积小步而至千里，微视眼而见数海

积小步而至千里，微视眼而见数海

——核心素养指导下例谈微教学活动设置的指向性研究

李强

浙江富阳实验中学

摘要：新一轮课改数学教育的核心是通过数学活动，提升学生的数学核心素养，落实立德树人的根本目标。微教学是当下较为流行的一种教学手段，微教学常作为教师在教学活动中的一种补充。本文根据新课标的的指导精神，通过活动中微教学活动的实例，浅谈如何通过合理设置微教学活动，更大发挥微教学在数学教育中的作用。

关键词：核心素养 教学活动 微教学 合理探究

随着科技进入互联网时代，教育也相对应的借助于科技和应用于互联网，随之相对应的是近年网络上比较流行的微课，成为了传统学校课堂教育的很好补充。相对应于微课，在实际的教学过程中，微教学也成为了传统课题的合理补充。这里，微教学指的是时间较少，内容较短，关联性较少，突出某个知识点或技能点，精致设计的经典性的教学片段。以下，在核心素养的指导下，结合实际教学活动，谈谈如何利用微教学，提高课堂教学的时效性和落实核心素养的育人价值。

一、重而入微，剖析要领。

如：向量是连接数与形的纽带和桥梁，是高考的常考内容之一，研究历年高考真题，应用投影的解决向量问题是命题者的喜好之一，方法巧妙，往往起到事半功倍的效果。

（2015年浙江高考填空题15题）已知 是空间单位向量， ，若空间向量

满足 ， ，且对于任意 ， =1

( )，则 ， ， 。

中间有个条件： ， ，似在告诉我们 上 的投影分别为 ，告知投影可能是一条较好的解题路径。学生对投影知识理解不透，此路径也便不通。翻阅人教A版必修4，投影在教材中只间接出现了寥寥十多个概念性的文字，省厅编写的作业本中作为一种巧解的方法存在，对比高考试题中作为重要的技巧方法，这里就需通过微教学加深学生对投影概念的理解，从而提高学生投影应用的意识与能力。

案例1：投影的应用举例。

1.教材解读： 在 方向上的投影为： =

2.图形认识投影:如图1设 在是两个非零向量， , 过C作CC₁⊥AB，

垂足为C₁，过 作DD₁⊥AB，垂足为D₁，则 与 同向， 在 方向上的投影为正；异向为负； ，投影为0. 在 方向上的投影的绝对值等于 ，特别的,当 共起点时：（如图2）

3.应用举例

1）.平面向量 是单位向量， ，平面向量 满足 ， ，则 =_________。（解法如图3结合坐标系可得 。）

2）.2015年浙江高考15题见上。

分析：如图4， 在过 且垂直于 直线上，显然 可得 。

通过上例可知：知识上，要想理解透彻，根据教学实际补充教材中欠缺，做到内容丰满;方法上，要想掌握扎实，需理解原理过程，做到条理清晰；技巧上，要想悟透巧妙，需要对比分析，见证事半功倍。

二、难而入微，突破瓶颈。

如：放缩法是数列求和问题的方向之一，在高考和模拟试题中相对于基础一般的同学难度较大，难以寻得解题要点，因其结构多变，形式多样，解决问题主要依赖数学活动经验的积累。这里运用微教学，容易让基础薄弱的同学也能找出证明方向，为解决问题提供可能。

案例2:一类先放缩，后求和数列的不等证明。

（浙江2019年高考第20题） ：设等差数列 的前 项和为 ， ，数列 满足：对每 成等比数列.

（1）求数列 的通项公式； （ ， 过程略）

（2）记 证明：

问题1：当 时， 成立吗？

问题2： ，在问1的基础上，你只需要证明:;

同理： ，只需要证明: ;

问题3：现在你清楚了吗？要证明 ，只需要证明：

。请说明原理：不等式同向可加性。

问题4：那你知道这类的结构及一般性的证明方法了吗？

结构为： ，如若能证 即可。

试题演练: (2021·镇海中学检测)

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S－(n²＋n)S_n－(n²＋n＋2)＝0．

(1)求数列{a_n}的通项公式；（a_n＝，过程略）

(2)设数列b_n＝，证明：b₁＋b₂＋…＋b_n≤2－1．

分析：由(1)知b_n＝

当n≥2时，若b_n＝<2(－)成立即可。

因为b_n＝＝<＝<＝2(－)

所以b₁＋b₂＋…＋b_n≤1＋2(－＋－＋…＋－)＝2－1．

通过上例可知：对于难题，教师主导，提前分析学生困惑，依据学生学情设置问题，层层剥离，有梯度，有导向，通过理清基本知识，方法，技巧，以免学生误入混淆点，辨明方向，突破瓶颈，从而解决难点，让基础薄弱的同学解决问题成为可能。

三、惑而入微，理清疑虑。

如：期望和方差是浙江省每年必考的考点之一，对于给定确定的分布列求期望与方差，大部分同学都不成问题，但常见有一类题目，是考查变量对方差和期望产生的影响，需要通过方差和期望的计算公式化简得出影响结果的函数，从而判定变量对方差的影响。如何帮助学生提高运算效率，既快又准呢？

案例3:方差的第二公式及其应用

高考真题：（浙江2018年高考第7题）设 ，随机变量 分布列如图，则当 在 内增大时，

A. 减小 B. 增大

C. 先减小后增大 D. 先增大后减小

分析：人教本教材中对于方差的要求较低，局限于方差公式1的运算，本题处于选择题第7题，属于中等题，如按公式1，考查已转变为学生的计算化简能力，会有很多同学出错。对于方差的计算，实际上还有公式2，如果理解公式2，计算要求降低，时效性将大为提高。

问题1：你能得到 的表达式了吗？（学生利用公式1能得出答案，但容易出错）

问题2：计算一下公式 ，你会发现什么？（相等。）

问题3：是否具有普遍性？你能说明为什么相等吗？可以的话，请试着推导。

公式2：

问题4：分析比较，你觉得在配到此类问题的时候，哪个公式比较好用呢？（公式2，既快又准。）

问题5：再接再厉，现在你学会公式2的应用了吗？

即时演练：(2021·杭州市高级中学仿考)已知随机变量ξ的分布列如下：

则当a在 内增大时(　　)

A．D(ξ)增大 B．D(ξ)减小

C．D(ξ)先增大后减 D．D(ξ)先减小后增大

解析：由分布列得b－a＋b＋a＝1，得b＝，则E(ξ)＝0× ＋1×＋2a＝2a＋，E(ξ²)＝0× ＋1×＋4a＝4a＋，则D(ξ)＝E(ξ²)－[E(ξ)]²＝4a＋－ ＝－4 ＋，则当a在 内增大时，D(ξ)先增大后减小，故选C．

通过上例可知对于教材上没有的公式，学生会存在着疑惑，这个公式是否正确，是否是特例还是普遍存在的？再者，从学生的求知欲角度出发，学生也很想知道来龙去脉。为了满足学生的需求，应该在学生的基础之上适时推导，消除疑惑，让学生知道公式的科学性及高效性。

四、热而入微，熟悉原理。

如：“同构函数”是近年风靡全国的热点问题之一，教材或有的教辅上没有给出“同构

函数”定义，许多学生无法准确给出其考点名称，影响解题的效率，可能会走不少弯路。这里如果学生能理解什么是“同构函数”，如何解决同构不等式，“同构函数”如何应用？应用的是其何性质？

案例4:同构不等式及其简单应用。

2. 同构思想：是指除了变量不同,其余地方均相同的表达式（同形同构不同量）。

1）.方程同构：如方程和呈现同构特征,则可视为是方程

的两个根。

2）.不等式同构：如函数在R上递增，且可比较的大小或者得出不等关系：。

3. 简单的同构应用（函数到不等式）

1）.设 ,则|“ ”是“ ”的 充要条件 条件。

（考察函数的单调性，即在R上递增即可.）

变式：设 ,则|“ ”是“ ”的 充要条件 条件。

（考察知识同上，只需 即可。）

3. .（2020年全国2卷文科12题）若 ，则（ ）

A．B．C．D．

（先将转化为：，考察函数在R上递增，可得 。）

3.真题演练： (2020·新课标Ⅰ理数·12)若 ,则( )

A. B. C. D.

（ ，考察函数 递增即可。）

通过上例分析得出同构不等式的基本原理本质上就是函数的单调性，知其时髦的名称，基本的原理，事半功倍。可知对于热点问题，知其名，通其理，在解题的时候容易把握解题方向，快速便捷。

五、研究的价值与思考

通过上述教学实例，合理设置微教学活动，其价值主要体现在：

2. 普遍的实用性：微教学是教师精心设计，短而精炼的教学活动。可以补充教材、学

材中概念、内容、方法、思想、技巧的不足，为目标达成创造有利条件；能够反映教师的教学意图，目标明确，重难点突出，设计巧妙，利于目标达成；微教学主要解决的是教学中点的问题，通过科学的学科认知特点与内在认知规律，有利于学生轻负高质的完成学习目标。

3. 广泛的深入性：微教学是教师全局思维，精心设计的教学活动。学习内容可以包含

课堂内外的概念实践、兴趣基础、方法技巧，具有研究性、综合性、挑战性；学习方式可具有自主性、合作性；教师的设计具有可深入的指导性、评价性。通过知识的浅显表象和深入的本质联系，深入知识内核，培养学生良好的学习内涵与品质。

3.合理的探究性：微教学是以学生为主体，教师为指导，问题为主线的探究活动，突出知识的发生、发展过程。教师全局思维，发现问题、提出问题、适时补充；学生理解数学，提出问题、假设猜想、探求理解、反复验证、寻求结论。通过数学活动经验的积累，更好的理解数学，达到思维品质的提升。

参考资料:

1. 教育部，《普通高中数学课程标准》，人民教育出版社，2017；

2.曲一线，《5年高考，3年模拟（浙江专版）》，首都师范大学出版社，2018.6；

3. 孙祥峰等，《三维设计》，光明日报出版社，2021.1；