(广州市景中实验中学)
摘要:通过实施《一线串通在初中数学教学中的应用研究》课题过程中的两堂关于“共角定理”内容的课例的分析,提炼课题组对一线串通在初中数学教学中的应用研究的过程性成果,并希望设计出更加符合教学需求且具有实效性的教学方案,从而促进学生数学素养的发展。
关键词:一线串通、共角定理、教育数学
一、背景情况说明:
“教育数学”是张景中院士根据欧几里得、柯西、布尔巴基等诸位教育数学大师的著名范例,创造性地提出并积极倡导的一个理论。我们学校基于张景中院士根据“教育数学”理论编写的教育数学实验教材《一线串通的初等数学》,将其中的三共定理和四弦公式作为主要内容,融入到初中数学现行教材中,争取最大化“重建三角,全局皆活”的先进性。“一线串通”其意是代数、几何、三角一线串通,希望抓住“通性通法”,一以贯之,解决一大类数学难题。三共定理是共高定理、共边定理、共角定理。其中共高定理是一线师生都熟悉的定理,常说的面积法就是,在代数函数面积问题、几何中处处有用。同时共高定理是推导出共角定理、共边定理的基础性定理。而共角定理是最核心的定理,共角定理与三角形全等、相似判定定理直接相关,也可以通过共角定理导出正弦三角形面积公式,是三共定理和四弦公式联系的纽带。但是共角定理对学生来说是比较陌生的,所以需要在各年级中进行强化训练,同时也在教授过程中希望让学生更容易理解和使用。所以我们课题实施中重点研究了这个内容,根据学生情况去调整,希望收到更好的效果。
教学设计分析:
知识内容:
共高定理:两个三角形有高线相等,它们的面积比等于对应底边的比。
共角定理:若两个三角形有对应角相等或互补,则它们的面积比等于它们等角或互补角的两边的乘积比(或者说比的乘积)
学生在上学期已经学习了共高定理,并在实际做题当中也有反复使用,对共高定理是比较熟悉的。但是学生对面积比等于线段比这样的表达方式还是比较陌生,同时共角定理是由共高定理推导出来的,所以先复习共高定理,以及面积比等于线段比,是很有必要的。共角定理的条件是角的关系,结论是面积比和线段乘积比的关系,加上图形比较复杂,可能的情况多,需要慢慢引导和反复练习去强化。
学情分析:
学生成绩属于中上水平,基础相对扎实,不过学习习惯、学习方法不是很好,更偏向于记忆题型的方式,能够真正理解知识的产生、推导、与其他知识产生比较联系然后再形成记忆的不多。这个内容本来安排在七年级下,但是因为疫情的原因,七年级下上了网课,出于各种考虑,推到了八年级上。学生已经学完了三角形、全等三角形、轴对称等内容,三角形知识比较熟悉,对共角定理接受起来难度比较低,所以本来两节课安排的内容尝试按一节课安排完成。
教学过程分析:
为了更好地研究和让学生真正学到位,学得好,我们采取了一课两讲的方式,同一节课由不同的老师在不同的班级讲授,一个老师先讲,再研讨、集备,后面讲的老师按自己的理解、对自己学生学情的把握,以及研讨集备的结果调整自己上课的内容。然后再比较其中的情况,希望得到更理想、更有参照性的结果。
第一节课(林雄老师)
第一、复习共高定理。
两道练习题让学生熟悉面积比等于线段比的情况,为后续做准备。
例 题引入,小结。
例题1:如图, ,
,
(1)求(2)
例题的第一小问设置求具体面积,学生更熟悉,降低学生难度。从复习那里学生能意识到需要用共高定理解决问题,所以学生自己能注意到(或者稍加引导就能注意到)需要添加辅助线(连结BD或者CE)把问题转化成共高的问题去处理。第二小问让学生注意到面积比,引导学生观察和线段比的关系(条件没有直接给出线段比,也是考虑学生的易接受程度),从而猜测到共角定理的形式,再通过证明得到共角定理的一个情况。
2、小结1:若两个三角形有对应角相等,则它们的面积比等于它们等角或互补角的两边的乘积比(或者说比的乘积)
3、练习:
通 过变式练习,熟系定理,以及注意细节问题。例如,定理成立的前提是有等角,面积的比是等角两边的乘积比等等。对于这样不熟悉的表达和比较方式,学生需要适应。
第三、变式例题和共角定理的完整总结。
例题2:
总结共角定理:
通过变式例2的证明,让学生学会如何把新的问题图形回溯到旧的问题图形,用以前学过的题型解决问题。同时,完整学习到共角定理的全部情况,并进行总结。
第四、练习巩固。
第二节课(时玉娟老师)
复习共高定理。
前两题一样,加一题:在△ABC中,D为AB的中点,E为AC的中点,则
这一题也比较简单,同时从中点切进来有很多好处,一是容易想到辅助线,二是中点的情况学生也更熟悉,猜想到结果也更容易,由结果反过来引导思路,降低了学生难度的同时,也很好地从共高定理过渡到共角定理的基本图形,三是为学生以后学习三角形中位线做了铺垫,实际上节省了学习的时间,丰富了学习的角度和内容。
探究新知和小结:
思 考:1.在△ABC中,若
, 则
2.在△ABC中,若 , 则
探究1:在△ABC中, ,求
的值
思考和探究的设计对应复习里增加的问题,把问题继续深化,从特殊到一般,从数字到字母,整个思维过程,定理的形成过程非常顺理成章,学生很容易就理解了问题的关键。降低了学生学习的难度,以及给学生一个思考问题的好示范,如何去从特殊的情况去一步一步推导到一般的结论。
后面的课程没有太大不同,不再说明。
结语:
共高定理、共角定理、共边定理,用“比”的眼光学数学,是非常重要的思路和方法。学生从小学到七八年级主要的学习都是线段相等这样的等量关系,对比例的等量关系很陌生,当他们遇到这样的问题的时候很容易找不到思路。其实,“比”是非常重要的学习领域,也是初中几何的教学学习难点,主要集中在九年级三角形相似和三角函数的部分,我们有必要在七八年级渗透“比”的相关几何知识。七年级上学期可以渗透比例中的合比性质、等比性质等各种性质,七年级下八年级上加入三共定理的学习,都是在反复的加强“比”的思想。
张景中院士说过:“改造数学使之更适宜教学和学习,为教育而研究数学,通过丰富发展数学而推进教育。”我们需要通过学习以及大量的实践,总结经验,不断改进上课的方式方法,才能给学生更好的数学教育,为推动教育数学添砖加瓦。
参考文献:
赖虎强,2014,妙用正弦学数学【M】成都:四川科学技术出版社
ISBN 978-7-5364-7739-1,2014年1月第一版
张景中,2009,一线串通的初等数学【M】2版。北京:科学出版社
ISBN 978-7-03-025041-4,2009年8月第一版
李兴贵,赖虎强,2018,教育数学概论【M】北京:科学出版社
ISBN 978-7-03-059476-1,2018年11月第一版
用于《一线串通在初中数学教学中的应用研究》课题