浅谈在对口单招数学教学中利用建模思想解决函数应用题问题

浅谈在对口单招数学教学中利用建模思想解决函数应用题问题

缪生莺

张家港市第二职业高级中学

《数学新课标》指出：“数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度和价值观等方面的发展。”其实，不仅中小学的教材体现了这一要求，职业教育近几年的江苏省对口单招高考数学试题，也体现了这一要求。其中的二次函数应用题，因其综合了一元二次方程、一元二次不等式、均值定理、等差数列等内容，能体现数学建模、分类讨论、数形结合、化归、方程与函数等数学思想，并且容易和现实生活中的事件联系起来，以体现数学的实用价值，所以，近几年来一直是对口单招高考的重点和热点。二次函数应用题试题的命题形式多样，从近几年的单招高考题来看，可以大致归纳为以下三类：二次函数最值问题、分段函数求解析式和最值问题、二次函数与均值定理结合问题。

要想让二次函数应用题得以解决，必须培养学生将实际问题转化为二次函数的能力，数学建模能力。教师可以选择典型题型，进行总结归纳，让学生建模训练，使学生由能够由一个问题解决一类问题，提高建模水平。接下来，我将以近几年江苏省对口单招的数学高考试题中的应用题为例进行分别说明。

一、二次函数最值问题

（2018年单招高考题）某辆汽车以 千米/小时 的速度在高速公路上匀速行驶，每小时的耗油量为 升，其中 为常数. 若该汽车以120千米/小时的速度匀速行驶时，每小时的耗油量是12升.（1）求常数 值；（2）欲使每小时的耗油量不超过8升，求 的取值范围；（3）求该汽车匀速行驶100千米的耗油量 （升）的最小值和此时的速度.

解：（1）由题意知： ，解得 .

（2）由题意知 ， 化简得 ，

解得 ， 因为 ， 故 的范围是 .

（3）由题意知： ,

令 ， 则

当 时，即 千米/小时，最低耗油量 升.

这几年的江苏单招高考应用题，已经不满足于简单地出一个二次函数的表达式，然后求最值的问题了。2018年的这道函数应用题，第（1）第（2）小题结合了一元一次方程、一元二次不等式的内容，第（3）小题采用了换元法设 的思路，结合二次函数求最值得方法解决。与它类似的还有2016年的应用题， 与 的关系，也是采用换元法 ，结合二次函数求最值解决。比起早些年的应用题，考试范围更广泛、更综合，更注重与其它内容的结合，考察知识之间的融会贯通。

二、分段函数求解析式及最值问题

（2019年江苏单招高考）通过市场调查知，某商品在过去90天内的销售量和价格均为时间t(单位：天， )的函数，其中日销售量近似地满足 ，价格满足 ，求该商品的日销售额f(t)的最大值和最小值。

解： ∵

当 时，t=16时，f(t)有最大值1024；t=40时，f(t)有最小值988

当 时，t=41时，f(t)有最大值811.125；t=90时，f(t)有最小值94.5

又 ，∴f(t)的最大值1024，最小值94.5

这是二次函数应用题的常见类型，函数关系式根据自变量的取值范围分成两段或者三段来表示。这题里分的两段都是二次函数，还有的可能是一段二次函数，另一段是一次函数或者常数。这类题目的注意点：（1）分段函数的格式必须正确，要有自变量x，应变量q(x),有等号，还要注意有大括号和x的范围。（2）在分析题意发现取值范围有重复的可能时，注意自变量只可能写在一个段内，不能出现分段重合的情况。（3）在求分段函数的最大（小）值时，通常要算出各个段落的最大（小）值，然后做出比较，找最大（小）值中的最大（小）值，即为答案。

三、二次函数与均值定理结合问题

（2021年江苏单招高考）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为 ，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.

1. 年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低平均成本

2. 若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求最大利润.

解：（1）设生产每吨产品的平均成本为w万元

答：年产量为100吨时，生产每吨产品的平均成本最低，为16万元。

（2）设利润为Z万元

,

答：年产量为110吨时，获得最大利润为860万元。

2021年考的应用题与2020年一样，都有均值定理的内容，只不过2021年的题目还有二次函数求最值的知识点结合在内，涉及知识面更为广泛，因此采用2021年的高考题为例说明。这道题目其实不算难，第（1）小题需要学生理解题中平均成本的意思，不和总成本y混淆；利用均值定理中“一正二定三相等”来解决，第（2）小题要结合利润的函数关系式，利用二次函数求出最大值，是二次函数的基本知识点。

均值定理内容的考核，有时候还会出现x前面出现负号的情况，这是学生学习的难点。在2015年的高考题中，就出现过这种情况，并且还和等差数列的前n项和结合。遇到此类题目，对学生的综合素质能力要求非常高，学生只有基本知识掌握足够牢、解题基本技能足够强，才能解决此类题型。

近几年的对口单招高考应用题，材料内容都与我们的生活息息相关，很好地体现了“数学来源于生活，而又服务于生活”的思想，这就是学习数学的实用性。我们是为了解决实际生活中的问题而学习数学，而不仅仅是为了考试。解决数学应用题的过程就是训练学生思维能力、创新能力的过程。通过数学基础知识的学习，要让学生掌握数学思想和方法，从而达到举一反三，触类旁通的效果，这才是高层次的数学学习。因而，在数学课堂教学中，教师应逐步培养学生数学建模的思想、方法，形成学生良好的思维习惯和运用数学解决问题的能力。

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