人教A必修五在高考中的解答题的题型与求解策略

人教 A必修五在高考中的解答题的题型与求解策略

张培强

陕西省 洋县中学 723300

高考数学解答题是数学试卷中的重要题型和重要得分点，其涵盖了中学数学的主要内容，占整个试卷分数的半壁江山，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点.本文结合必修5的知识点在高考解答题中的分布和体现，来分析探究具体的题型与相应求解策略.

一、解三角形

解三角形部分主要涉及的是三角形中有关边角的问题，求解的策略一般要结合正余弦定理和三角形的边角知识进行综合处理，在选择题和解答题中都有考查.

例1．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.已知c＝2，C＝3.

(1)若△ABC的面积等于，求a，b；

(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．

解析：(1)∵S＝2absin C＝2ab·2＝，

∴ab＝4.①

∵c²＝a²＋b²－2abcos C＝(a＋b)²－2ab－2abcos C.

＝(a＋b)²－12＝4.

∴a＋b＝4.②

由①②可得a＝2，b＝2.

(2)∵sin B＝2sin A，∴b＝2a.

又∵c²＝a²＋b²－2abcos C

＝(a＋b)²－3ab＝4.

∴a＝3，b＝3.

∴S＝2absin C＝3.

点评：解答本题主要应用正弦、余弦定理及三角形面积公式，重点是通过边角互化，建立方程组求解.

例2如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．

解析：　在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.

由正弦定理，得＝，

sin∠ABC＝＝＝.

∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，

于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝.

同理，在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝，

∠ADB＝45°，由正弦定理：＝，

解得BD＝.故BD的长为.

点评：要利用正、余弦定理解决问题，重点是将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．

例3.已知函数_{[来源:学科网]}

（Ⅰ）将f(x)写成 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；

（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.

由 =0即

即对称中心的横坐标为

（Ⅱ）由已知b²=ac

即 的值域为 .

综上所述， ， 值域为 .

点评：知识交汇命题是新高考的闪光点，解三角函数常与三角变换结合，本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力和综合思维能力，以及对知识进行整合的能力.

二、数列

数列的考查，重点是数列的通项公式、数列的求和及其应用、 与 的关系，且这类题目多与函数、不等式、解析几何等学科交叉命题，因此题目难度大、综合性强，需要运用各种数学思想和方法.另外要提醒的是：一是探索性问题在数列中考查较多；二是数列应用问题可能会在高考题目中出现.

例4.数列 的前 项和记为 ．

（1）求 的通项公式；

（2）等差数列 的各项为正，其前 项和为 ，且 ，又 成等比数列，求 ．

解：（1）由 可得 ，

两式相减得 ．

又 ，∴ ．∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列．∴ ．

（2）设 的公差为 ，由 得，可得 ，∴ ．

故可设 ．又 ，

由题意可得 ，解得 ．

∵等差数列 的各项为正，∴ ．

∴ ．

点评：求数列通项公式及求和是命题常考的能力目标，变形化归是求解的根本策略.

例5、已知数列 满足 ，且当 时，有

（1）求证：数列 为等差数列；

（2）试问 是否是数列 中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由。

解析：（1）当 时，由 ，得 ，两边同除以

，得 ，即 对 时成立，所以 是以 为首项，以d＝4为公差的等差数列。

（2）由（1）得 ，所以 ，

所以 ，假设 是数列 中的第t项，则 ，

解得 ，所以 是数列 中的第11项.

点评：要证明一个数列是等差数列，常用方法是定义法，即 （d是常数） 是等差数列。对于本题这种探索性题型，一般先假设其成立，然后按常规求解，如果得出结果符合条件，则结论成立，否则结论不成立.

例6.随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场关注.已知2011年1月Q型车销量为a量，通过分析预测，若以2011年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的销售总量 大致满足关系式：

（1）表示出前n个月的总的销售量；（2）

解析：（1）Q型车每月的销售量 是首项为 公比为 的等比数列，所以前 个月的销售总量： 且

（2）因为

又 所以

（3）记Q、R两款车第n个月的月销售量分别为 则

当 时，

（或 显然

当 时，若 ，即 即 即

所以 即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%.

点评：诸如增长率、存款复利、分期付款等与年(月)份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决．在解应用题时，是否是数列问题主要看自变量是否与正整数有关，还要判断是等差还是等比数列，再用相应公式求解．

三、不等式

不等式的命题在解答题中，常与函数、导数，数列等知识结伴而行，是解答题中不可缺少的知识点.恒成立时的参数范围问题与传统不等式的证明是命题的主旋律.解决该类问题，应综合运用二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系；基本初等函数的图像和性质；原函数与反函数、原函数与导函数的关系；不等式的基本性质、均值不等式的使用、八类不等式的解法（一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式、高次不等式、无理不等式、指对数不等式、三角不等式）等基本知识，要能够熟练运用，再具备函数与方程的思想、分类讨论思想（含参数不等式）、转化与化归思想、数形结合思想，掌握引进变量、运用函数、导函数分析问题的能力及巧.

例7.定义在 上的减函数 对于满足不等式 的一切 成立，求实数a的取值范围.

解析：因为 是定义在 上的减函数，所以 可等价转化为 恒成立.

由 得

由 得

因此，要使 恒成立，

只要 ，即可

从而转化求 的最大值， 的最小值.

因为 所以 故有

所以 只需满足 解得

所以 的取值范围是

点评：在处理f(x)>c的恒成立问题时，如果函数f(x)含有参数，一般有两种处理方法：一是参数分离，将含参数函数转化为不含参数的函数，再求出最值即可；二是如果不能参数分离，可以用分类讨论处理函数f(x)的最值．

例8．已知 满足不等式组 ，求使 取最大值的整数 ．

解析：不等式组的解集为三直线 ： ， ： ， ： 所围成的三角形内部（不含边界），设 与 ， 与 ， 与 交点分别为 ，则 坐标分别为 ， ， ，

作一组平行线 ： 平行于 ： ，

当 往 右上方移动时， 随之增大，

∴当 过 点时 最大为 ，但不是整数解，

又由 知 可取 ，

当 时，代入原不等式组得 ， ∴ ；

当 时，得 或 ， ∴ 或 ；

当 时， ， ∴ ，

故 的最大整数解为 或 ．

点评：先按“平移法找解”求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．

总之，考生在面对解答题时，应综合调动自身具备的各种能力，选择运用正确的解题方法．基本策略有：（1）语言转换策略.（2）数形结合策略.（3）进退并举策略.（4）辨证思维策略.（5）联想迁移策略.（6）分类讨论策略.