走出困 ——浅议如何培养学生的运算能力

走出困 ——浅议 如何培养学生的运算能力

杨勇

怒江州兰坪县第一中学 671400

摘要： 纵观学生的各种考试，考生由于运算出错，而失利的情形屡见不鲜，这与在平时教学中不注重运算能力的培养或培养的方法不当有很大的关系.因此，在教学过程中应该加强运算算能力的培养，让学生学会主动寻求合理、简捷的运算途径，加强解题训练，提高运算的准确性和时效性.

关键词：运算能力 运算途径

《普通高中数学课程标准》核心素养中数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。数学运算是解决数学问题的基本手段。数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础。数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。

通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力；有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。

可见运算能力是中学数学中要求培养的重要能力.运算能力表现为：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.

学生在运算中只重视机械的运算，不重视对概念的理解；只会盲目地运算练习，而不懂得对知识结构、方法、技巧的归纳整理；过分依赖计算器的使用，忽视了基本运算能力的培养.下面笔者谈谈如何培养学生运算能力的一些粗浅做法.

1. 一题多变，培养运算的熟练性

运算的熟练性是对学生思维敏捷性的考查，主要表现在能迅速、合理地进行运算.

例1 已知直线 （ 为非零实数）与圆x²+y²=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )

A．60条　B．66条　C．72条　D．78条

错解 圆上的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点为整点)都是x²+y²=100的整数解，易知这些点分别是： (10，0)，（8，6），（6，8），（0，10），（-6，8），…（8，-6）共12个点.所以若直线与圆只有一个公共点,则这样的直线（即圆的切线）有12条；若直线与圆有两个公共点,则这样的直线（即圆的割线）有 =66条，以上共计12+66=78条.故选D项 .

剖析 由于粗心大意，没有注意到直线方程是截距式, 为非零实数，直线是不能过原点的,而过原点的直线有6条,也不能平行于坐标轴，而平行于坐标轴的直线有12条.

故共有78-6-12=60条.故选A项.

产生这一错误的原因在于学生死记法则，思想僵化,因而未注意条件，使结果不完整.为了使学生能熟练地运用公式、定理、法则进行运算，在教学中应注意以下几点：

（1）在概念教学中应注重理解，在公式与法则的教学中，不仅要求学生能根据法则、公式准确地进行运算，而且要注意适用条件,防止乱套公式,努力克服与减少学生思维中出现的表面性与绝对化的毛病.应注重把握“准”、“勤”二字法则.准，就是对定义理解要准确无误，概念的内涵与外延必须弄清楚.勤，就是要勤于练习，让学生把公式表、重要结论写在纸上，放在手边，以备随时查阅、记忆.

(2)变换例题的条件、结论或形式，使一个例题起到几个例题的作用，这对培养学生的熟练运算能力具有明显的效果.如求函数 的最小值.这个题可以变换成: 求函数 在 ∈［0,2］上的最大、最小值.从而让学生总结出它的一般规律，然后再让学生练习 的最大、最小值.

2. 一题多思，培养运算的准确性

运算的准确性是对运算能力的基本要求，要求学生根据算理和题目的运算要求，有根有据地一步一步地实施运算，影响运算准确的因素是多方面的，只要在运算的全过程的某一环节出现问题，就会导致整个运算的错误.

例2 在椭圆 上有一动点P，F₁，F₂是椭圆的左、右焦点，且

△F₁PF₂为直角三角形，则这样的点P有（ ）

A．2个　B．4个　C．6个　D．8个

错解 ∵∠F₁PF₂=90°， ＜ ,∴以F₁F₂为直径的圆与椭圆相交于4个点.所以这样的点有四个，故选B项。

剖析 学生解题时只考虑到∠F₁PF₂=90°，其实在△F₁PF₂中可以是

∠PF₁F₂=90°，也可以是∠P F₂F₁=90°.

当∠F₁PF₂=90°时,

∵ ＜5,

∴以F₁F₂为直径的圆与椭圆相交于4个点；

当∠PF₁F₂=90°时,即P F₁⊥ 轴时, 这样的点有2个；

当∠P F₂F₁=90°时,即P F₂⊥ 轴时, 这样的点有2个.

故这样的P点有8个.故选Ｄ项.

出现错误的原因在于：思维定势起了负迁移的作用.采取以下措施：

（1）在全班进行自由讨论,让学生充分发表自己的意见,让学生相互指出错误.若只考虑∠F

₁PF₂=90°,对吗？

（2）教师在原来的基础上再举出一些类似的有一定层次的问题让学生讨论.若△F₁PF₂为锐角三角形呢？钝角三角形呢？

（3）对已经出现过的问题，引导学生从知识结构上去整理、归类，对什么问题采用什么样的方法有一个规律性的认识，这样就能大大提高运算的准确性.

3. 一题多解，培养运算的灵活性

运算的灵活性是指思维活动的灵活程度，它表现为对知识的运用自如，流畅变通，善于自我调节.

例3 设椭圆的两个焦点分别为F₁，F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． 　D．

解法一 设椭圆方程为 （a＞b＞0）.

如 图 (1),因为点P是过焦点F₂作的 轴垂线与椭圆的交点,所以 .将点P的坐标代入椭圆方程,可得 .

又 = ，则 = = ,化为 图（1）

+ ,解得

= －1或 =－ －1（舍去）.

解法二 在等腰直角三角形PF₁F₂中，有

= = ， = , ＋ = ，

即 ＋ = ，

所以 = .

解法三 设 ，则 = = ， = .由椭圆第一定义,得 ，解得 .于是

= .

符合题目已知条件的椭圆不是唯一的,是不确定的,但这些椭圆的离心率却是确定的.于是我们采用了解法三,确定一个特定的椭圆,求出它的离心率即可.这种方法当然要比前两种方法简洁得多.为了训练学生在运算上的灵活性,除了引导学生熟练掌握概念定义及其内涵与外延外,还必须教会学生不但能“正用”公式、法则，而且能“逆用”或“变用”；同时通过对例题的多种解法，引导学生进行类比联想、对比联想等，并从中归纳出最简便的解法，逐渐就能取得明显的效果.

4. 一题多问，培养运算的合理性

运算的合理性是运算能力的核心，运算的合理性表现在运算要符合算理，运算过程中的每一步变形都要有所依据，或依据概念，或依据公式，或依据法则.

例4 当0°＜ ＜90°时，函数 的最小值为（ ）

A．2　B． 　C．4　D．

一问：如何求最小值？用导数的方法，函数的方法还是均值定理的方法？

经过简单的分析与判断,便可以进行决策,于是确定变形方向.

二问：三角函数二倍角公式？

， =

先化简：

=

三问：均值定理？设 ＞0， ＞0，则 ≥ ，当且仅当 时“ ”成立.

由0°＜ ＜90°知 ＞0，所以

≥ ，

当且仅当 ，即 时 有最小值为4，故选C项.

运算的合理性不仅体现在合理选择运算公式上,更重要的是体现在合理选择运算的途径，合理确定运算的方向上.运算的目标,变形的方向,运算的途径,它们之间是密切相关的. 为了训练学生在运算上的合理性,向学生提问：运算的目标是什么？用到哪些公式、定理、法则？变形的方向是什么？最终产生判断，确定运算途径.这一系列的提问，将学生引向合理的运算途径.

数学题有深浅之分，运算有难易之别，良好的品质是每个学生必不可少的，培养学生的运算能力是一个长期而持久的过程，教师要有耐心.

总之,要提高学生的运算能力,尤其是高中学生的运算能力,除了讲清基本概念、定理定义、法则以外，有目的、有步骤、有计划、有层次地进行各种思维训练，培养学生的自觉性、坚韧性，培养学生对复杂式子耐心、细心运算的良好心理品质，并进行适量的训练,坚持不懈地克服困难，在运算中满怀信心地迎接困难、战胜困难,相信学生能走出运算的困境.

参考文献

《2007年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（理科）》 高等教育出版社，2007年

《普通高中数学课程标准》（2017年）

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