李强
浙江富阳实验中学
摘要:新一轮课改数学教育的核心是通过数学活动,提升学生的数学核心素养,落实立德树人的根本目标。微教学是当下较为流行的一种教学手段,微教学常作为教师在教学活动中的一种补充。本文根据新课标的的指导精神,通过活动中微教学活动的实例,浅谈如何通过合理设置微教学活动,更大发挥微教学在数学教育中的作用。
关键词:核心素养 教学活动 微教学 合理探究
随着科技进入互联网时代,教育也相对应的借助于科技和应用于互联网,随之相对应的是近年网络上比较流行的微课,成为了传统学校课堂教育的很好补充。相对应于微课,在实际的教学过程中,微教学也成为了传统课题的合理补充。这里,微教学指的是时间较少,内容较短,关联性较少,突出某个知识点或技能点,精致设计的经典性的教学片段。以下,在核心素养的指导下,结合实际教学活动,谈谈如何利用微教学,提高课堂教学的时效性和落实核心素养的育人价值。
一、重而入微,剖析要领。
如:向量是连接数与形的纽带和桥梁,是高考的常考内容之一,研究历年高考真题,应用投影的解决向量问题是命题者的喜好之一,方法巧妙,往往起到事半功倍的效果。
(2015年浙江高考填空题15题)已知 是空间单位向量,
,若空间向量
满足
,
,且对于任意
,
=1
( ),则
,
,
。
中间有个条件: ,
,似在告诉我们
上
的投影分别为
,告知投影可能是一条较好的解题路径。学生对投影知识理解不透,此路径也便不通。翻阅人教A版必修4,投影在教材中只间接出现了寥寥十多个概念性的文字,省厅编写的作业本中作为一种巧解的方法存在,对比高考试题中作为重要的技巧方法,这里就需通过微教学加深学生对投影概念的理解,从而提高学生投影应用的意识与能力。
案例1:投影的应用举例。
1.教材解读: 在
方向上的投影为:
=
2.图形认识投影:如图1设 在是两个非零向量,
,
过C作CC1⊥AB,
垂足为C1,过 作DD1⊥AB,垂足为D1,则
与
同向,
在
方向上的投影为正;异向为负;
,投影为0.
在
方向上的投影的绝对值等于
,特别的,当
共起点时:(如图2)
3.应用举例
1).平面向量 是单位向量,
,平面向量
满足
,
,则
=_________。(解法如图3结合坐标系可得
。)
2).2015年浙江高考15题见上。
分析:如图4, 在过
且垂直于
直线上,显然
可得
。
通过上例可知:知识上,要想理解透彻,根据教学实际补充教材中欠缺,做到内容丰满;方法上,要想掌握扎实,需理解原理过程,做到条理清晰;技巧上,要想悟透巧妙,需要对比分析,见证事半功倍。
二、难而入微,突破瓶颈。
如:放缩法是数列求和问题的方向之一,在高考和模拟试题中相对于基础一般的同学难度较大,难以寻得解题要点,因其结构多变,形式多样,解决问题主要依赖数学活动经验的积累。这里运用微教学,容易让基础薄弱的同学也能找出证明方向,为解决问题提供可能。
案例2:一类先放缩,后求和数列的不等证明。
(浙江2019年高考第20题) :设等差数列 的前
项和为
,
,数列
满足:对每
成等比数列.
(1)求数列 的通项公式; (
,
过程略)
(2)记 证明:
问题1:当 时,
成立吗?
问题2: ,在问1的基础上,你只需要证明:
;
同理: ,只需要证明:
;
问题3:现在你清楚了吗?要证明 ,只需要证明:
。请说明原理:不等式同向可加性。
问题4:那你知道这类的结构及一般性的证明方法了吗?
结构为: ,如若能证
即可。
试题演练: (2021·镇海中学检测)
已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且满足2S-(n2+n)Sn-(n2+n+2)=0.
(1)求数列{an}的通项公式;(an=,过程略)
(2)设数列bn=,证明:b1+b2+…+bn≤2-1.
分析:由(1)知bn=
当n≥2时,若bn=<2(-)成立即可。
因为bn==<=<=2(-)
所以b1+b2+…+bn≤1+2(-+-+…+-)=2-1.
通过上例可知:对于难题,教师主导,提前分析学生困惑,依据学生学情设置问题,层层剥离,有梯度,有导向,通过理清基本知识,方法,技巧,以免学生误入混淆点,辨明方向,突破瓶颈,从而解决难点,让基础薄弱的同学解决问题成为可能。
三、惑而入微,理清疑虑。
如:期望和方差是浙江省每年必考的考点之一,对于给定确定的分布列求期望与方差,大部分同学都不成问题,但常见有一类题目,是考查变量对方差和期望产生的影响,需要通过方差和期望的计算公式化简得出影响结果的函数,从而判定变量对方差的影响。如何帮助学生提高运算效率,既快又准呢?
案例3:方差的第二公式及其应用
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高考真题:(浙江2018年高考第7题)设 ,随机变量
分布列如图,则当
在
内增大时,
A. 减小 B.
增大
C. 先减小后增大 D.
先增大后减小
分析:人教本教材中对于方差的要求较低,局限于方差公式1的运算,本题处于选择题第7题,属于中等题,如按公式1,考查已转变为学生的计算化简能力,会有很多同学出错。对于方差的计算,实际上还有公式2,如果理解公式2,计算要求降低,时效性将大为提高。
问题1:你能得到 的表达式了吗?(学生利用公式1能得出答案,但容易出错)
问题2:计算一下公式 ,你会发现什么?(相等。)
问题3:是否具有普遍性?你能说明为什么相等吗?可以的话,请试着推导。
公式2:
问题4:分析比较,你觉得在配到此类问题的时候,哪个公式比较好用呢?(公式2,既快又准。)
问题5:再接再厉,现在你学会公式2的应用了吗?
即时演练:(2021·杭州市高级中学仿考)已知随机变量ξ的分布列如下:
ξ | 0 | 1 | 2 |
P | b-a | b | a |
则当a在 内增大时( )
A.D(ξ)增大 B.D(ξ)减小
C.D(ξ)先增大后减 D.D(ξ)先减小后增大
解析:由分布列得b-a+b+a=1,得b=,则E(ξ)=0× +1×+2a=2a+,E(ξ2)=0×
+1×+4a=4a+,则D(ξ)=E(ξ2)-[E(ξ)]2=4a+-
=-4
+,则当a在
内增大时,D(ξ)先增大后减小,故选C.
通过上例可知对于教材上没有的公式,学生会存在着疑惑,这个公式是否正确,是否是特例还是普遍存在的?再者,从学生的求知欲角度出发,学生也很想知道来龙去脉。为了满足学生的需求,应该在学生的基础之上适时推导,消除疑惑,让学生知道公式的科学性及高效性。
四、热而入微,熟悉原理。
如:“同构函数”是近年风靡全国的热点问题之一,教材或有的教辅上没有给出“同构
函数”定义,许多学生无法准确给出其考点名称,影响解题的效率,可能会走不少弯路。这里如果学生能理解什么是“同构函数”,如何解决同构不等式,“同构函数”如何应用?应用的是其何性质?
案例4:同构不等式及其简单应用。
同构思想:是指除了变量不同,其余地方均相同的表达式(同形同构不同量)。
1).方程同构:如方程和
呈现同构特征,则可视为
是方程
的两个根。
2).不等式同构:如函数在R上递增,且
可比较
的大小或者得出不等关系:
。
简单的同构应用(函数到不等式)
1).设 ,则|“
”是“
”的 充要条件 条件。
(考察函数的单调性,即在R上递增即可.)
变式:设 ,则|“
”是“
”的 充要条件 条件。
(考察知识同上,只需 即可。)
.(2020年全国2卷文科12题)若 ,则( )
A.B.
C.
D.
(先将转化为:
,考察函数
在R上递增,可得
。)
3.真题演练: (2020·新课标Ⅰ理数·12)若 ,则( )
A. B.
C.
D.
( ,考察函数
递增即可。)
通过上例分析得出同构不等式的基本原理本质上就是函数的单调性,知其时髦的名称,基本的原理,事半功倍。可知对于热点问题,知其名,通其理,在解题的时候容易把握解题方向,快速便捷。
五、研究的价值与思考
通过上述教学实例,合理设置微教学活动,其价值主要体现在:
普遍的实用性:微教学是教师精心设计,短而精炼的教学活动。可以补充教材、学
材中概念、内容、方法、思想、技巧的不足,为目标达成创造有利条件;能够反映教师的教学意图,目标明确,重难点突出,设计巧妙,利于目标达成;微教学主要解决的是教学中点的问题,通过科学的学科认知特点与内在认知规律,有利于学生轻负高质的完成学习目标。
广泛的深入性:微教学是教师全局思维,精心设计的教学活动。学习内容可以包含
课堂内外的概念实践、兴趣基础、方法技巧,具有研究性、综合性、挑战性;学习方式可具有自主性、合作性;教师的设计具有可深入的指导性、评价性。通过知识的浅显表象和深入的本质联系,深入知识内核,培养学生良好的学习内涵与品质。
3.合理的探究性:微教学是以学生为主体,教师为指导,问题为主线的探究活动,突出知识的发生、发展过程。教师全局思维,发现问题、提出问题、适时补充;学生理解数学,提出问题、假设猜想、探求理解、反复验证、寻求结论。通过数学活动经验的积累,更好的理解数学,达到思维品质的提升。
参考资料:
1. 教育部,《普通高中数学课程标准》,人民教育出版社,2017;
2.曲一线,《5年高考,3年模拟(浙江专版)》,首都师范大学出版社,2018.6;
3. 孙祥峰等,《三维设计》,光明日报出版社,2021.1;