杨辉三角的深入研究

杨辉三角的深入研究

郭燕燕

济源高级中学

摘要 在新时代背景下对高中生的数学提出了更高的要求，中国古典数学作为民族自信提升重要载体，在教学中如何给学生讲解，如何在讲解过程中是学生产生更大的民族自豪感，都是我们的研究方向。对古典数学在高考中的体现更是我们研究的方向，本文就目前我所带学生现状入手探讨在核心素养要求下，培养学生研究我们古典数学，提升文化自信。以便大家共同探讨。

关键词：核心素养 古典数学 杨辉三角 高中生

前言：我们的五千年文明得以延续传承数学起着举足轻重的作用，我们把我们先人的数学智慧在数学教学延伸，拓展，是我们每个数学教育工作者的义不容辞的责任。下面就用杨辉三角这个数学中的瑰宝级数学成就，结合现代数学研究成果在深入讨论一下。

大家都非常清楚，杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形，它的排列形如三角形。因为首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名，而书中杨辉说明是引自贾宪的《释锁算书》，故又名贾宪三角形。古代波斯数学家欧玛尔·海亚姆也描述过这个三角形。在欧洲，因为法国数学家布莱兹帕斯卡在1653年的《论算术三角》中首次完整论述了这个三角形，故也被称作帕斯卡三角(Pascal's triangle)。下面我就从以下几个角度谈谈我对我们文化瑰宝的思考成果。

一 、杨辉三角的构建

在最上面一行的中央写下数字 1第二行，写下两个 1，和上一行形成三角形随后的每一行，开头和最后的数字都是 1，其他的每个数都是它左上方和右上方的数之和，就是说除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和。杨辉三角的美妙之处在于：它是如此足够简单，但本身在数学上却拥有丰富的魅力。这是数学中的最令人称奇的事物之一，随便取诸多数学性质中的某个，就能表明它是多么的精彩绝伦。

1）隐藏数列

提示：为了有助于找到隐藏的信息，先将杨辉三角按左对齐方式排列。

前两列倒没什么特别的地方，第一列均为 1，第二列则为自然数。而第三列就是三角形数(Triangular number)。你可以想到，三角数就是能够组成大大小小 等边三角形的点 的数目，如下图所示。类似地，第四列是四面体数(Tetrahedral number)，也叫三角锥体数。顾名思义，它们代表由三角形构成的四面体所需要的点的数目，四面体数每层为三角形数。往后每一列都延续这一规律，这一规律描述了由三角形数/四面体数到高纬度“单纯形”的拓展。下一列是 5-单纯形数，接着是 6-单纯形数，以此类推。

在 几何上，单纯形是某一维度空间中构造最简单的结构，0-单纯形就是点，1-单纯形就是一条线段，2-单纯形就是三角形，3-单纯形就是四面体，4-单纯形就是五胞体。

（2） 2 的幂

如果你把每一行相加会得到 2 为底的幂，始于 2º=1

可以看到每一行的和都是以 2 为底的幂。

（3）11 的幂

杨辉三角还揭示了 11 为底的幂的值。你要做的就是将每一行的数字挤压到一起。前 5 行足够简单，但出现两位数的时候该怎么办呢？

事实证明，你要做的就是将十位数加到它左侧数字上，比如下图所示的是第六行中出现了上面的情况，如何进行移动以获得 11 的值。

（4）杨辉三角的性质

这个三角形的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数都等于它肩上的两个数相加。 例如2=1+1，3=1+2，4=1+3，6=3+3，…。 其实杨辉三角正就是按照这个规则作成的。

在一般的情形，因为

这说明了，上图中的任一数 等于它肩上的两数 和 的和。

为了方便起见，我们把本来没有意义的记号 和 令它们分别等于1和0，这样就可以把刚才得到的结果写成关系式：

而称它为杨辉恒等式， 这是杨辉三角最基本的性质。

杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质。

（1）对称性：橫行与首末两端“等距离”的两个数字相等。这一性质可直接由公式 得到。

（2）增减性：前半部分递增，后半部分递减。

（3）最大值：当 是偶数时，中间一项 取得最大值；当 是奇数时，中间两项 ， 取得最大值。

（4）各行数字的和满足： 。

此外，有这个由这些拓展而来的性质还有很多。

（1）杨辉三角的2^k-1(k为整数)的各个数字除去1外都是质数的积。

（2）杨辉三角中若第P行除去1外，P整除其余所有的数，则行数P是质数。

（3）杨辉三角中第M条斜（从右上到左下）上前N个数字的和，等于第M+1条斜线上的第N个数。

（4）根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第M条斜线（从左上到右下）上前N个数字的和等于第M+1条斜线上第N个数。

（5）对杨辉三角运用规律的总结

加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。

看似简单的杨辉三角里的个秘密，是不是很精彩啊！但这并不是终点，还有另外更有趣的性质隐藏其中，或许未来我们继续前行，一道再探索的过程中能感受到其乐融融，从而达到“有趣的数学”，“快乐的学”的最佳境界。让我们用我们的总智慧去探讨数学的奥秘，我们共同为我们中华民族的伟大复兴去努力。

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