探其形,究其律，知其果—— 一类二次函数外加绝对值问题的教学实践研究

探其形 ,究其律，知其果 —— 一类二次函数外加绝对值问题的教学实践研究

李强

浙江省杭州市富阳区实验中学

摘要：二次函数是初中考查学生有关函数的知识水平与数形结合能力最基本的载体，对于高中数学水平而言，已不仅仅考查简单的复合函数，而是以它为载体进行加深，如与其它函数复合，或者针对简单二次函数增元加以分类讨论，本文针对平常教学中遇到的一类二次函数与绝对值问题进行探讨研究，通过学生的探究过程，增强学生的分类讨论和数形结合的能力，提升学生解决问题的能力。

关键词：分类讨论 数形结合 探究 二次函数 绝对值

二次函数作为初中函数内容中基本初等函数的最难的一个函数，往往在每年的中考中作为函数的制高点来考查学生对函数知识的理解与掌握，考查应用水平，评价学生的学习结果。在高中数学中，二次函数虽也是基本函数，但简单的二次函数已很难考查学生对函数知识模块的应用能力，但凡考查深层次的函数问题，往往会对二次函数加以变化，如：与其它简单函数的复合，简单的含参的二次函数问题，有关绝对值的二次函数问题，多元变量的二次函数含参问题等。

有关与绝对值相结合的二次函数问题，往往出现在各阶段的评价学生能力的综合测试中，主要用以对学生学习结果的评价。在平时的教学中，评价并不仅仅是对学习结果的评价，还包含对学生学习态度和学习过程的评价，关注学生在学习过程中的发展与变化，关注学生的知识掌握、数学理解，关注学生的思维过程，注重思维广度、深度，并能在学习结果中得以体现。

引例：（2017年绍兴期中）已知函数 设函数 在区间 的最大值为M,

(1)若 ，试求出M. (2)若 恒成立，求k的取值范围。

解析：(2)g(x)＝|f(x)|＝|－(x－b)²＋b²＋c|，

①当|b|＞1时，y＝g(x)在区间[－1,1]上是单调函数，

则M＝max{g(－1)，g(1)}，而g(－1)＝|－1－2b＋c|，g(1)＝|－1＋2b＋c|，

则2M≥g(－1)＋g(1)≥|f(－1)－f(1)|＝4|b|＞4，可知M＞2.

②当|b|≤1时，函数y＝g(x)的对称轴x＝b位于区间[－1，1]之内，

此时M＝max{g(－1)，g(1)，g(b)}，又g(b)＝|b²＋c|，

a．当－1≤b≤0时，有f(1)≤f(－1)≤f(b)，

则M＝max{g(b)，g(1)}≥(g(b)＋g(1))≥|f(b)－f(1)|＝(b－1)²≥；

b．当0＜b≤1时，有f(－1)≤f(1)≤f(b)．

则M＝max{g(b)，g(－1)}≥(g(b)＋g(－1))≥|f(b)－f(－1)|＝(b＋1)²≥.

综上可知，对任意的b，c都有M≥.

分析：此题模型为一元二次函数外加绝对值，解决问题为闭区间上的最值问题，考查的重点为数形结合，分类讨论，对学生的能力要求较高，对比夹杂过多不等号的解答过程，过程不算冗长，但思维过程却是较为复杂，数学素养很难将完整的过程表述清楚。

二次函数作为学生在初高中学习中的最常见的函数，其部分可寻规律学生可能不经意间在头脑中闪现过，只是没有系统的加以推理或归纳。对于常见的题目模型，必定有某些遵循的规律，是否在教学中可以帮助学生寻找出，并加以应用，以提升学生思维，减轻学生负担。在此对外加绝对值的一元二次函数最值问题探究活动安排如下：

探究1:一元二次函数对二次函数图像形状的影响。

1.请在草稿纸上画出下列函数的图像，你能发现什么结论？

学生回答:上面所有的图像形状相同,可以通过画草图比较函数图像或者通过函数平移得以验证(图形略)。

活动小结：1.二次函数的形状大小由系数决定，与的图形一致。

2.依据一元二次函数 的图像，观察并求出在下列区间上的最大值和最小值。（函数定、区间定）

（图形、解答略）

分析：此题难度较低，主要是为了复习回顾二次函数闭区间上的最值问题，观察并利用截图法概括为5种二次函数在闭区间上的五种类型，依次为：（1）递减，（2）左高右低，（3）等高，（4）左低右高，（5）递增；为含参的闭区间上的最值问题奠定分类讨论明确方向。

3．利用一元二次函数 的图像，讨论在区间 上的最大值和最小值。（函数定、区间变）

，

(图像，标准解答过程略，也可依据五种类型分成5类讨论。)

分析：在上一活动的探究中，学生得出五种模型，所以依据五种模型讨论对称轴与区间的位置关系是学生常见的方法，也可依据给出的答案依据最值取得的位置讨论，主要考查学生对函数图像的阅读能力及分类讨论的基本思路。

探究2：1. 依据上题探究结果，若一元二次函数 在区间 上的最大值为M和最小值m, ,求g(t)的表达式。

分析：通过上一题的探究过程，依据五种模型分类讨论的方法，通过数形结合，观察 图像与一元二次函数

图像之间对称轴之间的关系，区间中点与两图像对称轴之间的的关系，利用对称性与单调性用以得出活动小结2。

观察思考：

（1）.参考小结1的结论，类比上题，你能告诉我若一元二次函数 在区间 上的最大值为M和最小值m, , 你能告诉我g(t)的变化规律吗？知道g(t)的最小值吗？

学生：类比上题，区间中点为 ， 与 对称轴为 ,且两图像的单调性相同，所以当 与对称轴 偏离越远， 越大。

（2）.如果把（1）中 变成 ，你能告诉我g(t)的变化规律吗？

学生：类比分析，区间中点为 ， 与 对称轴均为 ,且两图像的单调性相同，所以当 与对称轴 偏离越远， 越大。

（3）.在（2）的基础上如果把区间变为（为大于0的常数）你能告诉我g(t)的最小值？

学生：类比分析，区间中点为 ， 与 对称轴均为 ,且两图像的单调性相同，所以当 与对称轴 偏离越远， 越大，值会不同，但性质并不会区间长度的影响。

活动小结2：(1)二次函数，在区间（为大于0的常数）的最大值为M，最小值为m,,离对称轴越近，越小，并且当时，。（函数定，区间动。）

思考：如果 , ？

变式：若二次函数 在区间 上的最大值为M和最小值m, ,求g(t)的表达式。

活动小结2：(2) 二次函数，在区间（为常数，n为大于0的常数）的最大值为M，最小值为m,, 离对称轴越近，越小，并且当时，。（区间定，函数动。）

探究3：函数 在区间 上的最大值为M和最小值m, ,求 的最大值的最小值（请结合实例说明）。

学生常举一次函数或一般单调函数进行举例说明（对于一元二次函数外加绝对值模型过程同样适用）：

（如左图），则

即 （如右图）, ，当且仅当 取等号。

活动小结3：函数在区间上的最大值为M和最小值m, =。

应用1.（2017年绍兴期中）已知函数 设函数 在区间 的最大值为M,

1. 若 ，试求出M. (2)若 恒成立，求k的取值范围。

解：（1）略，（2） ，

分析：对比命题作者给出的较短但却夹杂较多思维过程的解答，对于有一定数学素养的同学，通过课堂一元二次函数外加绝对值模型的逐步探究，提升学生分类讨论，数形结合的思想方法，能够利用结论获取简洁的过程于答案，即便不能直接利用结论得出结果，也能够通过探究过程中涉及的分类讨论的思想，写出一定的解题过程，获取较多的分数。如果此题作为填空或者选择的形式出现，那利用探究的结果解题效率将大为提高。

应用2.（18年浙江省数学竞赛12）：设 ,且对于任意实数b均有 ，求 的取值范围。

原解：设 ，对于 ，

所以只要考虑 .

（1）当 时，即 .此时函数 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意 有 ，所以 ，

解得 .

（2）当 时，即 ，此时函数 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对 有 ， .

（3）当 时，即 ，此时函数 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对 有 ， .

（4）当 时，即 ，此时函数 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意 有 ，所以 ，解得 .

综上 或 .

现解：（1） ，不符

（2）

,

综上：

分析：对比分析原解答的分类讨论过程，利用探究过程中产生的结论3，答案简洁明了。

中学阶段常见函数模型是非常有限的，探究函数问题时，首先要关注的就是函数模型的图像是否可画，数形结合是我们常见的手段，如果缺少形，则缺少了解决问题的直观能力，形可以帮助思维能力欠缺的同学理解代数的推理或求解过程，加快解题速度。其次通过数对图形变化的影响，找寻出数与形的具体变化的一般规律，为数与数的变化规律寻找铺垫。最后通过对比探究过程中形成的一般规律，得到数的变化对结果最终产生的影响，快速的得到答案或者组织简洁高效的解题过程。

参考资料:

1. 李龙才.《普通高中数学课程标准》（2017年版），人民教育出版社；

2. 张金良.《指向学科核心素养的普通高中课堂教学设计案例丛书》（变量的任意性与存在性），第25-29页，浙江教育出版社。