空间直线方程的求解方法

空间直线方程的求解方法

周明旺

连云港师范高等专科学校 数学与信息工程学院 ,江苏 连云港 222006

摘要：结合具体例子研究了空间解析几何中求解直线方程的方法，以培养学生几何空间观念以及提高分析问题、解决问题并综合应用知识的能力。

关键词：解析几何；空间直线；方程

中图分类号：Ｏ182 ；文献标志码：A

基金项目：国家自然科学基金资助项目（10771182）

1．引言

解析几何是师范教育专业的一门重要的基础课程，空间直线是解析几何的重要研究内容之一，也是非师范专业高等数学的重要教学内容之一。求解空间直线方程是解析几何中最常见的题型，对于学习多元函数微积分是非常重要的 。虽然学生在中学已经学习过立体几何，对于直线的形成过程并不陌生，但是囿于解析几何中几何量与点、线、面的关系模糊导致不能灵活应用解析法求直线方程。本文结合具体例子研究空间直线方程的解题思路，旨在培养学生几何空间观念以及分析问题、解决问题并综合应用知识的能力。

2．预备知识

定义1 与直线平行的非零向量称为该直线的方向向量。

定义2 与平面垂直的非零向量称为该平面的法向量。

引理1 过点 ，且方向向量为 的直线方程为 。

引理2 直线的一般方程为 。

引理3 过直线 的平面方程为

。

3．空间直线方程的求解方法

在空间解析几何中，直线的方程有参数方程、标准方程（对称式方程）、两点式方程、射影式方程、一般方程五种形式 。前三种形式的理论实质就是我们熟知的两点确定一条直线，而直线的一般方程的理论实质就是我们熟知的两平面相交有且只有一条交线，射影式方程是一般方程的特殊形式。在教学过程中只要紧紧把握住确定直线的实质，结合解析几何中几何量与点、线、面的关系就可以帮助学生掌握厘清求解空间直线方程的思路，掌握这一类问题的求解方法。

3.1 利用点和直线的方向向量求直线方程

利用这种方法求解直线方程的题型，往往是已知直线过一个定点，求解的关键是利用已知条件求出直线的方向向量，最后得出直线的对称式方程。下面结合同一个题目研究一下不同的解法。

例1 求经过点 且与直线 垂直和直线 相交的直线 的方程。

易知， 的方向向量为 ， 的方向向量为 ，且过点 。

3.1.1 利用数量积求直线的方向向量

分析：所求直线 与直线 确定的平面与点 和直线 确定的平面相同，记为 ，其法向量 。所以直线 的方向向量和 垂直，又直线 与 垂直，所以直线 的方向向量也垂直于 的方向向量。可根据向量垂直的充要条件求解。

解：设直线 的方向向量 ，因为直线 与 垂直，所以 ，有

；又 ， ，有 。根据以上两个方程可以解出 。

故直线 的方程为 。

3.1.2 利用向量积求直线的方向向量

分析：直线 的方向向量既和 垂直也 的方向向量垂直，故可以用法向量 与直线 的方向向量的向量积求直线的方向向量。

解：由题意得 ，点 和直线 确定的平面 ，其法向量 ，直线的方向向量

。故直线 的方程为 。

3.2 利用两平面相交有且只有一条交线求直线方程

利用这种方法求解直线方程的题型，关键是根据立体几何的知识结合题设条件确定所求直线可以看成是由哪两个平面相交产生的。

例2 已知两直线 ，求与 都相交且和直线 平行的直线方程。

分析：所求直线其实就是过直线 的平面与过直线 的平面的交线。

解：由已知得，直线 过点 ，方向向量为 ，直线 过点 ，方向向量为 ，直线 过点 ，方向向量为 。

过直线 的平面的法向量 ，

平面方程为 ，即 ，

过直线 的平面的法向量

平面方程为 ，即 。

因此，所求直线方程为 。

3.3 借助平面束理论求直线方程

利用平面束理论求直线方程往往适用于求直线在平面上的射影类的题型，可以根据已知条件求与已知平面垂直的平面，它和已知平面的交线就是直线在平面上的射影。

例3 求直线 在平面 上的射影。

分析：直线 在平面 上的射影就是过 且垂直于 的平面与已知平面 的交线。

解：设过直线 的平面方程为

即

其法向量为 ，由已知得平面 的法向量为

由平面 与平面 垂直，其法向量垂直，得

，即 。因此

平面 的方程为 ，即

故直线 在平面 上的射影方程为 。

4．结束语

厘清点、线、面之间的位置关系与对应的几何量之间的数量关系是空间直线方程的求解的关键。从以上直线方程的解法中可以体会到不同的解题思路虽然有差异，却是殊途同归，这正是数学的美妙之处，对于加深学生对空间直线的理解、提高分析问题、解决问题并综合应用知识的能力意义重大。

作者简介：周明旺(1969-)，男，江苏赣榆人，副教授，硕士，主要从事量子群研究与几何类课程的教育教学。

参考文献：

[1]吕林根,许子道.解析几何[M].第5版.北京:高等教育出版社,2019:77-82

[2]同济大学数学系.高等数学:下册[M].第7版.北京:高等教育出版社.201430-36

作者联系电话：15261310082，邮箱：459578168@qq.com