快速大数平方根函数在先进制程控制上的应用研究

李军

上海鼎泰匠芯科技有限公司 200120 

摘要：随着过程工业日益走向大规模、复杂化，对生产过程的控制品质要求越来越高，出现了许多过程、结构、环境和控制均十分复杂的生产系统，出现了先进过程控制APC（亦称高等过程控制）的概念。习惯上将那些不同于常规单回路PID控制，并具有比常规PID控制更好控制效果的控制策略统称为先进过程控制，如自适应控制、预测控制、专家控制、模糊控制、神经网络控制、推理控制等都属于先进控制。APC通常需要计算机化的、近乎实时的过程控制。这些基本控制系统通常手动操作，以根据温度、压力或传入反馈等不断变化的条件调整所需的目标值（称为“设定点”）。然而，细致入微的高级过程控制（APC）系统通常通过自动化响应来显着提高性能——类似于汽车上的巡航控制如何调节速度并最大限度地提高燃油效率。基于先进制程控制上的需求，本文研究了大整数和浮点数的快速平方根函数。结果表明该算法使用各种新的和现有的想法来计算平方根，比其他算法具有更高的效率和更好的性能。

关键词：先进制程控制；快速大数平方根函数；PID 算法

引言

随着12寸晶圆在全世界的发展，半导体生产规模不断地扩大，制造工艺不断复杂、芯片的集成度也越来越高，如何提高产品的良率（Yield）变成一个相当重要的问题。

常见的方法包括统计过程控制（SPC），神经网络的使用（尤其是在高维问题中）以及先进过程控制（APC）。APC的基本目标是双重的：获得更接近过程的过程控制措施，并使控制动作自动化。要使 APC 能够更高效地运行，需要将常规调谐和解决传感器、设备和控制回路问题的全面方法相结合。随着计算能力（和计算成本的降低）的最新进展，可以使用机器学习模型对APC进行调优，而高级分析可以从大量历史数据中产生响应式见解，从而提高调优过程的速度并减少人为偏见或干预。

大数快速平方根在先进过程控制的位置控制方法，定位过程的控制分三个阶段，第一阶段：当位置误差大于减速点时，APC控制器控制传动系统按最大速度运行；第二阶段：当位置误差大于死区并且小于减速点时，APC控制器控制传动系统按平方根曲线进行减速；第三阶段：当位置误差小于死区，APC控制器控制传动系统完成抱闸动作，使被控对象停止在定位误差允许的范围内，所述APC控制器上并列比例积分控制器，所述比例积分控制器在第二阶段和第三阶段进行补充控制。在上述处理中采用大整数和浮点数的快速平方根函数。

解决制程过程中各项参数和性能指标漂移的问题，及时纠正误差。它的实施有助于提高生产率、降低能耗、改善产品质量和连续性，以及改善制程的安全性等，使得制程设备能够实现更加严格的工艺窗口，满足未来先进制程结点或以下制程技术的要求。

1 多变量控制中算法的介绍

在工业一样，先进过程控制（APC）主要是指多变量控制。多变量控制意味着一致调整多个单回路控制器，以满足一组附加相关过程变量的约束控制和优化目标。

多变量控制是几乎所有工业过程操作的核心方面。从历史上看，调整单回路控制器设定点和输出以控制约束和优化变量（即“受控变量”）的超集。他们根据经验、过程知识、持续的操作条件以及来自更大运营团队（包括监督、过程工程师和生产计划）的投入来做到这一点。APC努力实现这项任务的自动化，以便在容量、效率、质量等方面获得增量收益。图1描述了手动和自动多变量控制之间的本质区别。

图1 手动与自动多变量控制

工业自动化的多变量控制可以捕获增量收益，通过手动多变量控制，现场人员倾向于使过程远离约束，并且移动频率降低，通常会在容量，产量，能量或质量方面产生相关的损失。在工业自动化中一样，先进过程控制的平方根通常是隐式编写的，显式公式仅在对称情况下可用。统计学中经常需要计算它，即使是不对称矩阵；例如，在分析多元ARCH模型时；

vech（∑_t）=δ+Γvech（y_t−1y^’_t−1)

式中，∑_t表示条件方差，E（y_t | y_t−1） =0，平方Γ不必是对称的。

因此，对平方根函数有一个通用的显式公式是很有意义的。计划如下：首先，将平方根视为R_0,+ → R_0,+上定义的单值函数，非负实数。这是函数最常见的用法（“主体”）（复数分析语言中的“值”），将其直接推广到半正定矩阵。然后，在(1)—(4)，中给出了对一般平方矩阵的相应扩展，后者是第一次显式地得到。其次是矩阵的平方根函数存在的条件。使用Abadir和Magnus（2005）中提出的符号约定。

目前最常用的自动化多变量控制技术需要更高效的算法。该算法使用各种新的和现有的想法来计算平方根，比其他算法具有更高的效率和更好的性能。

该算法由一个核心整数平方根函数和一个超大浮点数的类组成。

整数版本 ——此函数向下舍入到最接近的整数（floor）。

超大浮点数——整数版本的类型，可添加浮点和可选精度。

整数平方根函数已经过各种测试类型和基准测试的测试。

2 算法详细代码

本算法的详细代码如下：

3 算法的开发与优化

3.1 平方根优化

从对角矩阵开始

A= ≡diag(4, 9)

有四个矩阵满足方程式D2=λ，即

D1 := diag(−2,−3) ；D2 := diag(−2, 3) ；D3 := diag(2, −3) ；D4 := diag(2, 3)

但只有D4是λ的平方根，与一维方程相容，前面给出的定义。因此，矩阵函数λ^1/2是唯一的定义。

接下来考虑一个对称（因此是实）矩阵A.。这个矩阵可以是对角化使A=SΛS’，其中S是正交的，Λ是对角的。按照对称矩阵函数的通常定义,矩阵，定义A^1/2:=SΛ^1/2S’，这里是A^1/2的定义与之前完全相同。

因为Λ有非负对角元素。因此，对于任何半正定矩阵A，都存在一个唯一的半正定矩阵B，如B²=A；这个唯一的矩阵叫做A的平方根正定（因此非奇异），然后符号A^-1/2表示A^-1的平方根–它们是一样的。

3.2 算法测试

对于这个算法，已经进行了广泛的测试，为了保证这一点，它将具有大约10%的性能成本。

测试包括：

验证 1：过去数字测试中的常见问题；

验证 2：暴力破解测试（零及以上）[运行速度高达 3.4e11 或 237]；

验证 3：2n + [-5 至 +5] 测试；

验证 4：n[2 至 7] + [-2 至 2] 测试；

验证 5：n2 –[0，1] 测试 – 与验证 4 重叠，但测试较大的数字；

验证6：随机数测试。

用传统的方式计算运行，服务器是转不动的，以先进过程控制为例，有几万笔数据进入系统分析，当我们需要把数据知识图谱化，让APC去分析的时候，APC可以24小时进行分析但是我们传统的算法转不动，一定要在更优化的算法才可以带动计算，所以算法非常重要。随着智能制造以及工业4.0的发展，APC技术将与工业大数据技术以及边缘计算等技术融合发展，通常采用预测控制、推断控制、统计过程控制、模糊控制、神经网络控制、非线性控制、鲁棒控制以及软测量等技术，以工艺控制方案分析和数学模型计算为核心，实现过程优化控制和工艺卡边操作，提高自动化水平，提升经济效益，推动制造业的发展。

4 总结：

显然，这些方法的正确应用在很大程度上取决于整个晶圆厂的数据可用性。多变量控制应用有各种尺寸，从少数变量到几十个变量，这些数据可以来自制造设备（例如设备健康指示，正常运行时间数据），来自过程（例如温度，压力）或来自晶片（例如层厚度，层组成）。

因此解决方案可以在两个方面带来进步。它可以为为了能够应用控制算法，必须识别“质量参数”以及“可调参数”。质量参数描述了生产运行是否成功；可调参数是可以实际调整以适应过程的参数。此外，无论在哪里收集数据，都必须特别强调数据质量（例如准确性、分辨率、正确的时间戳记、上下文信息），因为每种控制措施都只能与它所依赖的数据一样好，并提供更合适的方法。

业界可能会从将其作为未来的工作愿景中受益，以追求这些见解和教训，鼓励范式思维，使APC超越其原始范式，并为工业带来新的，更可行和可持续的APC解决方案。

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