断裂力学中晶格模型的应用和前景

断裂力学中晶格模型的应用和前景

王曼娜

（重庆交通大学 土木工程学院，重庆  400041）

摘要：晶格模型是一种离散模型，通常用于模拟脆性材料的断裂过程。本文从理论和应用的角度，总结了过去80年来最先进的晶格模型在发展历史中所取得的主要成果。结果表明，经典的晶格弹簧模型(LSM)只能模拟一个固定的泊松比。晶格模型已经连续应用于不同材料和不同载荷下断裂过程的模拟。然而，在金属断裂分析、动态载荷诱导断裂和真实的大规模结构中的应用是不够的。未来关于晶格模型在工程实践中使用的创新研究领域包括各向异性材料建模和高效的计算技术，以扩大其使用和应用的范围。

关键词：断裂；晶格模型；发展

一．晶格模型的介绍

像砂浆和混凝土这样的脆性材料，由于其抗拉强度较低，很容易造成开裂。为了模拟脆性材料的断裂过程，提出了几种离散的数值模型。其中较为出名的就是“格子模型”，它的历史可以追溯到20世纪40年代，为了解决弹性问题，Hrennikoff（赫伦尼科夫）提出了一种框架方法，被认为是晶格模型的原型[1]。在20世纪70年代至80年代，将晶格模型引入理论物理领域，研究无序介质的断裂过程。20世纪90年代，各类研究人员们进一步并快速发展了晶格模型。随着本世纪初计算机和计算技术的快速发展，以前的二维晶格模型被扩展到三维。此外，还引入了一些新特性。比如，侯平提出了一个改进的方法用晶格模型来考虑大应变的影响[2]。郭丽萍等人利用晶格模型模拟了混凝土的疲劳问题[6]。刘俊贤等人在晶格模型中加入了纤维和钢筋[3]。

经典晶格模型的一般概念要求将连续体离散化成几个连接的弹簧（桁架）或梁元件，并对离散模型进行一系列线性分析。通过从模型中去除关键元素来模拟断裂过程，并根据失效准则逐步确定。一般来说，晶格模型有两个主要优点：（1）晶格模型基于不连续公式，避免了基于连续体的数值模拟方法中的奇点相关问题，如有限元法(FEM)；（2）可以很容易地实现材料的异质性。第一个优点通常采用晶格模型来模拟断裂过程，特别是对于脆性材料，如在混凝土的单轴拉伸实验和混凝土中的钢筋腐蚀。第二点优势常应用于晶格模型在中尺度或微尺度的研究应用中，其中应考虑材料非均匀性的影响。

二．晶格模型的理论

一般来说，可采用两种方法来进行离散化。第一个是直接使用中尺度或微尺度上的模拟或真实材料结构来构建网络。例如，在随机粒子模型(RPM)中，矩阵（水泥浆）中的每个粒子（骨料）都被视为晶格网络中的单个节点。然后，根据粒子的位置，利用德劳奈三角测量形成网络。显然，这种方法中的网格大小在很大程度上依赖于粒子间距，并且在粒子填充过程完成时是固定的。在第二种方法中，首先准备一个用户定义的网络，这不一定与材料结构相关。然后将连续体映射到网络中以形成元素。理论上，第二种方法中的网格尺寸可以自由选择。然而，在需要材料异质性实现的中微分析或微观分析中，网格的大小通常是根据结构中最小粒子的大小来确定的。

离散化中使用的格网络可以是规则的，也可以是不规则的。由于晶格模型中的裂纹只能沿着元素的方向传播，将产生两个网络：规则网络将导致裂纹模式依赖于网络和超规则裂纹模式是不现实的。具有不规则网络的随机格模型可以消除这种不利的依赖性，但同时也给格模型引入了额外的无序。此外，当均匀应变下，在均匀模型中施加非均匀应力条件时，也会导致不规则晶格网络，这是不现实的。

三．晶格模型的应用及前景

3.1混凝土

为了模拟混凝土的断裂过程，结构层的本构关系可以非常简单，也可以非常复杂。在旧晶格模型中提出和采用的弹性-线性关系，由于其简单至今仍更受青睐。其他更复杂的关系，如多线性关系，也有自己的优势和应用，但可能违反晶格模型的原理，即局部简单原理。

本构关系的差异也会导致使用不同的失效标准。根据弹性线性关系，一旦关键元件失效就被完全去除。然而，在多线性关系中，失效元件可以保持在晶格模型中，刚度降低。因此，它们被“逐渐”从模型中删除。

3.2岩石

晶格模型在岩石断裂分析中的应用主要源于赵高峰等人的研究[4]。他在地质力学领域开发了DLSM和4DLSM。岩石的裂缝与混凝土有些相似，因为两者都是脆性结构。因此，在岩石断裂分析中使用的本构关系与混凝土相似，但有一些差异。在DLSM中，连续模型被离散成几个粒子，由普通弹簧和剪切弹簧连接。弹簧的失效准则由粒子的运动来控制，即粒子之间的距离。因此，DLSM中的本构关系集中在极限应变上，而不是抗拉强度上。此外，在DLSM中，由于弹簧的额外运动，一旦弹簧连接的粒子足够接近，失效弹簧可以恢复刚度。其仍然存在于模型中，可以自由变形，但没有传递力。

3.3木材

木材与垂直于木粒（纵向）的断裂过程与混凝土的脆性断裂相似。相应地，该晶格模型也被用于研究木材的断裂问题。

3.4金属

金属的断裂过程是一个高度复杂的问题，并已被研究了很多年。然而，晶格模型在金属断裂问题中的应用很少被提及。在涉及金属晶体结构的微观尺度上，裂纹也可以沿着晶体之间的界面或通过晶体传播，从而导致晶间或跨晶间断裂，在典型条件下，晶间断裂均可具有脆性或延展性。陈海龙等人的研究只模拟了金属的脆性断裂过程，这与混凝土基本相同。

3.5未来发展趋势

现如今，晶格模型已被广泛开发，用于模拟不同载荷下、不同类型材料的断裂过程的有效工具。然而，在理论和应用上仍然存在问题。为了进一步发展晶格模型，应该解决几个挑战。这些挑战也可能构成未来研究的重点。

3.5.1新的材料

为了处理材料的创新，晶格模型也应该进一步发展。最重要的部分是本构关系，它对检测关键元素至关重要。一个适当的本构关系是基于对材料中不同阶段的结构行为的充分理解，如骨料、水泥浆、钢纤维它们之间的相互作用。同时，本构关系应当尽可能简单，以确保经典晶格模型的内在优势。

四．结论

晶格模型虽然已经连续应用于不同材料和载荷下断裂过程的模拟，但是在某些方面的研究是远远不够的，但是不可否认的是晶格模型在新的领域有着无限的可能，在未来关于晶格模型在工程实践中的应用会更加有效率和准确，在推广晶格模型在工程实践中的应用还有很长的路要走。

参考文献

[1] Hrennikoff A. Solution of problems of elasticity by the framework method. J Appl Mech 1941;8(4):169–75

[2] Hou P. Lattice model applied to the fracture of large strain composite. Theor Appl Fract Mech 2007;47(3):233–43

[3] Liu JX, Zhao ZY, Deng SC, Liang NG. Modifified generalized beam lattice model associated with fracture of reinforced fifiber/particle composites. Theor Appl Fract Mech 2008;50(2):132–41.

[4] Zhao G-F, Fang J, Zhao J. A 3D distinct lattice spring model for elasticity and dynamic failure. Int J Numer Anal Methods Geomech 2011;35(8):859–85

作者简介：王曼娜（1996.12），女，汉族，四川成都，硕士，重庆交通大学，结构方向。