微元累加思想在物理教学中的探究

微元累加思想在物理教学中的探究

陶莹  ,沙希文

佳木斯市第十一中学

佳木斯市第一中学

新高考教学评价体系要求物理教学中要培养学生的物理核心素养，其中物理思维的培养是物理核心素养重要组成部分，教学中教师应帮助学生深人理解物理概念和规律，更应重视对物理方法与思想的归纳与整理。科学的解题思想与方法是提升学生解题准确度与效率的重要保障，强化解题思想在教学中的渗透是教学的重点内容。物理思维方法有很多，像整体隔离思想，控制变量，类比思想等。其中微元思想是微积分的初步，在教材物理运动学一章就进行了渗透，用微元累加的方法推导出速度-时间图像的面积为物体运动的位移，在我们的物理教学中用微元累加可以很好的解决一些变速运动问题，特殊变力问题，在应用过程汇总可以化曲线为直线，化变速为匀速，同时为一些公式的应用开拓了思路，为快速解题做好思维上的准备。

一．微元累加在电磁感应中的应用

1电磁感应中求电量

在电磁感应问题中，我们经常用电流的平均值求流过导体横截面的电量问题，即，但是学生存在这样的疑问，为什么平均电流可以求电量，而有效值不能求电量？我们通过微元累加的方法来理解为什么平均值可以求电量的疑问。

设极短时间，电动势的瞬时值等于平均值，瞬时值电流，时间内的电荷量，联立解得,我们把研究的问题分成无数份，设时间分别为，每一段时间的电量分别为，我们可以解得每一小段时间内的电量分别为：,..........整个过程总的电量，联立可得：，此式子可以变形得到。通过微元累加可以理解用平均电流可以求电量，其中体现了物理学的微元思想，这样在电磁感应求电量得时候我们就可以用平均值来书写。书写变得非常简单。

2电磁感应中动量定理中的应用

我们在电磁感应问题中由于安培力随速度变化，导致物理的运动是一个非匀变速运动，匀变速运动规律不能应用，我们一般用动量定理和功能关系来解决。其中动量定理我们经常写成，和上一个问题一样，学生对用平均值列动量定理还是有很大的疑问，我们继续用微元累加的方法理解用平均值可以列动量定理。

   我们把研究的问题分成无数份，每一份是一个小微元，设时间分别为，每一段看成电流不变，列动量定理可得：.........,其中......,全程的总电量为：累加求和得：，，可得。所以我们可以用电流的平均值列动量定理求解相关物理量。

【实战演练1】（2022山东日照模拟）如图所示，M1M2与P2P1是固定在水平面上的两光滑平行导轨，间距为L1=1m，M1M2P2P1区域内存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度B1=1T。N1N2与Q1Q2也是固定在水平面上的两光滑平行导轨，间距为L2=0.5m，并用导线与M1M2与P2P1相连接，N1N2Q1Q2区域内存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B2=2T。在M1M2P2P1区域放置导体棒G，其质量m1=2kg、电阻R1=1Ω、长度L1=1m，在N1N2Q1Q2区域内放置导体棒H，其质量m2=1kg、电阻R2=1Ω、长度L2=0.5m。刚开始时两棒都与导轨垂直放置，且H棒被锁定，两个区域导轨都足够长且棒始终与导轨接触良好。

（1）要想使G棒在水平向右的外力作用下做初速度为零、a=2m/s2匀加速直线运动，请写出力F与时间t的关系式；

（2）若在G棒上施加水平向右的F=5N的外力，在作用t=5s后达到最大速度，求此过程中G棒的位移；

（3）若G棒在水平向右的外力F作用下做初速度为零、加速度为2m/s2匀加速直线运动，运动t=6s后将力F撤去，同时将导体棒H解锁，求从撤去外力到导体棒H获得最大速度的过程中H棒产生热量；

（4）若开始时H棒即解除锁定，G棒一直在外力F作用下向右做a=2m/s2匀加速直线运动，求电路稳定后两棒的速度满足的关系式。

【解析】

（1）要使导体棒G做匀加速直线运动，设加速度为a，则可得E=B1L1at，又知，由牛顿第二定律可得，F-B1IL1=m1a，可得F=t+4

（2）设最大速度为vm，当速度最大时，拉力F与安培力相等F=B1ImL1，则最大电动势为Em=B1L1vm最大电流为解得，vm=10m/s，设在运动过程中平均电流为，对这一过程由动量定理可得，，又知，，由以上各式联立得，x=10m

（3）略

二．微元累加在一些特殊力计算中的应用

1. 物体受到的外力大小恒定，方向与运动方向始终相反，求这样的做功，应该用力乘以物体的相对路程。我们要通过微元累加为什么要乘以路程。首先要理解此力是一个变力不能用力乘以位移，但是为什么乘以路程，可以通过累加求和来理解。

我们把研究的过程分成无数份，每一段我们可以认为是直线运动，而且认为力与位移共线，做负功，设阻力大小为f ,每一段为，每一段的功为，,.......,全过程总功为：，代入可得：，我们分析可知，。推导后学生才能理解为什们不用位移而用路程计算。

2.物体受到阻力与速率成成正比，，阻力的冲量，x为物体的位移

物体的质量为m,物体以初速v竖直上抛，受到阻力与速率成正比，能上升的最大高度为h，重力加速度为g，求物体上升到最高点的时间t .们把研究的问题分成无数份，每一份是一个小微元设时间分别为，每一段都可以看成速率恒定，则每一小段时间列动量定理：每一份的时间为根据动量定理，，........，累加求和可得：，，联立可得，解得时间为：

[实战演练2]（2022年江西临川高一练习）1．力F对物体所做的功可由公式求得。但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解力F所做的功。如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是（　　）

A．甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的为

B．乙图中，全过程中F做的总功为108J

C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功

D．图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是

【解析】

A．因沿着同一根绳做功的功率相等，则力对绳做的功等于绳对物体做的功，则物块从A到C过程中力F做的为，故A正确；B．乙图的面积代表功，则全过程中F做的总功，故B错误；C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，可用微元法得小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为，故C错误；

D．图丁中，F始终保持水平，当F为恒力时将小球从P拉到Q，F做的功是

而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能用力乘以位移计算，故D错误；

故选A。

 [实战演练3].（2022年辽宁阜新中学高三练习题）从地面上以v0=10m/s竖直向上抛出一质量为m=0.2kg的小球，小球所受到的空气阻力f与其速率v成正比，其关系为f=kv，小球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v1=2m/s，且落地前已经做匀速运动（取g=10m/s2），则以下说法正确的是（　　）

A．k的值为1kg﹒s/m

B．小球在下降阶段速度大小为1 m/s时，加速度大小为5 m/s2

C．小球抛出瞬间的加速度大小为60 m/s2

D．小球抛出到落地过程中所用时间为1.2s．

【解析】答案BCD

A、小球落地前以v1匀速运动，则有，即，A选项给出的单位错误，故A错误；

B、小球在下升阶段速度大小为1m/s时，根据牛顿第二定律得：，解得：，故B正确；

C、小球抛出瞬间的加速度大小，故C正确；

D、规定竖直向上为正方向，设上升的高度为h，空气阻力的冲量

上升的全过程，根据动量定理可得

下降的全过程，根据动量定理可得，

联立解得，故D正确；故选BCD．

三．微元累加理解人船模型的位移关系

人船模型：一艘船静止在平静的水面上，船长L，船的质量为M，一个质量为m 的人从静止开始由船头走到船尾停止，则此过程船后退的距离为多少？不考虑水的阻力影响。

我们日常教学用到的是平均速度列动量守恒，，两侧都乘以时间t，根据空间关系可以解得船的质量为D 。但是我们很难理解为什么可以用平均速度来列动量守恒，之后去求空间关系和质量关系。我们可以用微元累加的方法得到质量和位移的关系，设经过微小时间，此时动量守恒，时间极短我们可以认为速率不变，可以变形得到，即。我们累加求和可得：，再根据空间关系,解得：船后退的距离为.

[实战演练3].(2022年银川高三练习题)西晋史学家陈寿在《三国志》中记载：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣。”这就是著名的曹冲称象的故事。某同学欲挑战曹冲，利用卷尺测定大船的质量。该同学利用卷尺测出船长为L，然后慢速进入静止的平行于河岸的船的船头，再从船头行走至船尾，之后，慢速下船，测出船后退的距离d与自身的质量m，若忽略一切阻力，则船的质量为（     ）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

设人走动时船的速度大小为v，人的速度大小为v′，船的质量为M，，两端乘以人从船尾走到船头所用时间为t。则，，，故选D。

四．微元累加理解洛伦兹力的冲量

有一个竖直边界的磁场，磁场宽d ,一个正粒子电量为q，质量为m，垂直左边界以速度v垂直磁场入射，求从右边界飞出时速度方向与边界夹角的余弦值？重力不计。

  这是一个很常规的问题，我们可以用磁偏转方法很容易求解，今天我们换一个角度用微元累加的方法求一个角度问题，设每一时刻的速度为vx，竖直速度为vy，则水平速度的洛伦兹力的冲量改编竖直方向的速度，，其中，则累加求和可得：，根据速度合成可得：。

【实战演练4】(2022年浙江高三开学考试)扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。根据其原理设计的装置简化模型如图所示，个匀强磁场与个电场强度相同的匀强电场交替分布，宽度均为，竖直方向范围足够广。有界磁场的磁感应强度大小依次为

、、…，方向垂直纸面向里，电场方向水平向右。一重力不计的带正电粒子，从靠近平行板电容器板处由静止释放，极板间电压为，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平方向夹角，在范围内可调，若角无论多大，粒子均能射出磁场Ⅰ右边界，求：

（1）（2）略

（3）若粒子比荷为（1）问中所求，当时，粒子恰好能从第个磁场右边界射出，则匀强电场的电场强度。

【解析】（1）（2）略

（3）以竖直向上为正方向，粒子在竖直方向的洛仑兹力作用下使该方向的动量发生改变。在经过磁场Ⅰ过程中，由动量定理，得，同理经过磁场Ⅱ过程中

磁场Ⅲ过程中，磁场过程中，知，，粒子经过电场加速，由动能定理，得，得

  总结，微元法是微积分的初步，从教材内容，还是日常的教学中都会涉及到微元法，特别是竞赛题更是必须掌握的内容，体现了很高的物理学思维，物理学发展过程，微积分思想起到了很大作用，很多物理规律都是微分式，高中物理教学在思维培养过程中注意在教学解题中渗透。