可视化可操作教学，构建生本课堂——“指数函数的图像与性质”的教学设计、实践与反思

殷祖维

湘潭市第一中学

1 教学内容和内容解析

1. 1. 教学内容

<1>指数函数的图像

<2>指数函数的性质

1.2 内容解析

指数函数作为基本初等函数之一，是函数内容的重要组成部分；也是对数函数、等比数列、概率统计、导数等知识的基础；同时在实际问题找那个，作为重要的函数模型还有广泛的应用。

指数函数在教材中的位置，上连幂函数，下接对数函数，由于三者之间密切的联系，且通过前面对幂函数的学习，也为引入指数函数定义后，继续研究指数函数的图像和性质指出了方向，类比思想引领并贯穿着本堂课的学习。另外需要注意的是，对于指数函数的研究不能完全照搬幂函数，它还要求学生具有从特殊到一般的抽象思维，基于此，指数函数的学习还有其本身的特殊性，并且这种从具体到抽象的经验积累，能指导学生研究一类函数的方法，落实数学抽象、逻辑推理、直观想象、数据分析等数学学科核心素养。

根据上述分析，本堂课的教学重点：（1）指数函数的图像；（2）指数函数的值域、定点、单调性等及简单应用

2 目标和目标解析

2.1 目标

<1>利用工具画出具体函数图象，发展直观想象核心素养

<2>结合指数函数的图像和性质的研究进一步体会研究具体函数的一般思路与方法，发展数学抽象、直观想象核心素养

<3>由图象得出性质，加以代数证明，并学会简单应用，发展逻辑推理（合情推理、演绎推理）、数学运算等核心素养

2.2 目标解析

达成上述目标的标志是：

<1>能独立、准确、规范地完成某些具体指数函数列表、描点、连线的作图方法；

<2>结合指数函数的图形与性质的研究，体会“图象——性质”的研究一类具体函数的一般思路，再抽象为指数函数的图象与性质，发展数学抽象、直观想象核心素养；

<3>通过观察图象——归纳性质——代数证明——简单应用，在过程中发展逻辑推理（合情推理、演绎推理）、数学运算等核心素养。

3. 教学问题诊断分析

尽管在已有学习幂函数的经验基础上，可以类比研究指数函数，但由于对于指数函数的图象与性质的研究需要从特殊到一般的抽象过程，学生经历了这一过程，丰富了数学抽象经验，才能掌握研究其他函数的一般方法，因此幂函数的学习经验不能完全指导学习指数函数，授课时教师可引导学生利用信息技术进行探索，归纳与总结。

综上：本节课的难点在于指数函数的图象与性质的抽象概括。

3. 教学支持条件分析

教学中，利用信息技术的geogebra，集列表、作图于一体，从数和形的不同角度展示指数函数，帮助学生克服学习中可能发生的具体问题，如列表计算观察函数值规律，动态展示具体指示函数的绘制过程，根据底数a的变化动态展示函数图象的变化，进而抽象出函数性质等。

3. 教学过程设计

5.1 回顾类比，引出新课

引导语：上一节课，我们学习了指数函数的定义，根据我们已有的学习经验，下一步还可以研究哪些内容？

设计意图：了解学生是否意识到研究函数的一般方法，进而开宗明义，点明今天的课程内容——指数函数的图象和性质。

师：根据本节课的研究内容，请大家分组讨论，整理出研究的具体方法。

学生根据幂函数的研究经验，分析讨论得到，先从具体的几个指数函数入手，采用列表、描点、连线画出函数图象，再研究性质。

引导学生根据底数a的取值范围，既取a为整数的情况，也要去a为分数的情况，并将多个函数图像画在同一坐标系中，用以对比归纳性质。

设计意图：通过分组讨论，使学生清楚本节课的研究路径，并逐渐渗透研究一类函数的一般方法。

5.2 动手作图，得出图象

师：请大家采用列表、描点、连线的方法画出 的函数图像。

引导学生注意自变量的取值正负兼顾，选一位同学在电子白板上用geogebra进行列表（图1a）描点及连线（图1b）。

图1a

图1b

Geogebra展示自变量继续取其他值时，函数值的变化（图2a），并动态生成 的函数图像（图2b），并请两位同学点评刚才所作图象的优点和不足。

图2a

图2b

设计意图：通过列表回顾指数幂计算，学生动手自己画图，再通过软件动态演示，再邀请学生做点评，一系列的活动，旨在提醒学生关注细节，锻炼作图能力，使数学学习“动起来”，提升直观想象的核心素养。

师：请大家再在同一个坐标系中作出 的函数图象。

通过重复上述环节，学生所作 的图象有了明显进步（图3）。

图3

设计意图：重复作图训练，进一步巩固作图能力，并通过软件动态演示，持续提升直观想象的核心素养。

师：观察 和 ，你发现了什么特点，如何证明？

学生通过观察图象，容易发现两个函数图象关于y轴对称，但难以从代数上证明，先引导学生从表格中的具体数值入手，再用数学论证

和 的图象关于y轴对称。认识到根据这种对称性，可以利用 的图象，画出 的图象。并推广得到一般结论： （ ）和 （ ）的图象关于y轴对称。

设计意图：由观察图象得出特殊结论，再论证及推广到一般结论的过程中，发展了学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象、直观想象等核心素养。

师：请大家继续画出 的图象

学生们根据前面的学习经验，先画出 的函数图象，再根据对称性画出 的图象（图4）。

设计意图：及时检验所学新知，根据学生的反馈调整课堂节奏。

图4

5.3 观察归纳，得出性质

师：现在有了4个具体指数函数的图象，请问能否通过图象归纳出指数函数的图象和性质，如果可以，请大家分组完成。

学生根据图象能整理出定义域、值域、定点等性质，也能发现单调性应分为01两种情况分类讨论，小组展示过程中逐步引导学生进行值域、定点的代数证明，并利用Geogebra动态演示底数a在区间 内从小到大变化时，图象的变化（图5），从而验证学生的直觉。最后经各小组的补充完善，完成对指数函数的图像和性质的归纳（表1）。

图5

表1

设计意图：通过观察图象总结性质，并结合Geogebra动态演示，以推理紧跟直觉，促进学生直观想象、逻辑推理等核心素养的培养。

师：除上述性质外，大家还有没有其他发现？

学生通过观察思考，发现底数a的大小对图象有影响，教师结合Geogebra动态演示底数从小到大，图象的变化，互动过程中归纳出在第一象限，随着自变量x的增大，底数越大，图象越远离x轴，从而得到“底大图高”的性质。

师：能够证明“底大图高”的性质

学生在探索的过程中，教师引导“图像上的高低关系反映到代数如何表示”，学生很快想到即同一自变量取值时，函数值的大小关系，进一步引导到取x=1时，函数值即为底数a所对应的值，从而得证。

设计意图：继续观察图象——猜想性质——代数证明这一过程，使学生学会从图象和代数两个角度去认识指数函数性质，并结合软件直观展示，使学生进一步感受从特殊到一般的过程，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养。

5.4 应用性质，巩固理解

例1（改编教材117页例3）比较下列各题中两个值的大小

<1>

<2>

<3>

<4>

学生普遍可以独立解出第1小题，但一部分学生是凭直觉，另一部分学生运用了指数函数的单调性，但生搬硬套了 （ ）的单调性，而不能明确指出具体函数，互动中，教师在黑板上演示答题步骤，在强调规范化书写的同时，渗透从一般到特殊的数学思想，发展逻辑推理（演绎推理）的核心素养。

经过第1小题的充分研究，学生可以独立完成第2小题。

第3小题学生经过思考后能利用“底大图高”的性质得出大小关系，教师进一步总结将数值的大小转化成图像的高低关系，体现数形结合的思想。此外，继续引导学生尝试其他解法，从比较第3小题与前2小题不同出发，联系前面学习的幂函数，也可采用幂函数 解题。

第4小题学生普遍遇到困难，直接套用前面的经验无法解出，互动中，引导学生仍然从比较不同出发，尝试将未知问题转化为已知问题，从而得出可以利用指数函数比大小（ ），再次鼓励学生深入探索，进一步得出通过幂函数比大小（ ），以及指数函数幂函数结合比大小（ ），一题三解，在前3题已习得的经验基础上，进一步融合挖掘，在学生感叹数学之精妙的同时，渗透将未知转化成已知，从不同视角看待同一问题等思想。

设计意图：作为本堂课核心内容指数函数的图像和性质的应用，并结合前面所学幂函数的知识，旨在通过例题解答过程的研究，充分发展学生数学运算、逻辑推理（演绎推理）、直观想象等核心素养。

5.5 总结提升，学有所悟

教师：本节课你学到了哪些知识？经历了哪些数学活动？最大的收获是什么？用到了哪些数学思想方法？有哪些感悟？

学生自行总结，相互补充，积极发表了自己的想法（略）。

3. 教学反思

《普通高中数学课程标准解读（2017年版2020年修订）》中提出：高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展。注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性。另一方面，素养是依赖于主体而存在的，无法像学科知识可以独立的传承，所以人的素养可以培养、发展、提升，但不可以间接的传授。因此，课堂教学过程中，需要学生主动参与数学知识的发生、发展和形成，让学生在体会数学思想、经历数学活动、丰富数学经验的过程中发展数学学科核心素养。

史宁中教授指出：“数学的结论常常是‘看’出来的，不是‘证’出来的，这种‘看’依赖的计算数学直观”，“直观不是‘教’出来的，而是学生自己‘悟’出来的，这就需要经验积累”。教学中笔者借助数学可视化软件Geogebra，动态展示图象生成过程，并在学生根据具体函数图象猜想一般性质后，多次用软件Geogebra动态演示，将抽象过程具象化，让数学“活”起来，同时注重让学生自己动手操作软件，分组合作讨论，用不同的数学活动积累数学经验，少教多学，让学生自己理清研究路径与过程并推广形成一般方法，达到为学而教，不教之教的教学目的。从实际教学实践来看，学生热情很高，操作软件、分组探究的意愿强烈，积极主动参与课堂，完成了预设教学目标，发展了学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学学科核心素养。