例谈初中数学求解三角函数应用题的三种模型

例谈 初中数学求解 三角函数应用题的三 种模型

钟文波

深圳市光明区实验学校 广东省 518132

三角函数是初中数学课程中一个重要内容，其应用也很广泛，尤其三角函数应用题在中

考试题中时常出现,这对学生解决三角函数应用题的能力要求更高。随着课程改革的深入推进, 数学建模思想在解决数学问题中具有十分重要的意义，在三角函数应用题中加入数学建模思想, 能够引导学生进行数学问题的思考与处理， 增加学生学习数学的乐趣, 降低学习的难度.

三角函数应用题通常用基本的三角函数知识点解决，例如勾股定理、直角的性质、三角函数定义等基本内容，很多三角函数应用题可以通过建立以下三种基本数学模型解决（以下的角，指的是特殊角或是条件中告之了对应三角函数值的角）。

1. 两角一边模型

1.两角一邻边

例1.（铁岭中考第23题）某旅游区有一个景观奇异的望天洞， 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道 返回山脚下的 处．在同一平面内，若测得斜坡 的长为100米，坡角 ，在 处测得 的仰角 ，在 处测得 的仰角 ，过 点作地面 的垂线，垂足为 ．求索道 的长．（结果保留根号）

【 分析】过D作 ，依题意:

，即 ，

，即 ，

归纳：分析此题的题意，能得到这其实是两角一邻边的题型，可以建立两角一邻边模型求解：如图，已知 边长AB，求解其他元素.解此模型往往是过第三个角顶点作垂线，通过构造直角三角形，利用三角函数的基本知识点求解此类题.

2.两角一夹边

例2.（毕节中考第26题）如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在 处测得塔尖 的仰角为 ，再沿 方向前进73.2米到达山脚 处，测得塔尖 的仰角为 ，塔底 的仰角为 ，求塔高．（精确到0.1米，

【 分析】设 ，则在 中， ；

在 中， ；在 中， ， ，利用关系式 列 方程求出 ；塔高 可以求出．

归纳：根据此题的题意，此题其实是两角一夹边的题型，可以建立两角一夹边模型求解：如图，已知 边长AB，求解其他元素.解此模型往往是过第三个角顶点作垂线，设出未知数，通过三角函数相关定义、勾股定理等知识找出等量关系，列出等式方程求解其他元素.

2. 两边一夹角模型

例3（乐山中考第22题）如图，在东西方向的海岸线 上有一长为1千米的码头 ，

在码头西 端 的正西方向30 千米处有一观察站 ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 的北偏西 方向，且与 相距 千米的 处；经过40分钟，又测得该轮船位于 的正北方向，且与 相距20千米的 处．求该轮船航行的速度；（参考数据： ，

【分析】过点 作 于点 ．由题意，得

千米， 千米， ．

在 中，

在 中，

轮船航行的速度为：

归纳：分析此题，不难发现这是两边一夹角的题型，可以建立两边一夹角模型求解：如图，已知 边长AB，AC，求解其他元素.求解此模型一般可以采取两种方法，一是过B作垂线构建直角三角形，通过AB和 入手求解；二是过C作垂线构建直角三角形，通过AC和 入手求解.

三、总结

总之, 在求解有关三角函数背景下的应用题时, 学生可以建立基本的数学模型,借助三角函数相关知识, 利用三角函数的定义和本身的意义, 综合角和边的关系, 进而解决实际问题， 学生熟悉以上三种模型，对求解三角函数应用方面能更深入地理解和掌握。通过以上模型的建立，学生也体会和理解三角函数与生活中实际问题的联系，有助于学生形成模型思想，提高学生学习兴趣和应用意识。

参考文献：

[1].黄瑞鑫《例谈初中数学有关三角函数应用题的四个模型》[J].中学数学研究.2017，（3）.

[2].《数学九年级教材下册》[M],北京师范大学出版社，2014.