导数在生活的应用

导数在生活的应用

吕忠良

河北省邯郸市馆陶县佳合国际学校 057750

摘要:导数是高等数学中的主要教学内容之一，是近代数理知识的基石，是连接初等数学与高等数学的重要纽带，它的使用十分普遍。又因为其使用的普遍性，给处理有关承变数问题提出了更一般性的办法，因此导数也是研究函数的切线、单调性、极值和最值等问题的有力工具;此外利用它还能够简便地处理某些实际问题。因此本文在现有研究的基础上，探讨了导数在函数特性中的应用，并通过理论联系实际，系统研究了导数在各方面的实际应用，进一步拓宽了现有论文的研究成果。

关键词:导数；极值；应用

前言：

掌握对“终身发展必备的基础知识和技能，了解这些知识与技能在生活、生产中的应用，关注科学技术的现状及发展趋势”是高中数学新课程所规定的教学总目标之一。为此高中数学逐渐强化了对数学运用的考察，试题背景也更加贴近社会生活。在高中数学中引入了导数概念，这显示了对简单化的要求，也拓展了高中数学的思考途径。而以函数为背景的实际题目也大量出现，为高考数学教学带来了很大的发展空间。导数也是探究函数特性和处理现实问题中的最大、最小值的强有力的工具，它也是数学在中考命题的一种新热点。

1.导数与函数的极值，最值

求函数的最值问题，一直都是我国高中阶段数学知识的基础问题，是当前高中生复习的重点，也是我国历年高考考查的要点。在中学阶段还未全面了解过导数内容以前，教育者们就总结出了不少求函数最值问题的方法，其中也不乏使用了许多精巧的办法，但对于学习者们来说办法虽然很多，但却常常很难掌握。当学习了导数的基本知识以后，再将导数方法所应用于单纯的函数的最值问题上，在处理其最值问题上也就显得比较简单了，综合起来在几步之内就能够解出简单的函数最值问题，同时也比较容易学会^[1]。

因为解二次函数的最值方面问题，是当前高中数学中较为典型的一项基本重要知识点，因此运用导数理论在求解二次函数的最值方面问题为例，展开和分析了运用导数理论在求函数最值问题方面的具体运用情形。在历年的高考题日中，对于二次函数的最值方面问题的考查重点，一般为求二次函数在某个范围内的标准差或最小值。此类问题中通常都有函数问题，是高考中的热点话题。所以通过使用数形的结合式方法对这些问题加以处理，无疑地是一种较好的处理方法。不过方法上还是较为繁琐。若直接采用导数的方法来解决，将更为简单。而同时利用导数法，还可以来判断函数在一定区域内的单调性以及函数的极值。所以，利用导数法来求函数最值问题的关键，便是确定了所求二次函数的极值问题与区域的相对位置关系^[2]。

2.利用导数解决实际问题的方法与步骤

2.1第一步，审题。通过仔细审题了解问题背景，进而抽象出问题的实质。然后引入相应的数学模型工具，将实际问题转化为数学问题，之后再进行具体的解题流程。如果涉及到建立目标函数时，必须注意要事先定义好目标函数的变化范围，在实际问题中有时也会出现目标函数所在区域里有且只有一个点使f’(x)=0的情况，若在这个点有极大(小)值，那么不需要与端点值比较也可以知道这就是最大(小)点数，这种情况不仅适用于有限区间，还适用于开区间和无穷区间。

2.2求最大(小)值应用题的一般方法

首先研究在一些实际问题中量之间的关联关系，将实际问题变成数学问题并形成函数关系式，这也是很重要的。然后，先确定了函数的定义域，继而又确定了极值点。最后，在比较了各个极值点的定义域内端点函数的变化之后结合实际，就确定了最值或最值点^[3]。

3.导数在不等式中的应用

求证方程成立和不等式有解的问题，是高中数学中通过验证方法将函式关系和不等式的基本知识有机融合的知识点，在近年的高考试题中均有出现。特别是对于具有指数性和自然指数函数特征的不等式，在求证其恒成立或有解问题时用最常规的解题方法往往无从下手，同时又往往无法发现突破口。而当对这些问题直接使用导数知识来处理时，问题则显得简单许多了。所以通过求证方程恒成立和不等式有解的问题，不仅能够考察证明函数不等式等知识的基本内涵与方法，同时还可以考查学习者如何灵活运用导数知识的基本能力。

3.1利用导数解决不等式恒成立问题

证明不等式恒成立问题解决的关键，是把不等式恒成立问题转化为函数的求最值问题。其方法是将变量分解后，将不等式的性质变换为由mf(x))恒成立求出m小于f(x)的最大值(或m大于f(x)的最大值)。所以，运用导数知识求函数的最值形式是使不等式恒成立问题解决的最主要方法^[4]。

4.通过导数解决数列问题

数学数列问题也是高考的必考部分，并在其中占据了很大比例。在对数列问题进行处理之时，我们还可以把数列问题看作一个特殊函数，其特点主要表现在自变量都为正整数，这样我们就能够在函数和数列问题之间相互关联的基础上，利用导数对数列问题进行快速解决。

5.通过导数解决实际问题

5.1通过对导数的运算，不但能够对函数问题、不等式和数列等基础难题进行高效处理，而且还能够对实际难题进行有效处理。就中学生而言，学习数学的最重要目的就是通过运用数学知识，对许多现实生活当中的复杂难题加以合理解决，于是老师们在教学过程中，就必须对其的求解能力、解题技巧以及求解方式等方面加以训练，如此一来，不但能够提升了孩子的数学成绩，同时还培养了学生的数学教育运用水平^[5]。

5.2在实际应用问题中，当针对一些求解有关最优化的现实应用问题时，如利润最大费用最省、行程最短、用时间最小、效能最大等实际问题时，常常要求利用函数的导数这一工具，从数学视角上逐步解决现实问题，通过合理的建模，合理解决实际问题，以提高数学创新能力，训练学生数学的核心素质。优化问题作为在现实生活中利用导数来处理的重要数学问题，在解决这一类问题中第一步要作的便是先搞清楚问题实例所提供的具体要求，再按照题意条件构建适当的导数模型，并利用相应公式给出具体函数的表示。进而利用导数知识去求解问题、分析数学计算的结果，并使之最终返回现实生活^[6]。

5.2.1解决优化问题的方法

首先对实际问题加以分析，并发现了不同变量间的相互关联，从而形成了相对应的函数关系式。把实际问题转变为可以用数表示的数学问题。接着再通过实际情况，选取不同自变量的定义域，这样也就给出了对函数在闭区域上求最值问题的情景。然后根据题干确定不同自变量的取值范围，这样就转化为对某一函数在特定区间范围内求最值问题的情景。下一步是对函数进行求导，确定驻点和不可导点，比较该函数在各处相对应的函数值，求得函数的最大值或极小值，最后从数学问题返回到最初的实际应用，根据导数运算的结果找到解决问题的最优策略。

6.结语：

总而言之，导数作为高等教育的必修课程，既是一种基础性的数学知识，又是一种有效的解题思路和运算手段，为学生解决数学难题提供了科学依据，具有一定的专业价值，有利于学生进行更深层次的数学知识学习。从教学的角度来说，教师在指导学生学习导数的过程中，要更多地从函数问题、不等式问题、数列问题入手，并注重其在实际问题中的应用，并以此培养运用导数的思维能力，并由此提升他们完成数学题的效率，为今后高级数学知识的掌握提前做好准备。

【参考文献】

[1]于苗苗. 导数在实际生活中的应用问题[J]. 高中数理化, 2022(3):2.

[2]张倩瑶, 黄星. 导数在实际生活中的应用举例[J]. 黑龙江科学, 2021, 12(21):2.

[3]张中杰. 导数在高中数学中的应用探讨[J]. 中国校外教育, 2020(29):2.

[4]阳本树. 例谈导数在高考中的应用[J]. 云南教育：中学教师, 2020(5):3.

[5]孙玘玥. 导数在高中数学函数中的应用[J]. 速读（中旬）, 2019, 000(002):129.

[6]谭军港. 导数在高中数学解题中的应用探析[J]. 数理化学习, 2019, 000(008):P.5-6.