思政背景下关于逆矩阵的教学设计

思政背景下关于逆矩阵的教学设计

刘海燕

武警警官学院 四川成都 610000

摘要：习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上强调，要用好课堂教学这个主渠道，各类课程都要与思想政治理论课同向同行，形成协同效应. 在思政背景下，在军校数学课程的教学中，挖掘思政元素十分必要. 逆矩阵是《工程数学》课程中的一个重点内容，它与保密主题紧密联系，适合挖掘思政元素.

关键词：思政，逆矩阵，保密.

课程思政指以构建全员、全程、全课程育人格局的形式将各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应，把“立德树人”作为教育的根本任务的一种综合教育理念.

《工程数学》是军校科学文化模块的一门必修课，为实现课程思政的教学目标，激发学员学习数学的兴趣，培养学员学数学用数学的能力，探究如何实施教学十分必要. 逆矩阵，主要要求学员理解逆矩阵的概念和性质，掌握可逆矩阵的求法．本文主讲逆矩阵引例的教学设计、典型例题及逆矩阵教学中的注意事项，不讲逆矩阵的性质．

一、以“保密”主题展开，抛出问题

军队保密工作是党和国家保密工作的重要组成部分，是夺取军事斗争胜利的重要保证．革命战争年代，保密就是保生存、保胜利；和平建设时期，保密就是保安全、保发展．在信息时代的今天，为避免秘密信息被截取，我们可以对发送信息进行加密．

情景设置：武警某部队指挥部向执行任务人员发送指令******（英文）．

已知：（1）26个英文字母与数字之间有以下的对应关系： ; （2）将指令中从左至右，每3个字母分成一组，排成一列，将这些列构成矩阵．

若发出的指令是******，使用上述加密方法，则此信息的编码是3行2列的矩阵，不妨记为 ．此信息直接传输容易被解密，为此，另设置一个密钥矩阵 ，用 加密后，发送 给执行任务的人员.

问题：若你是执行任务的人员，当接收信息为 ，如何解密？

二、逆矩阵的概念

实数的运算，若 均是实数，则 ．在实数的除法中，除以一个数，相当于乘以这个数的倒数，即 ，其中 为 的倒数．

类比实数的运算，要完成解密，需要定义矩阵的“除法”，考虑到矩阵乘法不满足实数乘法中的交换律，因为需要注意矩阵“除法”与实数除法间的区别．

定义：对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 ，使得 ，则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵．

问题1：试讨论逆矩阵的存在性与唯一性？

存在性：任意单位阵均可逆．

唯一性：若矩阵 可逆，矩阵 均是其逆矩阵，则 ,

因此 的逆矩阵是唯一的，且 的逆矩阵记作 ．

问题2：试讨论方阵 可逆的条件？

若矩阵 可逆，则 ，即 ．

定理1 若矩阵 可逆，则 ．（必要条件）

根据伴随矩阵的定义， ,当 时， ．

定理2 若 ，则矩阵 可逆，且 ，其中 为矩阵 的伴随矩阵．（充要条件）

三、逆矩阵的求法

1.逆矩阵求解的一般步骤

①计算 ，判断方阵 是否可逆；②求 的伴随矩阵 ，其中 是 的代数余子式；③代入公式 ，计算 ．

2.实例解答：若密钥设定成 ，接收到信息为 ，求指挥部要传达的信息？

解析：① ，则方阵 可逆；② ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ； ③ ; ④

,根据加密规则， ，即信息为action．

说明：逆矩阵求解的第一个例子，教员务必要完整书写求解过程，指出易错点，着重强调．

3.典型例题讲解

例1 设 ，满足 求 ．

例2 设方阵 满足方程 ，证明： , 都可逆，并求它们的逆矩阵．

例3 设 ， ， ，求 及 ．

例4 设 是三阶方阵，且 ，试求行列式 的值．

例5 设线性变换 ，求变量 到变量 的线性变换．

例6 设 ， ， ，求矩阵 使满足 ．

四、思考

1.图片能否采用矩阵乘法加密？

2. 的逆矩阵记为 ，为什么不写成 ？

参考文献

[1] 同济大学数学系编，工程数学.线性代数[M]， -6版，北京：高等教育出版社，2014.6

[2] 蒲和平编，线性代数疑难问题选讲[M]，-1版，北京：高等教育出版社，2014.8