“一线串通”课例的课堂分析——“共角定理”两堂课为例

“一线串通”课例的课堂分析 ——“共角定理”两堂课为例

林雄

（广州市景中实验中学）

摘要：通过实施《一线串通在初中数学教学中的应用研究》课题过程中的两堂关于“共角定理”内容的课例的分析，提炼课题组对一线串通在初中数学教学中的应用研究的过程性成果，并希望设计出更加符合教学需求且具有实效性的教学方案，从而促进学生数学素养的发展。

关键词：一线串通、共角定理、教育数学

一、背景情况说明：

“教育数学”是张景中院士根据欧几里得、柯西、布尔巴基等诸位教育数学大师的著名范例，创造性地提出并积极倡导的一个理论。我们学校基于张景中院士根据“教育数学”理论编写的教育数学实验教材《一线串通的初等数学》，将其中的三共定理和四弦公式作为主要内容，融入到初中数学现行教材中，争取最大化“重建三角，全局皆活”的先进性。“一线串通”其意是代数、几何、三角一线串通，希望抓住“通性通法”，一以贯之，解决一大类数学难题。三共定理是共高定理、共边定理、共角定理。其中共高定理是一线师生都熟悉的定理，常说的面积法就是，在代数函数面积问题、几何中处处有用。同时共高定理是推导出共角定理、共边定理的基础性定理。而共角定理是最核心的定理，共角定理与三角形全等、相似判定定理直接相关，也可以通过共角定理导出正弦三角形面积公式，是三共定理和四弦公式联系的纽带。但是共角定理对学生来说是比较陌生的，所以需要在各年级中进行强化训练，同时也在教授过程中希望让学生更容易理解和使用。所以我们课题实施中重点研究了这个内容，根据学生情况去调整，希望收到更好的效果。

2. 教学设计分析：

1. 知识内容：

共高定理：两个三角形有高线相等，它们的面积比等于对应底边的比。

共角定理：若两个三角形有对应角相等或互补，则它们的面积比等于它们等角或互补角的两边的乘积比（或者说比的乘积）

学生在上学期已经学习了共高定理，并在实际做题当中也有反复使用，对共高定理是比较熟悉的。但是学生对面积比等于线段比这样的表达方式还是比较陌生，同时共角定理是由共高定理推导出来的，所以先复习共高定理，以及面积比等于线段比，是很有必要的。共角定理的条件是角的关系，结论是面积比和线段乘积比的关系，加上图形比较复杂，可能的情况多，需要慢慢引导和反复练习去强化。

2. 学情分析：

学生成绩属于中上水平，基础相对扎实，不过学习习惯、学习方法不是很好，更偏向于记忆题型的方式，能够真正理解知识的产生、推导、与其他知识产生比较联系然后再形成记忆的不多。这个内容本来安排在七年级下，但是因为疫情的原因，七年级下上了网课，出于各种考虑，推到了八年级上。学生已经学完了三角形、全等三角形、轴对称等内容，三角形知识比较熟悉，对共角定理接受起来难度比较低，所以本来两节课安排的内容尝试按一节课安排完成。

2. 教学过程分析：

为了更好地研究和让学生真正学到位，学得好，我们采取了一课两讲的方式，同一节课由不同的老师在不同的班级讲授，一个老师先讲，再研讨、集备，后面讲的老师按自己的理解、对自己学生学情的把握，以及研讨集备的结果调整自己上课的内容。然后再比较其中的情况，希望得到更理想、更有参照性的结果。

1. 第一节课（林雄老师）

第一、复习共高定理。

两道练习题让学生熟悉面积比等于线段比的情况，为后续做准备。

2. _{例 题引入，小结。}

_{例题1：如图，} ， ，

_{（1）求（2）}

例题的第一小问设置求具体面积，学生更熟悉，降低学生难度。从复习那里学生能意识到需要用共高定理解决问题，所以学生自己能注意到（或者稍加引导就能注意到）需要添加辅助线（连结BD或者CE）把问题转化成共高的问题去处理。第二小问让学生注意到面积比，引导学生观察和线段比的关系（条件没有直接给出线段比，也是考虑学生的易接受程度），从而猜测到共角定理的形式，再通过证明得到共角定理的一个情况。

_{2、小结1：若两个三角形有对应角相等，则它们的面积比等于它们等角或互补角的两边的乘积比（或者说比的乘积）}

_{3、练习：}

通 过变式练习，熟系定理，以及注意细节问题。例如，定理成立的前提是有等角，面积的比是等角两边的乘积比等等。对于这样不熟悉的表达和比较方式，学生需要适应。

第三、变式例题和共角定理的完整总结。

_例题2：

总结共角定理：

通过变式例2的证明，让学生学会如何把新的问题图形回溯到旧的问题图形，用以前学过的题型解决问题。同时，完整学习到共角定理的全部情况，并进行总结。

第四、练习巩固。

2. 第二节课（时玉娟老师）

1. 复习共高定理。

前两题一样，加一题：在△ABC中，D为AB的中点，E为AC的中点，则

_{这一题也比较简单，同时从中点切进来有很多好处，一是容易想到辅助线，二是中点的情况学生也更熟悉，猜想到结果也更容易，由结果反过来引导思路，降低了学生难度的同时，也很好地从共高定理过渡到共角定理的基本图形，三是为学生以后学习三角形中位线做了铺垫，实际上节省了学习的时间，丰富了学习的角度和内容。}

2. 探究新知和小结：

思 考：1.在△ABC中，若 , 则

2.在△ABC中，若 , 则

探究1：在△ABC中， ，求 的值

思考和探究的设计对应复习里增加的问题，把问题继续深化，从特殊到一般，从数字到字母，整个思维过程，定理的形成过程非常顺理成章，学生很容易就理解了问题的关键。降低了学生学习的难度，以及给学生一个思考问题的好示范，如何去从特殊的情况去一步一步推导到一般的结论。

后面的课程没有太大不同，不再说明。

2. 结语：

共高定理、共角定理、共边定理，用“比”的眼光学数学，是非常重要的思路和方法。学生从小学到七八年级主要的学习都是线段相等这样的等量关系，对比例的等量关系很陌生，当他们遇到这样的问题的时候很容易找不到思路。其实，“比”是非常重要的学习领域，也是初中几何的教学学习难点，主要集中在九年级三角形相似和三角函数的部分，我们有必要在七八年级渗透“比”的相关几何知识。七年级上学期可以渗透比例中的合比性质、等比性质等各种性质，七年级下八年级上加入三共定理的学习，都是在反复的加强“比”的思想。

张景中院士说过：“改造数学使之更适宜教学和学习，为教育而研究数学，通过丰富发展数学而推进教育。”我们需要通过学习以及大量的实践，总结经验，不断改进上课的方式方法，才能给学生更好的数学教育，为推动教育数学添砖加瓦。

参考文献：

1. 赖虎强，2014，妙用正弦学数学【M】成都：四川科学技术出版社

ISBN 978-7-5364-7739-1，2014年1月第一版

2. 张景中，2009，一线串通的初等数学【M】2版。北京：科学出版社

ISBN 978-7-03-025041-4，2009年8月第一版

3. 李兴贵，赖虎强，2018，教育数学概论【M】北京：科学出版社

ISBN 978-7-03-059476-1，2018年11月第一版

用于《一线串通在初中数学教学中的应用研究》课题