巧用数轴，妙解分式方程应用题——以可化为一元一次方程的分式方程中的路程问题为例

巧用数轴，妙解分式方程应用题——以可化为一元一次方程的分式方程中的路程问题为例

李宁宁

201101 上海市闵行区七宝第三中学

摘要：从小学到初中，应用题始终是学生学习数学的难点，而分式方程应用题就尤为突出。一方面难在理解题意，不能找到合适的关键字词，导致思绪不清；另一方面难在需要从实际问题中抽象出数学模型，进而建立等量关系式。本文将借助数轴的直观形象，利用数形结合的思想，帮助学生在路程方面的应用题中快速建立数学模型，找出等量关系式，进而简单有效地进行求解。

关键词：分式方程；数轴；应用性问题

1. 引言

培养学生用数学解决实际问题的能力是《义务教育数学课程标准（2011版）》中规定的课程目标之一，而应用性问题教学是培养学生思维的一条重要途径。列分式方程解应用题是初中数学教学的难点之一，学生面临的困难是：读不懂题意，导致不能抓住题目中的关键语句；不能找出已知量和未知量之间的关系，进而无法建立等量关系式。一方面是中小学生的心理特征决定的，学生很难在大段的文字中迅速找出列方程所需要的字词；另一方面是文字给人以刻板的印象，不如图形直观易懂。

数学结合是一种重要的数学思想，主要表现在把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，由直观的图形来发掘数量之间的联系，使得抽象问题进而具体化、形象化，达到化难为易的数学思想。笔者就是借助数轴的直观性来解决方式方程应用性问题。依据题目的特征，将这类问题分为三类：同时到达；先出发，先到达；先出发，后到达。

2. 实例解决

1、类型一：同时到达

例1、甲、乙两地的距离是30公里，一辆公共汽车从甲地使出40分钟后，一辆小汽车也从甲地出发，结果两车同时到达，已知小汽车的速度是公共汽车的5倍，求两车的速度.

分析: 根据题意，做出以上示意图。设公共汽车从甲地到乙地所用的时间为 ,小汽车从甲地到乙地所用的时间为 。解决这类问题，最有效的方法就是用方程解决，那就需要先找出等量关系式，从上图很容易找到等量关系式 ,因此只需要表示出 和 就可以解决这个问题。而 ， 。

解: 设公共汽车的速度为每小时 公里，则小汽车的速度为每小时 公里。

根据题意，列出等式得：

解分式方程、检验、作答的过程这里不作赘述。

2、类型二、先出发，先到达

例2．甲、乙两地的距离是80公里，一辆公共汽车从甲地使出3小时后，一辆小汽车也从甲地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达乙地，求两车的速度.

分析：根据题意，做出以上示意图。设公共汽车从甲地到乙地所用的时间为 ,小汽车从甲地到乙地所用的时间为 。解决这类问题，最有效的方法就是用方程解决，那就需要先找出等量关系式，从上图很容易找到等量关系式 ,因此只需要表示出 和 就可以解决这个问题。而 ， 。

解:设公共汽车的速度为每小时 公里，则小汽车的速度为每小时 公里。

根据题意，列出等式得：

解分式方程、检验、作答的过程这里不作赘述。

3、先出发，后到达

例3. 甲、乙两地的距离是80公里，一辆公共汽车从甲地出发，开往乙地，2小时后，又从甲地同方向开出一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车速度的3倍，结果小汽车比公共汽车早40分钟到达乙地，求两车的速度.

分析：根据题意，做出以上示意图。设公共汽车从甲地到乙地所用的时间为 ,小汽车从甲地到乙地所用的时间为 。解决这类问题，最有效的方法就是用方程解决，那就需要先找出等量关系式，从上图很容易找到等量关系式 ,因此只需要表示出 和 就可以解决这个问题。而 ， 。

解:设公共汽车的速度为每小时 公里，则小汽车的速度为每小时 公里。

根据题意，列出等式得：

解分式方程、检验、作答的过程这里不作赘述。

三、小结

1、这类应用性问题，通过借助数轴的直观性显得轻而易举，尤其是解决一些较为复杂的路程问题时更能体现它的优点。因此，在以后的教学中，教师可以采取这样的方法进行教学，学生能够更容易地理解和掌握，同时也能渗透数形结合的数学思想。

2、在教学的过程中，面对学生理解上的难点是，教师要采取合适的教学方法。俗话说：教就是为了不教，因此，只有让学生掌握解决问题的方法，学会对实际问题进行建立模型，才能达到教学的本质。

3、数形结合百般好，隔离分家万事休。本文就是借助数轴的直观性和简洁性来达到解决这类问题的目的，从而使学生比较费解的知识点进行清晰地呈现，为后续的数形结合的进一步学习奠定基础。

参考文献：

[1]李娟.分析建模—列分式方程解应用题的教学智慧[J].数学学习与研究，2014（24）.

[2]张培英. 数形结合思想在应用题教学中的应用[J].实践探索，2015（1-2）.

[3]赵春祥. 分式方程应用题分类解析[J].初中数学教与学，2004（10）.