一类基尔霍夫型方程山路解的存在性

一类基尔霍夫型方程山路解的存在性

刘晓佳1 ,杨子亮2 ,孙明正1

（1.北方工业大学理学院,100144,北京；2.首都师范大学数学科学学院，100048，北京）

摘要：本文主要研究下述的基尔霍夫（Kirchhoff）型方程：

其中常数，。在弱的条件下，通过使用变分法中的山路引理，我们证明了上述问题至少有一个山路解。

关键词：基尔霍夫型方程；变分法；山路引理。

本文研究下述的Kirchhoff型方程：

                   (P)

其中是中的有界区域，常数,。问题(P)来源于Kirchhoff [1]建立的横向振动弦的模型

,

其中表示弦线材质相关系数，表示弦线长度,表示位移。自从文章[2]关于下述方程

提出了问题的变分理论框架后，此方程解的存在性一直是变分方向的热点问题。

1已有结果和本文的结果

1.1已有结果

首先，我们列出问题(P)的变分框架。若假设方程的非线性项满足

，并且

，

其中为常数，则问题(P)的弱解就是下面泛函对应的临界点

，

其中，中的范数记为

。

对于，我们有

。

另外，我们设

为算子在空间中的特征值。

其次，我们列举关于山路解的存在性结果。在已有的山路解的存在性的证明中，下面的Ambrosetti-Rabinowitz 型条件起到了关键的作用：

存在常数和满足

因为此条件能推出超线性增长条件：存在常数满足

而这是得到泛函的紧性条件和山路结构的基础。关于Ambrosetti-Rabinowitz 型条件的解的存在性结果已有很多，比如文章[4]利用此条件得到了方程在无穷远处的临界群都是零的结论，从而得到方程多解的存在性。其它的结果请参考文献[3,4,5,6,9]等。

1.2本文结果

假设

并且存在常数满足

本文的结果为：

定理1.1 假设条件和成立，其中，并且存在常数使得，那么方程 (P)有一个非平凡解。

注 与已有的结果相比，我们把条件减弱为，为此我们需要克服两个困难：一是要验证泛函的紧性条件，二是要验证泛函山路解的几何结构。

2紧性条件

定义2.1 如果序列满足下列条件

（i）有界，  

（ii），当，

那么称为Palais-Smale序列（简称为(PS)序列）；若任何Palais-Smale序列在中列紧，则称泛函满足Palais-Smale条件（简称为(PS)条件）。

引理2.2 假设条件成立，其中，那么泛函满足(PS)条件。

证明 根据[7, Lemma 1]，我们只需要证明泛函的任何(PS)序列有界。

首先，假设使得泛函满足下列两个条件

， （）。                                   

其次，当时，条件推出在上一致有界。

最后，结合条件，存在常数，使得

。

根据及上式，当时，序列是有界的。证毕。

3 山路解的几何结构

引理3.1 （山路引理[8]）设为空间，泛函满足(PS)条件以及下列条件：

     （）；

（）存在正常数和，使得，其中；

（）存在常数，使得。

定义

那么泛函有临界值

。

接下来，我们讨论泛函的山路解的几何结构。

引理3.2 存在正常数和，当时，有。

证明 对于，根据 和，存在使得

于是我们有

其中为常数。

由及上述不等式，存在正常数和，当时，。证毕。                             

引理3.3存在常数，当时，使得。

证明 由条件和知，存在常数使得

，

上式推出

                ，

其中上式中的表示不同的正常数。所以存在，与，当并且时，有

。

取，则有。证毕。    

4 定理的证明

4.1定理1.1的证明

证明定理1.1根据引理2.2，泛函满足(PS)条件，引理3.1至引理3.3表明泛函具有山路引理中的几何结构，所以根据山路引理知道有临界值

，

即问题(P)在中至少有一个的山路解。证毕。

4.2结论

如上所述，因为本文把Ambrosetti-Rabinowitz 型条件中的条件减弱为，使得我们需要重新验证泛函的紧性条件和山路解的几何结构。这里，我们使用了一个技术性的条件即对方程中的常数进行了限制。另外，本文只是得到了一个非平凡弱解的存在性。在以后的研究中，我们将会继续利用变方法理论得到更多的非平凡解。

5参考文献

[1]G. Kirchhoff. Mechanik [M]. Leipzig, Germany: Teubner, 1883

[2]J L. Lions. On Some Questions in Boundary Value Problems of Mathematical Physics [J]. North-Holland Mathematics Studies, 1978, 30:284–346

[3]A. Mao, Z. Zhang. Sign-changing and multiple solutions of Kirchhoff type problems without the P.S. condition [J]. Nonlinear Anal. 2009, 70:1275–1287

[4]J. Sun, S. Liu. Nontrivial solutions of Kirchhoff type problems [J].  Appl. Math. Lett., 2012, 25:500–504

[5]J. Sun, C. Tang. Existence and multiplicity of solutions for Kirchhoff type equations [J]. Nonlinear Anal. , 2011,74:1212–1222

[6]Z. Zhang, K. Perera. Sign changing solutions of Kirchhoff type problems via invariant sets of descent flow [J]. J. Math. Anal. Appl. , 2006,317:456–463

[7]C O. Alves, FJSA Correa, T. Ma. Positive solutions for a quasilinear elliptic equation of Kirchhoff type [J]. Computers & Mathematics with Applications, 2005, 49(1):85–93

[8]A. Ambrosetti, P H. Rabinowitz. Dual variational methods in critical point theory and applications [J]. J.funct.anal, 1973, 14(4):349–381

[9]M. Sun , Z. Yang , H. Cai. Nonexistence and existence of positive solutions for the Kirchhoff type equation[J]. Applied Mathematics Letters, 2019, 96:202–207  

基金项目：北方工业大学基金(107051360022XN725，108051360022XN554)。