基于有限元法齿轮强度分析

基于有限元法齿轮强度分析

江飞

武汉商学院机电工程学院 湖北武汉  430000

摘要：齿轮变形和应力的仿真分析是齿轮结构设计的必然趋势，仿真分析进入三维领域后，计算模型将更真实、精确、全面。通过个人图形工作站，既能快速计算，又能更加直观、仔细、迅速、精确地观察到计算结果。误差可控制在1%内，是实验法无法相比也无法做到的，为齿轮CAE分析奠定了基础。利用有限元和相关有限元分析软件能有效地对直齿轮进行模拟仿真。从而可以减少实验费用，将为齿轮的动态设计、优化设计和可靠性设计打下新的基础。这样不仅能优化齿轮结构、齿形和齿廓，还能优化齿轮材料和工艺，实现齿轮结构、材料和工艺的创新设计。

关键词有限元法；齿轮；强度；分析

一、 齿轮接触分析的有限元算理

接触是一种非线性行为，是状态变化非线性类型中的一个特殊而重要的子集。轮齿啮合过程中包含正常的接触，同时也包括因误差、变形、侧隙、变速等因素引起的瞬态冲击。因此，齿轮接触分析结果包含轮齿的弯曲、剪切、局部压缩以及轮体挠曲等综合变形引起的齿根最大应力的变化，有限元接触分析建立在弹性理论和接触力学基础之上，在求解齿轮啮合的非Herz接触比较有效有限元法是最近几十年内较为通用的计算方法，它是一种离散化的数值模拟方法。有限元法的基本思想是将物体离散化，问题的求解域划分为一系列的单元，单元与单元间通过节点相互连接＂。单元内部的待求量可以由单元节点量通过选定的函数关系插值得到。由于单元形状简单，易于从平衡关系和能量关系建立节点量的方程式，然后将各单元方程组集成总体代数方程组，计入边界条件后可对方程求解。求解时要根据方程组的具体情况来选择计算方法。总体来说，有限元法即是“一分一合”，分是为进行单元分析，合则是为了整体综合分析

目前，利用有限元法对齿轮的研究主要是两个方面：一是利用有限元软件对齿轮进行仿真分析，在建模和加载的时候综合考虑齿轮啮合过程中的各种影响因素，使结算结果更加的贴近实际，并以次为依据来指导齿轮的设计和加工［13].近年来，越来越多的公司在产品的设计初期开始利用有限元软件，分析出产品可能出现的问题，针对这些问题对产品优化设计，这一方法即能有效的缩短产品的样品制造一测试一改进一再制造的时间，大大降低了产品的研制周期，提高设计效率；而且有限元软件都是利用电脑仿真，不需要制造样品测试，也可以避免产品的余量设计，降低了生产成本，节能环保。二是利用一些其他二次开发平台，与有限元软件相结合，使得齿轮有限元分析的过程程序化、标准化，利用这些程序，只需修改齿轮的参数即可得到需要的分析结果，能够避免建模、参数设置等一系列的重复工作，使得齿轮分析更加的方便快捷，且准确性高。

（一）静态接触分析的基本算理

动态接触和静态接触分析模型计算所得的齿根最大应力与经验计算公式计算的结果均比较接近，故计算结果比较合理。相对动态仿真结果而言，静态接触模型的计算数据更为接近，这是因为静态接触模型和经验计算公式均是对齿轮稳定的运行状态进行计算，故计算值较为接近。齿轮有限元的静态接触分析中，除满足弹性静力学基本控制方程（式1)外，在啮合齿面上还需分别满足法向与切向接触条件。法向接触条指的是主从动齿面是否进入接触以及已进入接触应该遵守的条件，即位形不可贯入的运动学条件和法向接触力为压力的动力学条件。切向接触条件是判断已进入接触的两齿面间的具体接触状况及其服从的条件，一般采用库仑摩擦模型。有摩擦啮合齿面上的接触状态分为三类边界条件，即粘结状态、滑动状态和分离状态。

求解时先定义啮合面的接触状态和接触区域，计算按符合判定条件的接触状态对应的边界条件进行。由主从动齿轮组成的接触问题，从理论上讲，啮合齿面的摩擦接触状态包括以下3种类型：

1. 摩擦接触较为明显的黏结状态；

2. 即将脱离摩擦条件的滑动状态；

（3)不存在摩擦力的分离状态。平衡方程

式中：σ i j ,j--应力张量偏导；一体积力张量；u i j,uji-位移张

量的偏导；εi j一应变张量；σi j一应力张量；G,λ－Lame常数；δij,

δkl-Kronecher符号。

KU=Q+F (2)

式中：K-集成结构的刚度矩阵；U结构节点位移列阵；Q-结构节点外部载荷列阵；F-结构节点接触载荷列阵。因此，进行接触面分析时，首先应先定义齿轮啮合面的接触状态以及

接触区，合理判定，并选择出合适的边界条件。一般采用如式（2)所示的有限元方程来研究主从动轮接触问题。动态分析的基本控制方程与约束条件与静态方法相似，其求解方程如

式（3)所示。

σi j,j+fi-μit=pui,tt (3)

式中：p-质量密度；μ-阻尼因数；ui,tt-i方向的加速度。利用Hamilton变分原理，实现公式（3)的有限元化。在进行齿轮的有限元动态分析时，有关时间因素在内的域是关键，Newmak法的广泛应用就充分验证了这一特性。

（二）动态接触分析的基本算理

与静态计算结果和经验计算公式的结果比较而言，动态接触模型的计算的结果稍大，主要原因有二：一是动态接触模型中，接触面的网格密度不可能足够细，这样就不可避免的会引入冲击效应，但在网格密度达到一定的级别，可以对冲击效应产生的影响有效控制；二是动态接触模型中计入了摩擦的影响。

2. 有限元分析法在轮齿受载后作用

齿轮传动具有效率高、寿命长等特点，但是齿轮传动的失效将直接影响机械传动。齿轮失效主要发生在轮齿部位，其形式为齿面磨损、点蚀、轮齿折断、齿面胶合以及塑性变形等。在齿轮啮合过程中，由于齿面的弹性变形、载荷分布的非线性以及啮合齿对数发生变化和接触区改变等多种复杂因素的影响，使齿轮的接触强度计算变得异常复杂。传统的齿轮接触强度计算都是以赫兹公式为基础，通过对原始的赫兹公加以变形及系数修正来获得的，因而难以精确地求解出齿轮的接触强度。目前，相对于传统的计算方法，国内外已广泛采用有限元分析法对齿轮传动强度进行分析计算。特别是对于接触问题的分析，有限元分析法能较好地处理轮齿受载后的啮合接触面力学和变形的边界条件，可以对齿轮传动系统做出准确的应力变形分析。

（一）接触理论基础

齿轮齿条的瞬时接触是线接触问题，即一对轮齿在齿面接触的瞬时，宏观而言是沿齿宽的线接触过程，而从微观上来看，由于轮齿间的作用与反作用力的作用，齿面受压后轮齿间是一个微观的瞬时面接触。接触理论是研究物体之间通过接触而实现力的传递的一种分析方法。接触模拟的一般目的是在已知初始接触状态的条件下，对接触体系施加一定外载荷，确定接触面积及计算所产生的接触压力。在有限元中，接触条件是一类特殊的不连续约束。因此，分析方法必须能够判断什么时候两个表面是接触的，并且应用相应的接触约束。类似地，分析方法也必须能判断什么时候两个表面是分开的并解除其约束。

（二）有限元模型

实体建模的最终目的是划分网格以生成节点和单元。在划分有限元网格时遵循以下原则：

（1)有限元模型主要采用一阶减缩积分单元，在局部重点要考查的部位采用二阶减缩积分单元。

（2)对减缩积分单元引入少量的人工沙漏刚度以限制沙漏模式的扩展。

（3)在模拟承受弯曲结构时，厚度方向至少划分4层单元。

（4)在进行接触分析时采用非协调单元，并将网格作细化处理，使网格扭曲减至最小。

（5)尽可能采用六面体单元，在模型复杂部位适当采用楔形单元，以增加过渡的连续性和协调性。

有限元模型如图1所示。

图1 齿轮条 有限元模型

三、分析弯曲强度

（一）简化模型

在对齿轮变形和齿根应力进行有限元分析时，如若将研究对象选为齿轮整体，那么就需要很高的计算机资源、很多的单元，还需要花费过长的机时，并不能很好地影响到计算结果的精度，因此不可取。在齿轮进行实际受载过程中，齿轮本身不会表现出绝对的刚性，与轮齿连接位置通常会产生不同程度的变形，然而距离齿根相对较远的一些地方，其变形量几乎可以忽略不计，基于此，在对研究对象进行选择的过程中，可只选和轮齿靠近的分齿轮体。数据表明，分析齿轮强度时，研究对象分别选五齿模型、三齿模型、单齿模型，计算得到的误差小于2%.

（二） 网格划分和单元类型

依照计算对精度的要求，通过对经济性、集体对象状况以及计算机自身的容量和是否适合程序因素等，进行全面的分析和研究，从中选择较为合适的单元形式。实践中，为有效减少计算量、提高计算精度，建议利用八节点四面体单元的Solid45进行设计和操作。对于齿轮划分技术而言，其应当选择适应性较强的一些网格形式，其中可划分的单元数量为11801,并且包括的节点数量大约有3361个。

（三） 确定边界条件

实践中，笔者采用的是在齿轮底面、两齿的侧面位置适当地施加固定约束力的方法，对全部的自由度施加限制的现代模型形式。

（四）载荷的确定

在对强度进行计算时，常常选择分析对载荷作用最不利的点。选一对齿轮的端面，端面基圆齿距用Pb1表示，实际啮合线表示为AB.B点为齿轮2单对齿啮合区上界线点，也是齿轮1单对齿啮合线的下界线点。从实际操作情况来看，上述两齿轮对两对齿轮啮合区齿轮上产生的载荷进行分担。在一对齿轮中，齿顶发生齿轮啮合时，虽为最大弯曲力臂，但并非最大齿根弯矩。当单对齿啮合区中的齿轮实际啮合过程中，就会大幅度减小弯曲力臂，此时载荷集中在同一个齿轮上。当单对齿啮合区位置的上界点受到载荷作用时，不可避免地会产生非常大的齿根弯矩。基于此，应当将该点视为强度计算齿根最不利的受载位置，所以，B点为载荷作用最不利通过主轮的转速、输入功率计算，可得出弯矩大小（T),也可得出齿轮法向载荷大小。将法向载荷转为节点力（Fx、Fy),然后在有限元模型上表现出来。

（五）齿轮有限元计算

在模块分析过程中，尤其是ANSYS里的结构静力选择过程中，将有限元程序运行。处理器会将各种云图，各个方向上每个节点的位移、应力等数据提供给我们，同时将整个轮齿的变形分布和应力直观、清晰地反映出来。

四、应用MSC软件和有限单元法对斜齿轮的轮齿的应力进行分析

（一）有限元分析

（1)有限单元法．有限元法是一种离散化的数值方法，离散化是有限元法的基础，必须依据结构的实际情况，选择合适的单元形状、类型、数目、大小以及排列方式，将拟分析的物体假想地分成有限个分区或分块的集合体。离散后的单元与单元间只通过节点相联系，所有力和位移都通过节点进行计算。对每个单元，选取适当的插值函数，使得该函数在子域内部、子域分界面上（内部边界）以及子域与外界分界面（外部边界）上都满足一定的条件，其中选取的形函数或插值函数通常是多项式，最简单的情况是位移的线性函数，这些函数应当满足一定条件，该条件就是平衡方程，它通常是通过变分原理得到的。然后把所有单元的方程组合起来，就得到了整个结构的方程。求解该方程，就可以得到结构的近似解。

（2)齿轮有限元模型的建立．①建立齿轮有限元模型．在建立齿轮有限元物理模型前，基于弹性理论，为了简化问题求解，对齿轮模型进行了诸多假设，其中包括齿轮材料是各向同性的；齿轮材料是连续的、均匀的；齿轮齿面接触线上各点的变形均沿齿廓表面的法线方向；齿轮接触载荷沿齿面法线方向；不计算齿轮啮合时齿面上的摩擦力。②模型的网格划分。确定有限元单元网格时主要考虑对计算精度的要求、计算齿形的复杂程度及计算时间等诸多因素，根据提供了的多种三维有限元网格划分模式，同时控制实体网格单元大小和疏密程度。在齿轮受力较大的部分应将网格加密，以便提高计算精度。建立齿轮的有限元网格单元，4. （二）运用MSC.Fatigue 进行斜齿轮疲劳分析的基本步骤

运用MSC. Fatigue 对斜齿轮进行疲劳分析需要三方面的基本信息输入，才能提交疲劳分析作业。这三个方面的输入为材料的疲劳属性、疲劳载荷的信息以及斜齿轮的几何特征等。

材料的疲劳属性主要包括斜齿轮材料的静力学特性、材料的S-N曲线、ε-N曲线以及表面处理等重要数据，采用不同的疲劳分析方法所涉及的数据也会有所不同。

在MSC. Fatigue中，疲劳载荷为时间历程、功率谱密度函数（PSDF)和某种形式的计数结果（如雨流矩阵）等。在静态以及频率响应有限元分析前处理中，疲劳载荷是从外部施加到有限元模型上的；而在随机振动疲劳以及瞬态分析的有限元计算结果中，已经内置了载荷信息，外部疲劳载荷的管理和施加是通过载荷历程数据库管理器PTIME来执行的。

几何具有不同的意思，这取决于你是通过有限元模型还是试样来工作。试验时，几何输入是Kt(应力集中系数），因为破坏点通常不是实际的测量点。因此定义一个几何修正系数Kt,将测量到的反应和破坏位置处联系起来，对于一个有限元模型来说，所有位置的局部应力和应变都是知道的（所有位置Kt＝1).斜齿轮有限元模型给出了疲劳寿命所需的整个应力分布．此外在裂纹扩展分析中 MSC.Fatigue的PKSOL模块提供了一整套应变函数库来定义裂纹的几何形状。

四、 分析有限元计算的结果

通过应力云图进行分析，处于最不利的负荷条件下，其齿轮产生的组大位移大约在1. 85毫米范围之内，齿顶24号节点上也会出现这一现象，各节点靠近齿顶上的相对位移都非常的大。在齿根的778号节点发生了最大的相当应力672. 3MPa,各节点在靠近齿根的地方也有较大的应力。通过对应力云图分析可知，在齿根的778号节点发生了最大的相当应力672. 3MPa,各节点在靠近齿根的地方也有较大的应力。齿根部分是齿轮最危险的截面，有足够的弯曲强度；多次进行反复的计算表明建立了正确的模型，合理地进行了有限元分析。

五、改进齿轮结构

齿根处为齿轮最危险的截面，因此，要使齿根的受力情况得到有效改善，对齿根截面自身的形状进行适当的调整。同时，笔者认为将过渡圆角半径由原来的5毫米增至10毫米，并对其进行重新的有限元分析。轮齿最大相当应力改进之前，672. 3MPa的强度可降低至636. 4MPa左右，而且其总量降低了5. 3%.由此可得，将齿根过渡圆角增加是一种将齿轮承载能力提高的可行办法。

结束语

齿轮的接触强度是齿轮设计和研究的重点，基于有限元法的基本算理，对齿轮进行静态和动态接触分析，通过与经验计算公式的计算结果对比可知：基于有限元法的齿轮动态与静态接触分析是切实可行的分析方法，计算结果比较合理；动态接触计算模型能更为真实的模拟齿轮啮合的真实状况，因为它计及了啮合过程中的冲击效应和摩擦的影响；由于齿轮稳定运行状态下，冲击效应比较小，此时，静态接触模型能快速且较准确的模拟齿轮稳定运行状态的接触强度。

参考文献：

[1] 周岭. 基于Pro/E精确建模的渐开线直齿轮应力有限元分析[D]. 兰州交通大学, 2009.

[2] 刘晖. 基于参数化的齿轮传动接触有限元分析[D]. 大连交通大学, 2005.

[3] 姚春华, 林凤涛. 差速器行星齿轮弯曲强度有限元分析Finite Element Analysis of the Planetary Gear Bending Strength of Differential[J].

江飞（1990.08），男 汉族 湖北宜昌人 重庆大学 机械工程硕士，助理实验室，主要从事机械系统动力学相关研究

课题：有限元法在机械设计教学中的应用 —以齿轮为例，编号2019N016