元素法解算任意线形道路中边桩坐标原理及程序

元素法解算任意线形道路中边桩坐标原理及 程序

张佃友

临沂市交通路网服务中心 山东 临沂 276000

摘要：组成道路平面线形的最基本元素有直线、圆曲线和缓和曲线，本文分别推导了道路中边桩坐标在这三种线形上的解算公式，最后建立起能够解算任意线形道路中边桩坐标的通用模型。在此基础上开发编制解算程序，解算的坐标和设计坐标最大相差1mm，解算所得数据文件可以直接上传仪器、RTK流动站进行实地放样，外业不需任何计算，大大提高了工作效率，在任何线型道路工程中都具有很强应用价值。

关键词：线形元素；通用模型；解算程序；实地放样

1. 引言

随着电子计算机、全站仪和GPS在测量领域中的普及应用，使得我们必须探讨新的测量方法以充分利用这些新的技术来提高工作效率、节约成本。常规的道路平曲线中桩放样方法有偏角法、切线支距法及极坐标法，这些方法的实质都是在曲线起点或终点设站，相对于曲线切线方向进行测设，属于相对测设法。计算出的测设元素只对固定测站有效，一旦线路现场存在障碍物挡住了视线方向，就需要重新计算测设元素才能继续进行测设工作。这些方法不但需要野外计算，而且平面坐标和高程是分开测设的，这样不利于发挥全站仪、RTK三维坐标放样的优势。如果能开发一个程序，用户只需要输入任意路线的设计参数，程序就能自动计算出该路线的中桩边桩点坐标、高程，并生成全站仪或RTK GPS可以接收的数据文件，再利用全站仪或RTK GPS的三维坐标放样功能可以快速地完成点位的自动化放样工作，这将极大地提高道路施工的效率。

《公路路线设计规范》规定，公路平面线形由直线、平曲线组合而成，平曲线又分为圆曲线和缓和曲线两种，缓和曲线采用回旋线。上述三种线形——直线、圆曲线和缓和曲线，被称为“平面线形三要素”。

本文从组成道路线形最基本的三种元素入手，分别推导出在直线、圆曲线和缓和曲线上道路中边桩坐标计算公式，建立起能够解算任意线路中边桩平面坐标的统一模型。

2. 三种线型元素解算坐标原理

2.1直线段上的平面坐标计算

由于直线线形简单，故直线上的中边桩点的计算和测设都很简单方便。

如图1所示，直线段起点为 ，方位角为 ，任意长度 处中桩点为 ，右边桩点为 ，左边桩点为 。则中桩 点的坐标计算公式为：

(1)

图1 直线段上计算中边桩坐标图

设道路宽度为 ，则以中桩 为基点的左边桩 和右边桩 的坐标计算公式为：

(2)

(3)

2.2圆曲线上的平面坐标计算

2.2.1圆曲线上主点元素与桩号的计算

图2 圆曲线主点元素图

圆曲线主点ZY、QZ、YZ元素的计算公式为：

切线长： (4)

曲线长： (5)

外距 ： (6)

切曲差： (7)

上式中的转角 是以度为单位，半径 以米为单位。

主点ZY、QZ、YZ的桩号根据JD桩号 和曲线主点元素计算：

(8)

2
.2.2圆曲线上逐桩中、边桩坐标的计算

图3 圆曲线上计算中边桩坐标图

中桩桩号一般按圆曲线半径R规定弧长为 的整桩。《公路勘测规范》规定的 取值范围为： 时为 ，当 时为 ，当 时为 。

如图3所示，设交点JD与转点ZD1在测量坐标系中的坐标分别为 和 ，由此反算出两点间的坐标方位角为 ，则ZY点的坐标为：

(9)

设 点是圆曲线中线上的任意一点，则ZY点至任意中桩点 点的弧长为 ，从而 点的坐标可以以ZY点为基点计算，公式为：

(10)

其中 和 为：

(11)

式中的“ ”号，当路线转角为左偏角 时取“-”，为右偏角 时取“+”，下同。设圆弧在 点的法线与内边线的交点为 ，与外边线的交点为 ，因圆弧在 点切线方向的方位角为

，所以 点至 点的方位角及 点至 点的方位角为：

(12)

设公路宽为 ，则以中桩逐桩 为基点的右边桩 的坐标计算公式为：

(13)

以中桩逐桩 为基点的左边桩 的坐标计算公式为：

(14)

2.3 缓和曲线上的平面坐标计算

完整缓和曲线就是连接直线和圆曲线的曲线，其半径从直线段的 过渡到圆曲线半径 ；非完整缓和曲线是连接两个半径不相同的圆曲线，或一端连接圆曲线另一端连接缓和曲线的曲线，其半径从 过渡到 ( )。沿着线路前进的方向，当缓和曲线半径逐渐变小时，称该缓和曲线为正向缓和曲线(工程上也称驶入缓和曲线)；当缓和曲线半径逐渐变大时称该缓和曲线为反向缓和曲线(工程上也称驶出缓和曲线)。

基本型曲线是由“缓和曲线1+圆曲线+缓和曲线2”连接而成的组合曲线，它有ZH，HY，QZ，YH，HZ五个主点，在主点ZH，HY，YH，HZ处不存在曲率突变。基本型曲线的设计元素为路线转角 、半径 、缓和曲线参数 ， (或缓和曲线长 ， )和交点里程 。根据缓和曲线参数 ， 的取值情况，可以将其分为对称基本型曲线( = )和非对称基本型曲线( )，显然对称基本型曲线是非对称基本型曲线的特例。下面以非对称基本型曲线来推导正向和反向完整缓和曲线上道路中边桩坐标的计算公式。

2.3.1缓和曲线上主点元素与桩号的计算

图4 非对称基本型曲线元素图

设曲线长分别为 和 的缓和曲线偏角为：

(15)

在缓和曲线 处的圆曲线内移值 和切线增量 为：

(16)

在在缓和曲线 处的圆曲线内移值 和切线增量 为：

(17)

由图4可以列出切线长公式为：

(18)

可以列出曲线长得计算公式为：

(19)

式中 为圆曲线长。切曲差为：

(20)

五个主点ZH，HY，QZ，YH，HZ桩号的计算公式为：

(21)

2.3.2缓和曲线上逐桩中边桩坐标的计算

设ZH点至JD点的方位角为 ，则ZH点的测量坐标为：

(22)

由ZH点的测量坐标计算曲线逐桩 的测量坐标方法与圆曲线不同之处主要是，当 点位于不同曲线段时，坐标计算公式存在差异。

ZH点与HY点之间的缓和曲线是正向完整缓和曲线， 点坐标以ZH点为基点计算。设 点桩号为 ，则ZH点至 点的曲线长为 。在图5所示的坐标系 中， 点坐标的计算公式为：

(23)

图5缓和曲线上计算中边桩坐标图

ZH点至 点的弦长 及弦切角 的计算公式为：

(24)

点测量坐标计算公式为：

(25)

式中的“ ”号：当路线转角为左偏角 时取“-”，为右偏角 时取“+”。

当 时，可求得HY点的测量坐标为 。

设缓和曲线在 点切线方向的方位角为 ，则有：

(26)

式中 为缓和曲线参数。 点至 点的方位角及 点至 点的方位角为：

(27)

设公路宽为 ，则以中桩逐桩 为基点的右边桩 的坐标计算公式为：

(28)

以中桩逐桩 为基点的左边桩 的坐标计算公式为：

(29)

非完整缓和曲线的零点相当于正向完整缓和曲线的ZH点，或相当于反向完整缓和曲线的HZ点。当求出了非完整缓和曲线的零点要素之后，非完整缓和曲线上中边桩坐标的计算问题就归结为完整缓和曲线上中边桩坐标的计算。

3、道路平曲线统一的坐标计算模型

前面介绍的是三种线形的各自不同的坐标解算公式，而一条道路肯定是这三种线型的多种组合，所以要建立平面曲线坐标计算的统一模型。

3.1平面坐标计算算法描述

首先，组织数据，将道路平曲线的设计参数组织成程序通用的格式数据。

输入设计参数后程序将分别计算出各种线形元素的长度，各元素长度相加便得到了该段道路的总里程。程序的起算数据为起点的纵、横坐标和该点沿线路前进方向的切线方位角，根据输入的线形要素关键字进行判断，选择相应的子函数计算第一段元素的坐标，当里程超出第一段元素长度时结束计算；将最后一点的坐标和方位角赋给起点，该数据将作为下一段元素计算的起算数据。判断第二条线形元素的关键字，选择对应的子函数进行计算，同样用最后一点的坐标和方位角更新起点数据。这样依次计算，直到算完最后一段元素，程序运算结束。

最后，输出数据，包括点号、里程、X坐标、Y坐标以及切线方位角。

其中，由于缓和曲线有完整与非完整、正向与反向之分，所以缓和曲线的计算相对复杂。程序通过关键字判断出某行是缓和曲线时，再通过后面的参数判断该缓和曲线是何种曲线。

3.2解算平曲线坐标程序流程

图
6 解算平曲线坐标程序流程图

4、案例比对

以双岭路与西外环互通立交匝道H号线设计数据进行演示，其中平曲线及竖曲线设计数据如图7、图8所示。

图7 平曲线设计数据 图8 竖曲线设计数据

运行程序，输入以上设计数据，运用计算逐桩坐标功能，设置逐桩距为20，边宽为12，右边宽为12，保存文件名为6-5-H。

图9 解算成果文件图

解算坐标数据和设计坐标数据进行比对，误差都在1mm以内，通过分析该误差为保留三位小数四舍五入时产生的误差，在实际应用中足以保证精度。

5、结论

本文首先建立起了平面坐标解算的统一模型，能够解算任意线形的道路中边桩平面坐标，使得程序具有通用性。解算程序计算出的中边桩坐标和设计坐标最大相差1mm，足以满足常规道路工程的精度要求。程序计算出的中边桩坐标是路线测量坐标，测量人员可以在任意已知点上或已测设点上设站放样，外业测设时不再需要进行任何计算，可以大大提高路线曲线测设的质量与效率，在实际工程中具有很强的应用价值。

[1] 覃辉. 土木工程测量. 同济大学出版社, 2006.4

[2] 尤晓.现代道路勘测设计.清华大学出版社, 2004.11

[3] 刘连旺,覃辉. 六种曲线元上道路中桩解算. 中南公路工程, 2006(4),72~76

10