高宽比和零应力区对高层建筑的影响研究

刘德

广东博意建筑设计院有限公司

摘要：当我们做设计的时候遇到超高层建筑或细高建筑时，往往高宽比会超限，甚至出现零应力区，那么超限后会不会有问题，超过规范后，其中的度该如何把握，高宽比和零应力区对细高建筑的影响有多少，本文主要从原理上论述其影响因素及对应措施。

关键词：超高层建筑；高宽比；零应力区；影响因素；对应措施

一、规范对高宽比计算要求

《高规》3.3.2条 钢筋混凝土高层建筑结构的高宽比不宜超过表3.3.2的规定。

图1、《高规》表3.3.2

条文：高层建筑的高宽比，是对结构刚度、整体稳定、承载能力和经济合理性的宏观控制；在结构设计满足本规程规定的承载力、稳定、抗倾覆、变形和舒适度等基本要求后，仅从结构安全角度讲高宽比限值不是必须满足的，主要影响结构设计的经济性。因此，本次修订不再区分A级高度和B级高度高层建筑的最大高宽比限值，而统一为表3．3．2，大体上保持了02规程的规定。从目前大多数高层建筑看，这一限值是各方面都可以接受的，也是比较经济合理的。高宽比超过这一限制的是极个别的，例如上海金茂大厦（88层，420m）为7．6，深圳地王大厦（81层，320m）为8．8。

在复杂体型的高层建筑中，如何计算高宽比是比较难以确定的问题。一般情况下，可按所考虑方向的最小宽度计算高宽比，但对突出建筑物平面很小的局部结构（如楼梯间、电梯间等），一般不应包含在计算宽度内；对于不宜采用最小宽度计算高宽比的情况，应由设计人员根据实际情况确定合理的计算方法；对带有裙房的高层建筑，当裙房的面积和刚度相对于其上部塔楼的面积和刚度较大时，计算高宽比的房屋高度和宽度可按裙房以上塔楼结构考虑。

1. 注意要点

1）、高宽比计算不区分A、B级高度，统一按本表规定；

2）、本表中规定的烈度应为本地区抗震设防烈度；

3）、若仅从安全角度讲，高宽比限值不是必须满足的，高宽比不满足规范要求并不代表稳定性和抗倾覆能力等有问题，高宽比主要影响的是结构设计的经济合理性；

4）、房屋高度H为室外地面至主要屋面板顶的高度（不包括局部突出屋面的电梯机房、水箱、构架等高度）；

其中主要屋面为，当上层面积小于下层面积的40%时即可认为是局部突出屋面，且其参与计算的面积不考虑竖向构件之外的水平悬挑部分，如图，当A1+A2+A3<0.4A₀时，则可认为A0所在屋面为主要屋面。

图2 主要屋面面积示意

对于楼层面积缓慢收进的金字塔形建筑，亦可采用相同计算原则，如下图。

图3、主要屋面特殊情况示意图

5）、房屋宽度B，采用所考虑方向主体结构的等效宽度计算（不计入外挑部分），对突出建筑物平面很小的局部结构（如楼梯间、电梯间等），一般不应包含在计算宽度内（《高规》3.3.2条文）；

6）、当裙房的面积和刚度相对其上部塔楼的面积和刚度较大时（面积较大可理解为塔楼周边不小于3跨20m，刚度较大可理解为下层刚度/上层刚度≥1.5），计算高宽比的房屋高度和宽度可按裙房以上塔楼结构考虑，此时计算高度H=房屋高度-裙房高度，计算宽度B=塔楼宽度；

图4、不同结构房屋计算宽度示意图

2. 朱总设计建议

1.高宽比超限属于结构设计的一般不规则项。对高宽比超限的结构应特别注意加强对结构稳定性的验算:

1)对非抗震设计的建筑，应注意风荷载的影响，必要时可按1.1倍风压值(风压值按 50年一遇)计算。

2)抗设计的建筑，除按上述1)验算风荷载对结构稳定的影响外，还应注意地震作用下结构的稳定问题，必要时可验算结构在设防列度地震作用下的稳定问题，特别重要的建筑，应能实现大震时抗倾覆不屈服(与倾覆有关的结构构件如:外简剪力墙、基础、基桩等)。

3)对高宽比较大的高层建筑，宜采用整体性、稳定性较好的基础形式，如双向条形基础、筱板基础及桩筱基础等。还应特别注意地基的稳定性问题，必要时应加强验算。

2.高层住宅建筑中，为追求较好的朝向及较好的通风效果，提高房屋的建筑品质，实现住宅经济效益的最大化，经常出现高宽比较大的情况。当高宽比超过表3.3.2中数值时，结构在平面宽度较小方向的侧向刚度较小，所需的抗侧力构件(如剪力墙、支撑等)较多，结构两向的动力特性相差较大，结构设计的经济性也差，结构设计时应予以充分注意，必要时应提前与投资方沟通。

二、等效宽度B的计算步骤

1.CAD面域法

PL线围闭结构轮廓(不含外挑部分)»将轮廓线变为面域（命令region）»查询面域特性（命令massprop）»查看质心坐标»将质心移至坐标原点（0,0）»再次查看面域信息，读取旋转半径r，则等效宽度B=3.5r

2.数学算法

采用惯性矩公式和平行移轴公式，先求出多边形的形心坐标及面积»根据惯性矩公式和平行移轴公式求通过形心轴的惯性矩I»再通过公式i=√(I/A)求出回转半径r=i，则等效宽度B=3.5r

延伸：

对于矩形其惯性矩为 ，则

一般取3.5r。平行移轴公式：I₁=I₀+A*a²

3.举例说明

某建筑平面结构轮廓如图所示(已调整为围闭多段线轮廓)：

图5、结构形心坐标轴示意

图6、结构面域信息旋转半径示意

则采用CAD命令region设置面域，然后命令massprop查看质心如图所示，坐标为(48198,-25862)，将此坐标移动至坐标原点(0,0)，然后同样输入命令massprop，此时可看到其旋转半径为绕x轴：2904mm，绕y轴：8121mm

则等效矩形宽度为B=3.5*8121=28423.5mm，

等效矩形长度为L=3.5*2904=10164mm

将此等效矩形绘出可得如下图所示：

图7、结构等效矩形示意图

若采用数学方法则计算过程如下，

图8、结构各几何参数示意图

可知，绕x轴的惯性矩与CAD图中查询出的一致，

又其面积为A=29400*8300+1600*950+5200*4250=267640000 mm^2，与CAD图中查询出的亦一致，故i=√(I/A)= √(2257647184373330/267640000)=2904 mm，与CAD查出一致，OK。

提示：以上寻找质心坐标亦可以通过CAD小插件实现。

三、零应力区占比简化计算方法

图9、结构受力分析示意图

图10、应力区所占基底面积比图1

1. 假定条件：

上部结构重心和下部结构的形心重合，结构底板属于刚性底板，底部反力分布为三角形分布，按照力的平衡条件,可知基底三角形反力的合力F=G，地基反力的作用点距离倾覆点距离为X/3；

2. 各参数含义：

G：总重力荷载代表值与多遇水平地震标准值共同作用下（地震作用下），或重力荷载标准值与水平荷载标准值共同作用下(风荷载作用下的组合值系数为0.7)，以上重力荷载包括上部结构及基础总重；

F: 基底三角形反力的合力;

B：基础地下室底面有效宽度；

MR：抗倾覆力矩标准值，MR=G*B/2（暂定G作用点与形心重合）;

Mov：倾覆力矩标准值，对于倒三角形荷载Mov=V0*(2H/3+C)，其中C为地下室埋深，H为倒三角形荷载作用高度，一般为建筑物地面以上高度，即房屋高度；

V0：总水平力标准值，分别采用风和地震参与的标准组合进行验算，对于地震组合，活荷载乘以重力荷载代表值系数；对于风荷载组合，活荷载组合系数取0.7；

3. 理论公式推导过程：

由假定条件可知：零应力区的范围为：B-X，零应力区的比例为（B-X）/B；

对倾覆点O取矩，得：

Mov+F*x/3=G*B/2

由于F=G，G*B/2=MR

则，Mov+G*x/3=MR

又G=2MR/B

则，3Mov+2MR/B *x=3MR

即，3B*Mov+2MR *x=3B*MR

移项得，3B*Mov-B*MR=2MR*(B-x)

即，B*(3*Mov-MR)=2MR*(B-x)

故， (B-x)/B=(3*Mov-MR)/(2*MR)

即，零应力区占比表达式为：

四、思考：

1. 思考1

若零应力区占比刚好等于0，则3Mov/MR-1=0，则，MR=3Mov，即当抗倾覆力矩为倾覆力矩的3倍时，此时刚好零应力区占比为0，若将MR=G*B/2代入，可得Mov=G*B/6；

《地规》5.2.2，当 时，由于W=L*B/2，A=L*B，另Fk+Gk=G，代入亦可得Mk=G*B/6,此时，偏心距e=Mk/N=(G*B/6)/G=B/6，亦即当e>B/6时，出现零应力区,此时根据《地规》5.2.1得，Pmax=2G/(3La)=(2G/A)/(3La/A)= (2G/A)/(3La/B/L)= (2G/A)/(3a/B)= (2G/A)/(X/B)。

2. 思考2

由于MR=G*B/2，则 ，又偏心距Mov/G=e，则 ，即零应力区 ，若零应力区≤0则3e-B/2≤0，即e≤B/6时不出现零应力区，此时与地基规范5.2.2条相吻合。

3. 思考3

倾覆力矩M0v除了要考虑地面以上的房屋高度外还需考虑地面至倾覆点间的埋深及其他荷载及作用产生的倾覆力矩；

4. 思考4

若考虑上部水平荷载分布为三角形分布，基础埋深C，则将零应力区占比公式展开可得：

整理得:

由此公式可以看出剪重比、高宽比、埋深及零应力区占比之间的关系；若取埋深为H/15，且令零应力区占比≤0，则，

则，

a).若，对于7度0.1g按《高规》剪重比V0/G≥0.016，则，高宽比应H/B≤14.2

b).若，对于7度0.15g按《高规》剪重比V0/G≥0.024，则，高宽比应H/B≤9.47

c).若，对于7度0.15g，且具有竖向不规则的薄弱层，则按《高规》剪重比1.25V0/G≥0.024*1.15=0.0276，则，高宽比应H/B≤8.23，与《高规》规定的7度区最大高宽比8.0基本吻合；

d).同理，对于8度0.2g，则按《高规》剪重比V0/G≥0.032，则，高宽比应H/B≤7.1，与《高规》规定的8度区最大高宽比7.0基本吻合；

e).同理，对于6度0.05g，则按《高规》剪重比V0/G≥0.008，则，高宽比应H/B≤28.4，而《高规》规定的6度区最大高宽比为8.0，由此可见6度区的高宽比富裕度很大，理论上可做很细高的建筑物，但考虑到经济性及合理性等其他因素，规范高宽比控制在了比较适宜经济的范围；

由上可知，对于6~7度区及8度0.2g的建筑，若高宽比满足《高规》表3.3.2的要求，则，理论上该建筑物是不会出现零应力区的。

《高规》12.1.7规定高层零应力区占比应不大于15%，即，

则，

对于8度0.3g，且具有竖向不规则的薄弱层，则按《高规》剪重比V0/G≥0.048*1.15=0.0552，则，高宽比应H/B≤5.35，而《高规》规定的8度区最大高宽比为7.0，则，可知，理论上，对于8度0.3g的高层建筑，若其高宽比满足规范要求，但大于5.0时，则，其零应力区占比＞15%，不满足《高规》12.1.7的要求，需采取如增大基底宽度等有效措施；

5.思考5

抗倾覆力矩MR的计算应该取实际重心位置到倾覆点间的距离，实际形心位置和重心位置往往是很难重合的，故计算MR不应该仅仅取B/2，应取至实际重心位置；

图11、应力区所占基底面积比图2

假定a为上部结构重心位置距离倾覆点O的距离，e为重心与形心的偏心距。倾覆点O取矩，得：Mov+F*X/3=G*a

由于F=G，G*a=MR

则，Mov+G*X/3=MR

又G=MR/a

则：

即：

移项得：

得：

又，a=B/2-e则，

故得：

与之前的公式

对比，可知，其精度体现在e/B上，即，修正后的公式为：

若已知结构总重力及偏心距e，求零应力区占比，则根据MR=G*a=G(B/2-e)，亦可得：

若已知零应力区占比及偏心距e，求倾覆应力比，根据X=B(1-k)，及a=B/2-e，则同样可得：

其中k为零应力区占比百分比；

举例说明：已知：

通过查询质心法可知e=0.025m，B=12.77m

则，

均与YJK软件计算结果一致或接近。

5.思考6

罕遇地震下如何计算。罕遇地震下可参考《甘肃省钢筋混凝土高程建筑结构高宽比超限抗震技术措施》第4.9.2条，

罕遇地震作用下的结构倾覆力矩，可分别采用多遇水平地震作用下倾覆力矩的2.0倍（8度0.30g）、2.2倍（8度0.20g）、2.5倍（7度）、2.8（6度）。

1.结语

以上讨论可知，结构倾覆力矩之比与建筑高宽比H/B、建筑基底有效宽度B、偏心距e、零应力区百分比k、结构质量、剪重比等有着千丝万缕的联系，这些指标对验算细高建筑具有很重要的指导意义，仍值得我们仔细研究，比如高宽比及倾覆力矩之比等指标与结构经济性的研究等，希望文中推倒出的公式可以方便指导结构工程师的日常工作与研究。

参考文献：

[1] 中华人民共和国住房和城乡建设部 . 高层建筑混凝土结构技术规程 :JGJ 3-2010[S].北京: 中国建筑工业出版社 ,2011.

[2] 朱炳寅编著.高层建筑混凝土结构技术规程应用与分析:JGJ3-2010 中国建筑工业出版社，2012.8

[3] 中华人民共和国住房和城乡建设部. 建筑抗震设计规范: GB 50011-2010

(2016年版). 北京: 中国建筑工业出版社,2010