融入思政元素的教学设计--以不定积分分部积分法为例

融入思政元素的 教学 设计 -- 以 不定积分分部积分法 为例

杨绍蓉

昆明文理学院通识教育教学部 云南 昆明 650222

摘要：不定积分是微积分中的重要内容，分部积分法是求解不定积分的一种重要方法。随着时代的发展，课程思政变得尤其重要，本文通过挖掘不定积分分部积分法中的思政元素给出融入思政元素的教学设计。

关键词：不定积分；分部积分法；思政元素

大学数学是大自然的基本语言，是应用模式探索世界物质机理的主要手段，对于大学非数学专业的学生而言，大学数学的教育，其意义则远远不仅仅是学习一种专业的工具而已。^[1]《微积分》这门课，主要针对理工类学生和经管类学生开设。

不定积分是《微积分》中的重要内容，即在已知函数求导问题的基础上考虑其逆问题：已知导数求其函数，即求一个未知函数，使其导数恰好是某一已知函数。这种由导数或微分求原函数的逆运算称为不定积分。故研究不定积分的解法就变得至关重要。不定积分的解法分为直接积分法、第一换元法、第二换元法、分部积分法、有理函数积分法、无理函数积分法。直接积分法即直接利用基本积分公式，直接求出不定积分的方法。但能直接用直接积分法计算的不定积分是十分有限的；换元积分法是将复合函数的求导法则反过来用于不定积分，通过适当的变量替换（即换元），把某些不定积分换为可利用基本积分公式的形式，再计算出不定积分；有些积分前两种方法无法解决，进而需要学习分部积分法。

《关于深化新时代学校思想政治理论课改革创新的若干意见》，明确提出要整体推进高校课程思政建设，发挥所有课程育人功能。课程思政指以构建全员、全程、全课程教育人格局的形式将各类课程与思想政治理论相向同行，形成协同效应，把“立德树人”作为教育的根本任务的一种综合教育理念。课程思政的主要形式是将思想政治教育元素，包括思想政治教育的理论知识、价值理念以及精神追求等融入到各门课程中去，潜移默化地对学生的思想意识、行为举止产生影响。
课堂教学是课程思政建设的出发点和落脚点，课程思政建设要在课堂教学各个方面、各个环节中落地落实，将各门课程中蕴含的政治认同、家国情怀、文化素养、宪法法治意识、道德修养等教育元素与课堂教学有机融合，通过教师的言传身教，让学生能够真心感受到、切身体会到。每一门课程都蕴含着丰富的思政元素，但这些思政资源不是直接显露在课程内容之中，而是蕴含在各个知识点的背后。^[2]

通过学习分部积分法，使学生挖掘隐藏在知识点后面的思政元素，潜移默化地对学生的思想意识、行为举止产生影响。

教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法与其应用

教学重点：分部积分法及其应用

教学难点：分部积分法中 的选取

引入：首先给出不定积分 ，让同学们利用直接积分法和两种换元积分法求解该积分。同学反映无法求解，那么如何求解该类积分是我们这节课需要研究的内容。

定理：若 与 可导，且不定积分 存在，则

_{也存在，且有}

_。

_{称为分部积分公式。}

_{证明：由乘积的求导公式}

_{对上式两端同时求不定积分可得}

_即

_从而

_。

_{从上述分部积分公式中可以看出分部积分法就是把的计算转化为的计算。}

_{分部积分公式：}

_{可以简写为}

_。

分部积分实质就是求两函数乘积的导数（或）微分。使用 公式求解不定积分最主要的是 的选取。要把被积函数看做两个部分，一个部分是 ，剩余的部分凑到微分符号里面去得到 ，然后直接代入 公式。即可解决积分问题。

下面通过一些常见的分部积分例子总结出几类题型中 的选取。

例1：

_分析：把 看作 ， 看作 ,则

代入分部积分公式可得

例2：

分析：把 看作 ， 看作 ,则

_从例1、例2中可看出当被积函数为_， 都是正整数时，通常把 看作_。

_{例3：计算}

_{若令，，则，}

_{代入分部积分公式可得}

_{观察积分，发现比积分还要复杂，故令，不可行，反之令，，则，。代入分部积分公式可得}

_{从例3可看出，使用分部积分法在于恰当选定积分公式中的，使等号右端的积分容易求出，若选取不恰当，则会使原积分变得更加复杂。}

例4：

_分析：把 看作 ， 看作 ，则

_{代入分部积分公式可得}

从例3、例4中可看出当被积函数为 都是正整数时，通常把 看作_， 看作_。

_{思政融入点：易中天教授说过“如果方向错了，停止就是进步”。方向错了，而你还继续走下去，只会离你最初的目标越来越远，理所应当停止成了最好的选择。}

_{有的人做什么事都要坚持到底，哪怕这事是你并不合适坚持的，也舍不得放弃，最后时间搭上了，所坚持的事却比以前更槽。因此对于过程中发现错的事情我们一定要及时止损。就像不定积分中若选取不恰当，那我们要及时结束积分的计算，换新的来计算积分，否则只会使积分变得越来越复杂。人不能欲罢不能，一错再错，要学会把握正确的方向，坚守自己的原则。}

例5：

_分析：把 看作 ， 看作 ，则_，

_{代入分部积分公式可得}

例6：

_分析：把 看作 ， 看作 ，则

_{代入分部积分公式可得}

_从例5、例6可以看出当被积函数为_， 都是正整数时，通常把 看作 ， 看作_。

_例7：

_分析：把 看作 ， 看作 ，则

_{代入分部积分公式可得}

对 再使用分部积分法

_把 看作 ， 看作 ，则

例:8：

_分析：把 看作 ， 看作 ，则

_{代入分部积分公式可得}

对 再使用一次分部积分法

把 看作 ， 看作 ，则

解得

_从例7、例8可以看出当被积函数为_， 都是正整数时，通常把 看作 ， 看作_。

_{思政融入点：例7、例8求不定积分都要使用两次分部积分法才能够把积分积出来，就好比钉钉子精神，凡事不是一蹴而就的，需要一步一步脚踏实地。}

_{作为一名大学生要有钉钉子的精神，钉钉子往往不是一锤子就能钉好的，而是要一锤一锤接着敲，直到把钉子钉实钉牢，钉牢一颗再钉下一颗，不断钉下去，必然大有成效。如果东一榔头西一棒子，结果可能是一颗钉子都钉不上、钉不牢。我们要有“功成不必在我”的精神。钉牢一颗再钉下一颗，一直坚持，就会有大成效。}

_例9：

_分析：把 看作 ， 看作 ，则

_{代入分部积分公式可得}

_例10：

_分析：把 看作 ， 看作 ，则

_{代入分部积分公式可得}

_例11：

_分析：把 看作 ， 看作 ，则

_{代入分部积分公式可得}

_从例8、例9、例10可以看出当被积函数为幂函数乘以反三角函数时，通常把反三角函数看作 ，幂函数看作_。

总结：使用分部积分法求解不定积分最主要的是把被积函数看作两个部分，一个部分为 ，另一个部分为 。故分部积分法的关键就在于 的选取。本文列举了10个例子，并从中总结出被积函数为五大类情况下 的选取。学生只需要掌握每类积分中最基本的类型，即 都等于 时的情形下 的选取，则对于同种类型的积分只需采用相同的选取方式即可。分部积分法本身并不复杂，只需选定适当的 ，把 算出，直接代入公式，即可解决积分问题，具体 的选取已在上述例子中列出。通过不定积分分部积分法的学习，使学生在学习用分部积分法求解不定积分的过程中，明白一些人生哲理，做事情要有钉钉子精神，不要急于求成，要一步一步脚踏实地，才能达到想要的结果。人的一生中也会面对很多选择，如果过程中发现选择错误，一定要及时止损，另辟途径，不要一直错下去。

参考文献：

1. 吴赣昌.线性代数:理工类[M].北京:中国人民大学出版社,2011.

[2]《高等学校课程思政建设指导纲要》印发 把课程思政从课程要求转化为政策实施表和行进路线图.https://mbd.baidu.com/newspage/data/landingshare?

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