高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究

高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究

龚雪芬

浙江省义乌市上溪中学 322008

摘要：在学生的高中学习阶段，不等式属于非常重要的组成部分，其在生活当中的应用也非常广泛，属于日常生活中不等关系的重要数学模型，同时，也是学习、解决和研究数学中各种问题的有力工具。

前言：随着我国人民对学生教育是重视程度的日益提升，学生的心理负担也随之不断加重。为了切实缓解学生压力，我国与此相关的教育部门正进行着教学改革，新课改对教师提出了新得要求，需要教师在教学过程中，将学生作为主体，将学生的发展视为教育的根本，将注意力更多的放在学生的个人能力提升以及兴趣爱好培养方面，更好的帮助学生提高学习成绩，实现全面发展。在这种情况下，面对非常重要的不等式部分，高中数学教师也开始了对自身教学模式的改变，以实现学生不等式方面知识了解程度的进一步深入。

一、不等式在高中数学教学中的重要地位

在高中阶段的数学学科的学习过程中，不等式的作用非常重要，主要表现在函数、三角函数以及平面向量等方面。除此之外，不等式也体现了强大的综合、广泛以及普遍性。不等式在学生的实际学习过程中，不仅属于数学教学的基础内容，而且也属于科学研究不等关系的重要手段。除此之外实际的，在学习的过程中，还能培养学生的数学思想、思维以及综合素养。

2. 不等式在高考试题中的应用分析

（2020 新高考全国一卷）已知a>0,b>0,且a+b=1,则（ ）

1. a²+b²≥½

2. 2^a-b>½

3. Log2a+log2b≥½

4. + ≤

答案：ABD

解析：

通过对题目的观察可得，此题属于不等式问题当中，需要计算比较多的题目，在计算过程中首先分析题目，因为a>0,b>0,a+b=1,已知a>0，b>0，且a+b=1，所以a+b>2 ,当且仅当a=b=½时，等号成立，即有ab≤¼。然后进行选项分析，对于A，建议学生通过a²+b²=(a+b)²-2ab=1-2ab≥1-2×¼=½，故A正确；对于B，建议学生通过2^a-b=2^2a-1=½x2^2a 进行分析，因为a>0，所以 2^2a>1，即 2^a-b>½,故B正确。对于C，建议通过log2a+log2b=log2ab + )²=a+b+2 ≤2得 + ≤ ，故D正确，

三、高中数学不等式的解题方法和技巧

（一）换元法

换元法也叫做辅助元素法，是指在题目中引进新的变量，并将所有零散的条件进行综合，凸显出隐含条件，也可以将结论与已知条件进行结合，使其成为我们较为熟悉的形式。换元法通常情况下包括以下几种方式，即局部、三角和均值。其中，局部换元是指在已知或未知的条件中，使用一个字母对现次数多的某个代数进行替换，或者对其进行变形，从而简化这个问题。而三角换元一种是使用在去除根号中，另一种是将其变换成三角式中。

例题：已知a>b>c，请试着证明：1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c)

解析：在解题过程中，可以先进行假设，令x=a,y=b-c，结合题目当中的一直条件能够得到，a-c=x+y且x>0,y>0，然后将原不等式转化为：1/x+1/y≥4/(x+y)因此，只要证明：（x+y）/x+(x+y)/y≥4，1+y/x+1+x/y≥4，此时纳入、能够得出y/x+x/y≥2，而y/x+x/y≥2恒成立，在这种情况下，就能够证明原始式子1/(a-b)+1/（b-c）≥4/(a-c)正确。在高考过程中，经过判断后，与此题类型相似的题目，可以应用换元法，能够将复杂的命题简化成简单而熟悉的命题，从而大大节省答题时间，提高准确率。

（二）反证法

对于给出一些条件，再证明一个等式或不等式是否成立的问题中，用直接证明比较困难，那么此时，就可以借助反证法进行证明。通过名字对其进行理解能够得到，反证法就是党一道题目，通过正面方法难以解答时，就可以利用已知条件以及结论，借助反面假设的方法进行解答，得出与已知条件相反的结论，从而得出原命题正确。

例题：已知a^3+b^3=2,证明a+b≤2

证明：假设a+b>2,则有a>2-b,进而会有a^3>8-12b+6b^2-b^3,而a^3+b^3>6b^2-12b+8=6(b-1)^2+2,由于6(b-1)^2+2≥2，因此a^3+b^3>2,这显然和已知条件a^3+b^3=2相互矛盾，进而假设错误，原命题成立。在高考过程中，借助反证法可以让解题过程更加直观，减少大量不必要的步骤，进而实现不等式类型题目的解题效率。

（三）线性规划法

不等式与线性规划融合的综合类型的题目在高中数学不等式中很常见，在高考当中出现的频率也比较高，在阶梯的过程中，学生需要具备对不等式的性质以及线性规划基本性质的准确理解，例如：不等式组y≤-x+2,y≥kx+1,x≥0,代表的区域是三角形，且面积为1，那么k的值是多少？在高考过程中，学生需要注意的是：在解答这种类型问题的过程中，可以应用的解题技巧包括以下两个方面：一方面，解出函数的最值类问题，需要准确快速的画出图形表达可行域，进而理解目标函数中所代表的几何意义；另一方面，目标函数的参数设置问题，这类题目在解题过程中，首先要从结论入手，通过对图形的动态变化的分析，对相关量进行准确的定位，从而实现答题准确率以及速度的提升。