地把自己的方案说了出来。

妈妈听到我的分析，微笑着对我说：“你真是个理财小能手，就照你的方法去买！”调皮的丁丁还打趣道：“学好数学，可以让你用更少的钱过更好的生活！”

点评：孙菀贻从一次古镇游览买门票的实际生活例子中提炼出最优化的问题，用生活中接触到的数学问题来进行小论文创作，有话可讲，应用型的数学小论文引导学生不仅关注了数学，更关注了现实生活，把他们的眼光从教科书引向更广阔的社会天地，达到了“开眼看世界”的目的。

二、怎么写——指导学生如何写好小论文

1.课堂教学是指导学生写好小论文的主要阵地。

学生撰写数学小论文的能力训练，要渗透到平时教与学的过程中。笔者利用每周一节的研究性课程，指导学生以小组为单位，对每个组员感兴趣的论题先进行组内探讨。在发挥学生的主体作用中，放手让学生自主选择论题，不能过分束缚他们的活动。在他们提出问题、分析问题、解决问题的过程中，要结合阅读大量资料，作分析比较，去伪存真，在互助合作中提高学生的综合素质。经过组内探讨后，派代表全班进行交流，怎么写，写什么，听听同伴和老师的建议。充分发挥教师的指导作用，既要适时组织学生的搜集、分析讨论、写作等学习活动，又要以参与者、引导者的身份参加活动，不断鼓励学生，激发他们的兴趣和积极性。同时教师应该提出写论文的具体要求和格式，提供学生一些有针对性的参考书籍。在平时的数学课堂上我们很容易遇到一些可以活学活用的问题，教师也可以适时倡导学生利用这些问题上加以思考研究，对于某一习题进行一题多解，对于新学的定理公式进行多角度证明，为写小论文提供数学素材。

2.课后的数学实践活动是指导学生写好小论文的重要源头。

兴趣是最好的老师，学生只有有了讨论数学的兴趣和研究的数学问题，才能让学生撰写论文有事可议、有问可究。那么撰写论文兴趣的源头在哪里？ 笔者认为来自数学文化氛围的营造和数学活动的开展。[2]在日常教学之余通过布置黑板报，数学活动宣传窗等写写数学专栏，让学生在浓厚的数学氛围中受到熏陶，当学生看到别人对数学问题的探究，就会有所启发。平时引导学生用数学的眼光关心生活、关心时事，上网查找相关科学知识，如学了统计图后查找新冠病毒感染人数的各类统计图，在这些数学实践体验活动中，激发起学生强烈的写作欲望。

3、积极的评价是指导学生写好小论文的兴奋剂。

对学生进行鼓励，“当学生将自己的心得体会整理出来，变成一篇实实在在的小论文，并得到积极肯定的评价，学习的自信心和内驱力自然被调动起来了。”[3]我们知道信心是黄金，自信心是学生学习成功的内驱力。在实践中，不少学困生正是从发现一种巧妙解法、理清一道题的思路中，通过反思学习成功或失败的原因，确定了自己的努力方向，收获了学习的自信。如朱涵同学，是我们班的学困生，他写了这样一篇小论文，是对一道几何证明题的解法探究，全文如下：有一次，我在写数学作业时，遇到了一道题目，这道题令我百思不得其解。后来，经过反复研究，终于做出来了。但第二天又发现，其实这道题非常简单。题目是这样的：

如图所示：点B在AC上，BD⊥BE ，∠1+∠C=90°。问射线CF与BD平行吗？

我之前的思路是这样的。

∵∠1+∠C=90°（已知）

又∵ABC三点共线

∴∠ABC=180°

又∵BD⊥BE（已知）

∴∠DBF=90°(垂直定义原理)

∴∠1+∠2=180°— 90°=90°

∴∠2=∠C（等量代换）

∴CF与BD平行(同位角相等，两直线平行)

第二天，我觉得这个方法有点复杂，于是我又开始思考，求证平行。无非三种情况，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

我观察后发现，这个图并没有内错角，同位角是∠2与∠C，同旁内角是∠DBC与∠FCB。我想，之前的思路，用的是同位角相等，那能不能是同旁内角互补来做呢？

我又发现∠DBC与∠FCB，分开来就是∠DBE+∠1+∠C，正是90°+90°=180°吗？

所以过程是这样的：

∵BD⊥BE（已知）

∴∠DBF=90°(垂直定义原理)

又∵∠1+∠C=90°（已知）

∴∠DBF+∠1+∠C =180°

那么，∠DBC+∠FCB =180°

∴CF与BD平行(同旁内角互补，两直线平行)

这比第一天求证过程简单多了。

所以，在今后的做题中，我一定要多加观察分析。尤其是几何题目，很有可能一道题有好多种解法。我一定要尽量选择简便的方法。这样，不仅可以节省许多时间，还想可以提高正确率。这不是一举两得吗？

点评：虽然这篇小论文实在过于简单，但是作为教师，只能从学生的现有学习水平出发去正确评价。学生能通过自身的努力思考最终解决，才会有兴趣去积极研究解决这些问题。尽管简单，但是作为七年级中学生，他们知识面狭窄，对数学材料和论题的分析解决能力较差，所以我们不能用专业论文的标准来要求他们， “只要能以数学事实为依托，持之有据，言之成理，论述清楚即可。”[1]尤其对于学困生而言，他能发现更简单的解法，能静心去思考探索数学问题，是难能可贵，值得表扬的。通过这一次的小论文撰写，在老师的积极鼓励下，从而激发起他学习数学的兴趣。

当然，恰当的评价，不仅仅限于口头表扬，数学小论文使学生巩固了学习的成果。教师要认真负责地批阅每一篇文章，书面肯定其突出优点。对不同水平的小论文，要师生一起反复讨论，提出修改意见。笔者在小论文的批改过程中，要求学生二次修改，对于学生修改前后的写作情况，分别给出不同的得分，及时反馈给学生。在总结的过程中，也要指出有质疑观点、论据分析有误的文章；对于观点出现对立的情况，教师还可以组织学生分组进行辩论，以使他们的思维在碰撞过程中得到进一步提升。同时要表扬立意新颖，观点鲜明的好论文。每年我校数学组以年级为单位，通过组织评奖等手段，分等级奖励那些撰写优秀小论文的同学，最大程度激发他们写小论文的积极性。

在指导学生写好小论文的活动中，还要把握两个注意点第一要以点带面，对学生写小论文的要求不能千篇一律。选题和要求应符合学生的实际，只有从每个学生的现有学习水平出发设计的选题，学生能通过自身的努力最终解决，才会有兴趣去研究解决这些问题，最终水到渠成地写出自己的观点。第二要克服就论文写论文，选题要与数学相结合，数学小论文不同于文科论文，作为教师，要引导学生在推进数学学习，巩固数学知识上下功夫。数学小论文就要写出数学味。

基于核心素养的数学教学，应该倡导学生综合素质的提高。在初中阶段对学生开展数学小论文的撰写指导，可以让学生发现数学，理解数学，应用数学，帮助学生真正提升综合素质。让学生在学习中学会探索，全面提高学生的综合素质，这是我们数学教师的追求，更是时代发展的要求。

[1]《关于数学教学中小论文式教学尝试的研究 》 【教法研究】

刘纯刚，龙春梅

[2]《引领学生当学习的研究者 -—浅谈如何指导小学生写数学论文》

【数学学习与研究】 谢红芳

[3] 《指导初中生写数学小论文的实践与思考》 【观察与思考】

王卫娟 2015年12月

作者简历：陈琦 ，女，1974.11,大学本科，中学高级教师。从教27年。宁波市教坛新秀，海曙区名教师、海曙区学科骨干教师。曾多次担任中学中、高级职称评委，教师资格证书评委。开设市区级公开课及中考复习专题讲座。撰写的论文曾在省、市、区获奖并发表。曾获海曙区微课比赛一等奖，命题竞赛一等奖，“我与课改“征文一等奖。曾获宁波市先进教师，宁波市优秀盟员，海曙区优秀教师，海曙区优秀班主任等荣誉称号。