利用构造法求解函数问题中的参数范围

利用构造法求解函数问题中的参数范围

刘立文

湖南省湘西州溶江中学   416000

摘要:当运用分离参数或不分离参数直接求解不方便或无法求解函数问题中的参数范围时，利用构造法对问题中的函数表达式进行适当改造，把导函数零点问题转化为多项式所对应方程根的问题，达到简化并解决问题的目的。                     

关键词：构造法，参数范围，幂函数，指数函数，对数函数

对于函数问题中的参数范围求解，常用两种方式：分离参数与不分离参数直接求解。在解决问题的过程中，常出现因导函数所对应方程的根无法确定的情况，从而无法确定所研究函数的单调性。即使有时可以确定导函数所对应方程的零点个数，但零点无法求解出具体的值，只能利用假设零点的方式，通过隐零点法写出研究对象的单调区间形式。若在求最值时，最值恰在隐零点处取到，但只知存在隐零点，却无法确定精确数值，导致无法确定最值，从而也无法求解这类函数问题中的参数范围。构造法通过对问题中的函数表达式进行适当改造，使得上述的障碍不复存在。

函数问题中所给的函数表达式主要由幂函数，指数函数，对数函数三类函数组合而成，下面就以这三种函数组合得到的函数为例，对常见的构造方式进行阐述。

一．幂函数与指数函数组合的函数类型

    当函数表达式由幂函数与指数函数组合而成时，由于指数函数求导后仍为指数函数，导函数所对应的方程为超越方程。对于超越方程根的问题，当前只能解决方程无根或可以通过直接观察的方式求根这两类，对于一般类型，以目前的知识无法解决。若能把函数表达式改造为指数函数与幂函数组成的函数间的运算符号为乘除的形式，使得导函数的零点问题实际上转化为多项式所对应方程根的问题，即可达到简化并解决问题的目的。

例1：（2020年全国I卷第21题）已知函数.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.

解析：（1）略。（2）等价于.

设函数，则

.

（i）若2a+1≤0，即，则当x∈（0，2）时，>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，

故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.

（ii）若0<2a+1<2，即，

则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；

当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.

所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，

在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，

所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥.

所以当时，g(x)≤1.

（iii）若2a+1≥2，即，则g(x)≤（由第一问的结论可知），由于，故由（ii）可得≤1.故当时，g(x)≤1.

综上，a的取值范围是.

二．幂函数与对数函数组合的函数类型

当函数表达式由幂函数与对数函数组合而成时，由于对数函数求导后不再包含对数表达式，若能把函数表达式改造为对数函数与幂函数组合的函数间的运算符号为加减的形式，使得导函数的零点问题转化为多项式所对应方程根的问题，实现问题的简化。

例2：已知函数,关于x的不等式

在恒成立，求的取值范围。

解析：，

设函数 ，

.由于  

（i）当=1时，在单调递减，在单调递增，对于任意的，

故=1符合题意.

（ii）当<1时，在单调递增，对于任意的

，,与矛盾，

故不合题意，舍去.

（iii）当>1时，在单调递减，对于任意的，,与矛盾，

故不合题意，舍去.

综上：=1

三．幂函数、指数函数、对数函数组合的函数类型

当函数表达式由幂函数、指数函数、对数函数组合而成时，利用前面介绍的两种构造方法，导函数的零点仍无法确定。由于对数与指数能互化，若能将对数形式转化为指数形式，或指数形式转化为对数形式，则可把函数表达式化归为前两种类型中的一种。要达到化归为前两种类型的目的，通过换元的方式可实现目标。

例3：已知函数，当时，,求的取值范围.

解析：

法一： 等价于

令，则

故式等价于 对恒成立.

设函数,

.

（i）当，即时，则在上单调递增，而时，与恒成立矛盾，舍去.

（ii）当，即 时， 恒成立,

故符合题意.

(iii)当，即时，

当时， ，时，则有上单调递减，在上单调递增.，

即 ，由于，则

有 ，故有 .

综上：

法二：  等价于令，由于，则，因为在上单调递增，且当时，，当时，，

所以.故式等价于，对恒成立.

设函数,则.

（i）当，即时,，则在R上单调递增，而时，与恒成立矛盾，舍去.

（ii）当，即 时， 恒成立,故符合题意.

（iii）当，即时，当时， ，时,，

有上单调递减，

在上单调递增.，

即 ，由于，

则有 ，故有 .

综上：

通过以上三种构造函数方法的理论分析和应用展示，当运用分离参数或不分离参数直接求解不方便或无法求解函数问题中的参数范围时，根据问题的所给条件，确定好使用前面三种构造函数方法中的具体类型，就能够比较方便的求解函数解答题中的参数范围。