基金项目:辽宁科技大学大学生创新创业计划专项经费资助项目

基金项目:辽宁科技大学大学生创新创业计划专项经费资助项目

王璞

辽宁科技大学 理学院  114051

摘要

本文简单的阐述了一些关于丢番图方程的解法，并且对丢番图方程进行了一些分析，根据之前一些学者的研究成果，结合丢番图方程的初等和高等解法，通过对项目的一些研究方法进行分析，从而来得出对丢番图方程一些初步的求解方法，

关键词：丢番图方程，不定方程，初等方法，高等方法

1研究背景和意义

1.1研究背景

丢番图方程是数论中的一个重要的分支，在数学中，未知数个数比方程的个数多的方程我们称为不定方程。在不定方程中，对解存在一定的区间限制条件的方程，比如说限制解的范围在整数的范围内或者是有理数的范围内的方程，我们一般称为丢番图方程，以此来纪念丢番图在《算数》这本书中对不定方程所作出的杰出贡献。实际上来说，在我国的古代所提出的“勾三股四弦五”就已经找到了丢番图方程x2+y2=z2的一组正整数解是x=3，y=4，z=5，这个方程所得出的结果，就已经在很大程度上领先了丢番图。

丢番图方程的内容较多，与很多学科都有着密切的联系，但是唯一不足的是丢番图方程在求解的时候没有一个明确的求解方法，也就间接导致了在处理丢番图方程时的所遇到的困难较多，很多时候都不能得出理想的结果。一般来说，我们在研究丢番图问题时所求解方程的方法只是根据一些基本的原则去尝试着对方程进行求解，其中就包括初等方法和高等方法，将丢番图方程抽象成一些较为简单且容易解决的问题的集合，所以，在研究丢番图方程时，需要对一些基本的数学知识及概念性问题有着熟练的应用方法，对数学有着深厚的底蕴。正是因为丢番图方程求解的灵活性，使得其在许多数学竞赛中的出现频率较高。

1.2研究意义

丢番图方程发展到了今天，在人类的很多问题上都做出了很大的贡献，应用该方程的数学问题在很大程度上能够反映出人们在数学上面的功底，再加上在许多的数学竞赛中频繁的使用丢番图方程来解决问题，从而能够选取一些在数学上很有天赋的新鲜血液。丢番图方程由于其内容异常丰富，其发展前景一直都是较为良好的，而且由于其题目简单易懂，求解方法灵活多变，许多的数学人才相继加入到了研究丢番图方程的浪潮中，因此也就产生了很多价值不菲的科研成果，为数学及其他相关领域的发展做出了重大贡献。

1.3研究现状

丢番图方程是由一个或者几个变量的构成的整系数方程，他们解的范围是在整个整数的范围内的。关于丢番图方程解的问题，数论学家们做了大量的讨论和研究。

1876年，由Brocard和Ramanujan提出找到方程所有整数解的问题，至今仍未得到解决，此问题现在仍然记录在Guy的名著《数论中未解决的问题》D25中。1913年，Ramanyjan重新提出了丢番图方程整数解问题：他所提出的是，当时为完美平方。1937年，Erdös和Obláth考虑了方程，并得出其无非零整数解。1968年，Simmons发现有解，对此，又进一步提出解的问题。1992年，对于Erdös和Obláth的问题，Berend和Osgood证明了：如果是一个次数的整系数多项式，那么使方程有整数解的那种的集合之密度为零。1993年，Overholt将此问题与Szpiro猜想联系起来。在假设Szpiro猜想成立的前提下，他证明了丢番图方程(1)仅有有限解。1996年，Dabrowski证明了对任意给定的非平方数，方程仅有有限个整数解。他还用类似Overholt在中的方法，在假设ABC猜想成立的前提下，证明了(2)仅有有限个整数解。2000年，Berndt和Galway指出在范围内，方程(1)仅有正整数解。考虑更一般多项式-阶乘丢番图方程其中为次数大于的整系数多项式。Erdös和Obláth证明了对于奇素数，方程无非零整数解。2002年，Luca利用ABC猜想推广了Overholt的结果，证明了方程(3)仅有有限个正整数解。

本项目在假设ABC猜想成立的前提下，证明了丢番图方程仅有有限个正整数解，其中为次数大于的整系数多项式。

2解丢番图方程的方法

其求解的初等方法较多，这里只挑选其中的几种来进行介绍。

2.1初等方法

(1)同余法

同余是数论中最基本的概念之一，在许多的数学问题中都有着非常广泛的应用，在对丢番图方程进行求解时，可以根据同余的一些基本概念来证明某些丢番图方程是无解或者仅存在一些带有某些特殊性质的解。在利用同余法求解丢番图方程时，首先求出该方程的同余式，如果存在一个正整数能够使得同余式误解，那么就可以说明该丢番图方程也就没有整数解。

(2)分解因子法

分解因子法首先是要将方程进行整理，然后分解成两项的乘积的形式，根据唯一分解定理，就可以达到将问题简化的效果。在应用分解因子法进行求解时，需要对所求得的式子重复使用该方法，由此也可以看出，该方法在求解丢番图方程时能够得到广泛的使用，而且在求解的过程中能够很容易的看出什么时候应该使用该方法，但是在使用的过程中，要求对等式具有很强的变形能力。

(3)不等式法

利用不等式工具证明丢番图方程在一定范围内左边恒大于右边或者是等式右边恒大于左边，从而来证明丢番图方程在该定义域内不存在整数解的方法成为不等式法。

2.2高等方法

(1)唯一分解整环法

唯一分解整环法就是将丢番图方程放在唯一分解整环中去思考，通过对唯一分解整环性质的分析探讨，将复杂的问题进行简化，从而可以将复杂的方程分解成多个简单熟悉的方程进行处理。但是一般来说，仅仅依靠唯一分解整环的性质是不够的，通常来说是在综合利用其他的方法来处理简化后的方程。

(2)三次剩余法

三次剩余法就是利用域中代数整数的性质，引出三次剩余特征的概念，根据三次剩余的结果来解决丢番图方程的一种方法。

3本项目的主要研究内容和方法

3.1项目研究内容

本项目利用ABC猜想证明了对于次数大于的整系数多项式，仅有有限多个整数对使得多项式的值为某个自然数的双阶乘。在后续的研究工作中，我们还将考虑方程是否仅有有限个正整数解，以及更一般的情形，方程是否仅有限个整数解。

3.2项目研究方法

本项目思路如下，将方程(4)转化为形如的形式，从而利用ABC猜想以及Stirling公式对双阶乘的估计，给出的一个可计算的上界。具体如下：

先利用Bertrand–Chebyshev定理证明出一类特殊的情形，此类情形不需要借助ABC猜想就可以得到丢番图方程仅有有限个正整数解。

接下来，考虑一般情形，利用Stirling公式对双阶乘进行估计，结合ABC猜想给出的上界。

最后，在ABC猜想成立的前提下,对次数大于的整系数多项式表述为常数与任意次幂的线性组合，即，通过对多项式进行整理，最终得出ABC猜想的一般形式，利用ABC猜想中

其中为的根数。

结合n的上界，对不等式进行放缩，最终证明方程(4)仅有有限个整数解。

4结束语

本文简单的阐述关于丢番图方程的一些基本的解决办法，其中初等方法包括同余法，分解因子法，不等式法等，高等方法包括唯一分解整环法和三次剩余法，并且分析了当前对于丢番图方程的一些研究现状，由研究现状可以看出，丢番图方程的解法就目前来说依旧是一个比较火热的话题。

参考文献

[1]钟木超. 丢番图方程及其在数学竞赛中的应用[D].广州大学,2018.

[2]费双林. 关于两类丢番图方程的解[D].西华师范大学,2020.DOI:10.27859/d.cnki.gxhsf.2020.000545.

[3]张雪. 关于两类丢番图方程整数解的研究[D].贵州师范大学,2019.DOI:10.27048/d.cnki.ggzsu.2019.000564.

关于丢番图方程的研究

单位:辽宁科技大学 理学院

邮编:114051

项目作者：王璞

作者简介:王璞(2002- )，女，山西省朔州市，本科。

研究方向:数学