对复合函数求导法则的一点理解

对复合函数求导法则的一点理解

李向阳 查正邦

洛阳师范学院 数学科学学院 河南洛阳 471934

摘 要: 对函数的求导运算是高等数学学习中的一个要点, 而对复合函数的求导方法不好理解、掌握，本文抓住定理的实质，拨开迷雾，直观讲解对复合函数的求导，让人易懂、已掌握.

关键词：求导，复合函数，实质

对函数的求导是高等数学中重要和主要的内容，求导的方法主要有利用导数公式表法则、反函数的求导法则、复合函数的求导法则、隐函数的求导法则以及由参数方程所确定的函数的求导法则等等.而其中不好理解或不好掌握或容易出错且应用频率高的是复合函数的求导法则.本文主要讲解复合函数的求导法则以及如何运用复合函数的求导法则求函数的导数.

1. 复合函数的求导法则

对于

, ,

这样的函数，我们还不知道它们的导数是否存在，存在的话怎么求它们的导数. 这些问题将借助下面的法则得以解决，即需要利用复合函数的求导法则，下面给出复合函数的求导法则的定理.

定理 如果函数 在点 可导，而函数 在点 可导，那么复合函数 在点 存在导数，且其导数为

.

证明 因为 在点 可导，即

存在，于是据极限和无穷小量的关系得

,

其中 是 时的无穷小量.上式中的 ，用 乘上式两边，可得

(1)

若 时，规定 ，此时因 ，而(1)式右端也为零，故(1)式对 也成立 . 用 除(1)式两边，即得

，

故

.

又据函数在某点可导必连续的性质知，当 时， , 即可推知

.

又 在点 可导，有

,

即

故

,

即得公式

.

对于高等数学中的一些定义、性质、定理及公式等的学习，刚开始我们不可能面面俱到、下力气去掌握其中的点点滴滴，而应该首先看出其实质，拨开迷雾抓住其要点、重点，这样在学习中才能做到事半功倍的效果. 对于上面的这一定理，我们可以轻松放过一些前提条件和证明过程，只讲讲怎么运用这一公式

.

此公式的含义是

复合函数 对自变量 的导数等于函数 对中间变量 的导数与中间变量 对自变量 的导数的乘积.故公式

可改写为

或

.

对复合函数的求导运用这改写后的公式能给人以直观、易懂且不易出错的优点.

2. 具体实例

例1 设 ，求 .

解 .

例2 设 ，求 .

解

.

例3 设 ，求 .

解 .

例4 设 ，求 .

解 .

.

结束语

在高等数学中一般不出现类似 这样的式子，但在我们熟悉熟练这样的解法后，可将上面各例题的解法改写，例如例4的解法可改写为

.

参考文献：

【1】王天泽. 高等数学[M]，北京：科学出版社, 2016

【2】朱来义. 微积分[M]，北京：高等教育出版社，2013

【3】同济大学数学系. 高等数学[M]，北京：高等教育出版社，2014

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