浅谈垂径定理在圆锥曲线中的应用

浅谈垂径定理在圆锥曲线中的应用

安江华

贵州省思南县民族中学      565100

在历年高考题中，经常遇见圆锥曲线中求定点、定值和范围等核心问题.圆锥曲线的“两率”(斜率、离心率)问题是高中数学的重要内容，也是高考命题者的“必争之地”，在高考数学试题中，圆锥曲线中的一类斜率的积为定值问题，已经成为高考数学试题中绕不开的“情结”,笔者从圆周角定理和圆的垂径定理类比得出圆锥曲线相关性质结论。

圆周角定理： 直线经过圆心，与圆相交于，圆上异于，两点的，则，若斜率，均存在，则.

圆的垂径定理：已知圆的圆心为，直线不经过圆心且与圆相交于，设中点为，则.若斜率，均存在，则；圆的圆心为，直线与圆相切为，则，若斜率，均存在，则；

定理1 若直线经过椭圆（或双曲线）的对称中心原点，且与椭圆或（双曲线）相交于.设点是椭圆（或双曲线）上异于，两点的点，若斜率，均存在，则. 我们仅对椭圆的情形进行证明，双曲线可类似证明.

证法：设椭圆C的方程为，，，.

由，，两式相减得，，即，

即.

定理2  若点是（椭圆或双曲线）的弦的中点，若，均存在，则（为的离心率），我们仅对椭圆的情形进行证明，双曲线可类似证明.

证法：（点差法）设椭圆的方程为，直线与椭圆的两个交点分别为，，线段的中点为，，，

两式相减得，，即，

即.

注1：如果将圆看作椭圆的极限状态（即，），该定理2可理解为圆的垂径定理在圆锥曲线中的拓展与深化，即为有心圆锥曲线的垂径定理.

注2：对双曲线而言，类似有.

注3：定理2中，若椭圆方程为或双曲线方程为

，即焦点在轴情况，则相应结论为.

注4：相切可以理解为相交的极限状态同样成立.

例题l．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为（  ）

A．B．C．D．

【解析】方法一  设，，则，，

①，

②

由①－②得，

即，即，

又因为，所以，

又，解得，

∴椭圆方程为，故选D.

方法二  线段的中点为，由有心圆锥曲线的垂径定理得，

即，即，

又因为，解得，

∴椭圆方程为，故选D.

例题2．已知椭圆：，直线：与椭圆相切于点，则点的坐标为__________.

解析：方法一  由直线与椭圆联立方程组，

消去化简得（*）

因为相切，所以，解得，

将代入（*）式得，解得，

将代入直线方程，解得，

故点坐标为.

方法二设切点，由垂径定理知，

即，即，点在直线和椭圆上，

所以消去，，得，

整理得，

化简得，代入直线方程，解得，

故点坐标为.

例题3设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，.若点满足，则双曲线的离心率是__________.

解析：设的中点为，则，①

由，则，即②

即，由①，②式解得，

易得，；

由垂径定理得，即，故双曲线的离心率为

例题4 已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点在椭圆外，且直线交椭圆于点，若，则点的轨迹为__________.

解析：设，由垂径定理得，，又，

故，即，即，

故点的轨迹为.

例题5 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，点在椭圆上且直线斜率的取值范围是，直线斜率的取值范围是（）.

A.B.C.D.

解析：根据椭圆：的方程和垂径定理可知，

所以.又因为，所以，故选B.

例题6 已知椭圆的右焦点为，椭圆的动弦过右焦点且不垂直坐标轴，的中点为，过点且垂直线段的直线交射线于点，则点的横坐标为____．

解析：易知右焦点为坐标为，设所在直线的斜率为，则由垂径定理可知，故.从而所在直线方程为，又所在直线方程为，联立方程组解得，即点的横坐标为.

例题7 已知椭圆的左，右顶点分为，，过点作轴的垂线，点是直线上的一点，连接交椭圆于点，坐标原点为，且，则___________．

解析：根据已知，点的坐标为，设，由垂径定理可得，

又，所以，故，即，解得.

评注5：有心曲线的中心为坐标原点为，设直线与该曲线相交于，设弦中点为，，均与坐标轴不平行，则的斜率之积（此为垂径定理的另一种表示）.

例题8．已知椭圆：()，直线不过原点O且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．

（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边行？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．

解析：(1)方法一设直线，，，．

将代入得，

故，．

于是直线的斜率，即．

所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．

方法二将椭圆转化成标准形式，即为，由垂径定理及评注5易得，故直线的斜率与的斜率的乘积为定值9.

（2）四边形能为平行四边形．

因为直线过点，

所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，．

由(1)得的方程为．设点的横坐标为．

由得，即．

将点的坐标代入直线的方程得，因此．

四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．

于是．解得，．

因为，，，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形．

评注：圆锥曲线中的垂径定理在解答选填题中时，有出其不意的效果，其实它的实质是点差法深化，我们从整体上把握知识的内在联系，利用这些知识来解答一些问题，能切中问题的要害。

参考文献：

方亚斌，《高考数学命题探秘》【Ｍ】，浙江大学出版社，2019,107-110;

苏立标,《圆锥曲线的秘密》【Ｍ】，浙江大学出版社，2020,73-75;