基于超松弛迭代算法的室内循环水供暖研究

鲜铭权  李天军 栾锋 任炬光 赵兴

成都理工大学工程技术学院  614000

摘 要

本文提出利用有限差分法建立导热偏微分方程后利用超松弛迭代法求出节点温度，然后得到房间内的三维温度分布的方法。假设室内仅有暖热片唯一热源，考虑到暖热片产生的热量与室内材料散热到达热平衡，建立暖热片产热与室内材料散热动态热平衡方程，可求得暖热片出水口温度。对管道中的微元控制体建立三维热传导方程，利用 工具箱仿真模拟建立三维热传导模型，利用有限差分法将导热偏微分方程转化为节点温度的差分方程，利用超松弛迭代法求解出节点温度数值。

关键词： 定律 三维 稳态导热 有限差分法 超松弛迭代法

引言

在暖热片、空调等取暖设备中，由于周围空气存在温度差，形成不同的温度分布。在我国，许多地区冬季供暖采用的方式为热水供热。热水供热中每一户有一个进水口和出水口，热水由进水口进入房间，之后通过出水口离开房间。调整进水口的流量，使得在室外天气变化时，室内的温度能够维持在一个相对稳定的范围之内。这种暖热片供暖技术是近年来在各行各业广泛应用的一种供暖形式，技术和产业链成熟，相较于地板供暖，能在消耗更少能源的情况下获得更好的舒适度，暖热片供暖采用辐射和对流换热系统供热，能够更加有效地利用低品质能源，在提升供暖效果的同时提高能源利用率。布置安装灵活，不会受到家具遮挡的影响。目前，国内外众多研究机构正在研究如何提高散热片的热量转化效率，以更少的能耗，获得更多效率，以达到可持续发展的目的。结合日常生活发现，越靠近暖热片室内温度越高，随着距离的增加温度呈阶梯趋势递减。而且绝大多数房屋结构是由传热系数较大材料组成，例如钢筋、混泥土、瓷砖等，这些结构材料会引起与室内发生对流换热，导致室内温度急剧下降，难以维持室内标准温度 。

1. 三维热传导方程

假设一房间内南北墙上各有一扇窗户，窗户下面各有散热片一扇。假设围护结构表面传热系数保持恒定，在热传导中研究温度在空间中的分布和在时间中的变化 。黏性耗散产生的耗散热可以忽略不计。

微元体在单位时间内由于扩散作用所吸收的热量为：

在单位时间内控制体由于对流作用而得到的热量为：

考虑一般在传热问题中物体的密度和比热近似不变，所以在单位时间间隔内，微元体内能的增量可表示为：

单位体积的物体在单位时间内产生的热量记作 ,则在单位时间间隔内微元体自身内热源生成的热量为：

根据能量守恒定理，可得到：

则有：

其中 是内能变化项， 是热扩散项， 是对流换热项， 是内热源项。

对于物体有内热源、导热系数为常数的三维导热，忽略室内空气对流。

轴为左边界 边值条件，已知初始温度、末温。 轴为右边界 边值条件，温度未知。

其中 为内热源、 为 定律。

以研究房间的东墙为 轴，南墙为 轴，南墙与东墙交界线为 轴建立三维直角坐标系，并以红色表示散热片，蓝色表示窗户，如下图所示：

2. 数值分析

数值解法的基本思想是用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点(称为节点)的温度近似值，来代替物体内实际连续的温度分布，将连续温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值的求解问题，将导热微分方程的求解的问题转化为节点温度代数方程的求解问题。因此，求解域的离散化、节点温度代数方程组的建立与求解是数值解法的主要内容。

有限差分法的基本原理就是用有限差分近似微分，用有限差分商近似微商， 、 ，进而将导热偏微分方程转化为节点温度的差分方程。

每一个节点都和与它相邻的节点存在一定的关系通过相应的物理定律，可建立它们之间的关系式 。

本文利用控制热容热平衡法建立节点温度代数方程组。

控制热容热平衡法基本思想：对每个节点所代表的控制体列能量守恒方程式，从而得出该点与其它节点的关系式。

内部节点 所代表的控制容积在导热过程中的热平衡表示：从周围相邻控制容积导入的热流量之和等于 。内部节点图如下所示：

其中 为内热源。

根据 定律，每一个节点的温度就是它所代表的控制容积的温度，

综上得到：

当无内热源

，且 时，对公式进行化简：

对于平直边界

当 轴无内热源时， 令 ， ，边界点离散热平衡公式：

当 轴有内热源时，Y轴有内热源，令 ， ，边界点离散热平衡公式：

外角点无内热源时， 令 ， ，边界点离散热平衡公式：

综上，将不同位置的节点差分方程转化为代数方程组：

3. 超松弛迭代算法

运用有限差分方法可以建立导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方程。这些节点温度的差分方程都是线性代数方程。有 个未知数的节点温度，就可以建立 个节点温度差分方程,构成一个线性代数方程组。求解该方程组，就可以求得节点温度的数值。本文应用导热数值计算中超松弛(SOR)迭代法计算每一个节点温度。

选取分裂矩阵 为带参数的下三角阵：

其中， 为可选择的松弛因子。其迭代矩阵为：

解 的SOR方法的计算公式：

取 迭代格式：

显然，当 时， 方法即为 迭代法。 方法每迭代一次主要运算量是计算一次矩阵与向量的乘法。

当 时，称为超松弛法；

当 时，称为低松弛法。

在计算机实现时可用，控制迭代终止。

对于超松弛 迭代法的迭代收敛的判据：

当 为对称正定矩阵

对称正定且为三对角，则：

其中 称为最佳收敛因子。

因为 ，即谱半径越小收敛速度越快，所以此时的 是最快的 法。

本文所提出的算法流程图如下：

4. 结果讨论

给定入水口流量，利用 工具箱中的 插件对房间内温度进行仿真模拟，以房间北墙作为 轴，东墙作为 轴，北墙与东墙交界线作为 轴建立三维直角坐标系得到房间内的温度分布如下图所示：

由于热水在第一组散热片中热量消耗，到达第二组散热片时温度较第一组散热片降低。在现实生活中，靠近出水口的 散热片温度较靠近进水口的散热片温度低，这一仿真模拟结果符合生活实际，有较强的现实依据和准确性。

为了便于展示本文提出的超松弛迭代法求解房间温度分布，取热水管流量按照 变化，求出热水管出口温度随流量变化如下：

表1 不同温度下热水管出口温度表

以折线图表示为：

在室内平均温度随进水口流量变化图中可以看到，随着进水口流量不断增加，室内平均温度也随之升高，当进水口流量为0.4 时，室内平均温度已经达到21℃，并随着进水口流量增加，室内平均温度增长率愈慢。

为了进一步验证本文提出的方法的科学性与合理性，求得南北墙和 面的温度分布图如下：

在南北墙面上，由于墙面的导热作用，靠近暖气片的区域温度较高，随着与暖气片距离的增加，温度逐渐降低；在 面温度分布图中可以看出，受到空气对流传热和辐射传热作用，房间内空气中靠近南北墙暖热片的区域温度较高，并随着距离的增加，温度逐渐降低。

5. 总结

本文假设围护结构表面传热系数保持恒定，将三维非稳态热传导模型进行简化。考虑对流换热、辐射换热两种传热方式，基于能量守恒定律确定Dirichlet边界条件，建立三维稳态导热模型，采用有限差分法将导热偏微分方程转化为节点温度差分代数方程，再利用超松弛迭代法求解节点温度差分方程组，得到供水量0.5 的室内空间的温度分布。最后使用 工具箱 进行模拟实验环境得到室内表面温度分布。

本文研究总结暖热片供暖系统，提出利用超松弛迭代法求解室内温度分布规律，为合理调整热水供应、减少能源消耗提供了一种新方法。在能源日益枯竭的未来，准确计算能源消耗量，合理调整能源供应愈发重要。

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