贵州省思南县民族中学 565100
在历年高考题中,经常遇见圆锥曲线中求定点、定值和范围等核心问题.圆锥曲线的“两率”(斜率、离心率)问题是高中数学的重要内容,也是高考命题者的“必争之地”,在高考数学试题中,圆锥曲线中的一类斜率的积为定值问题,已经成为高考数学试题中绕不开的“情结”,笔者从圆周角定理和圆的垂径定理类比得出圆锥曲线相关性质结论。
圆周角定理: 直线经过圆心
,与圆相交于
,圆上异于
,
两点的
,则
,若斜率
,
均存在,则
.
圆的垂径定理:已知圆的圆心为,直线
不经过圆心且与圆相交于
,设
中点为
,则
.若斜率
,
均存在,则
;圆的圆心为
,直线
与圆相切为
,则
,若斜率
,
均存在,则
;
定理1 若直线经过椭圆
(或双曲线
)的对称中心原点
,且与椭圆或(双曲线)相交于
.设点
是椭圆(或双曲线)上异于
,
两点的点,若斜率
,
均存在,则
. 我们仅对椭圆的情形进行证明,双曲线可类似证明.
证法:设椭圆C的方程为,
,
,
.
由,
,两式相减得,
,即
,
即.
定理2 若点是(椭圆
或双曲线
)的弦
的中点,若
,
均存在,则
(
为的离心率),我们仅对椭圆的情形进行证明,双曲线可类似证明.
证法:(点差法)设椭圆的方程为
,直线
与椭圆
的两个交点分别为
,
,线段
的中点为
,
,
,
两式相减得,,即
,
即.
注1:如果将圆看作椭圆的极限状态(即,
),该定理2可理解为圆的垂径定理在圆锥曲线中的拓展与深化,即为有心圆锥曲线的垂径定理.
注2:对双曲线而言,类似有.
注3:定理2中,若椭圆方程为或双曲线方程为
,即焦点在
轴情况,则相应结论为
.
注4:相切可以理解为相交的极限状态同样成立.
例题l.已知椭圆:
的右焦点为
,过点
的直线交椭圆于
、
两点.若
的中点坐标为
,则
的方程为( )
A.B.
C.
D.
【解析】方法一 设,
,则
,
,
①,
②
由①-②得,
即,即
,
又因为,所以
,
又,解得
,
∴椭圆方程为,故选D.
方法二 线段的中点为
,由有心圆锥曲线的垂径定理得
,
即,即
,
又因为,解得
,
∴椭圆方程为,故选D.
例题2.已知椭圆:
,直线
:
与椭圆
相切于点
,则点
的坐标为__________.
解析:方法一 由直线与椭圆联立方程组,
消去化简得
(*)
因为相切,所以,解得
,
将代入(*)式得
,解得
,
将代入直线方程
,解得
,
故点坐标为
.
方法二设切点,由垂径定理知
,
即,即
,点
在直线和椭圆上,
所以消去
,
,得
,
整理得,
化简得,代入直线方程
,解得
,
故点坐标为
.
例题3设直线与双曲线
的两条渐近线分别交于点
,
.若点
满足
,则双曲线的离心率是__________.
解析:设的中点为
,则
,①
由,则
,即
②
即,由①,②式解得
,
易得,
;
由垂径定理得,即
,故双曲线的离心率为
例题4 已知椭圆:
的上、下顶点分别为
,
,点
在椭圆
外,且直线
交椭圆
于点
,若
,则点
的轨迹为__________.
解析:设,由垂径定理得,
,又
,
故,即
,即
,
故点的轨迹为
.
例题5 已知椭圆:
的左、右顶点分别为
,
,点
在椭圆
上且直线
斜率的取值范围是
,直线
斜率的取值范围是().
A.B.
C.
D.
解析:根据椭圆:
的方程和垂径定理可知
,
所以.又因为
,所以
,故选B.
例题6 已知椭圆的右焦点为
,椭圆的动弦
过右焦点
且不垂直坐标轴,
的中点为
,过点
且垂直线段
的直线交射线
于点
,则点
的横坐标为____.
解析:易知右焦点为坐标为
,设
所在直线的斜率为
,则由垂径定理可知
,故
.从而
所在直线方程为
,又
所在直线方程为
,联立方程组解得
,即点
的横坐标为
.
例题7 已知椭圆的左,右顶点分为
,
,过点
作
轴的垂线
,点
是直线
上的一点,连接
交椭圆于点
,坐标原点为
,且
,则
___________.
解析:根据已知,点的坐标为
,设
,由垂径定理可得
,
又,所以
,故
,即
,解得
.
评注5:有心曲线的中心为坐标原点为
,设直线
与该曲线相交于
,设弦
中点为
,
,
均与坐标轴不平行,则的斜率之积
(此为垂径定理的另一种表示).
例题8.已知椭圆:
(
),直线
不过原点O且不平行于坐标轴,
与
有两个交点
,
,线段
的中点为
.
(Ⅰ)证明:直线的斜率与
的斜率的乘积为定值;
(Ⅱ)若过点
,延长线段
与
交于点
,四边形
能否为平行四边行?若能,求此时
的斜率;若不能,说明理由.
解析:(1)方法一设直线,
,
,
.
将代入
得
,
故,
.
于是直线的斜率
,即
.
所以直线的斜率与
的斜率的乘积为定值.
方法二将椭圆转化成标准形式,即为
,由垂径定理及评注5易得
,故直线
的斜率与
的斜率的乘积为定值9.
(2)四边形能为平行四边形.
因为直线过点
,
所以不过原点且与
有两个交点的充要条件是
,
.
由(1)得的方程为
.设点
的横坐标为
.
由得
,即
.
将点的坐标代入直线
的方程得
,因此
.
四边形为平行四边形当且仅当线段
与线段
互相平分,即
.
于是.解得
,
.
因为,
,
,所以当
的斜率为
或
时,四边形
为平行四边形.
评注:圆锥曲线中的垂径定理在解答选填题中时,有出其不意的效果,其实它的实质是点差法深化,我们从整体上把握知识的内在联系,利用这些知识来解答一些问题,能切中问题的要害。
参考文献:
方亚斌,《高考数学命题探秘》【M】,浙江大学出版社,2019,107-110;
苏立标,《圆锥曲线的秘密》【M】,浙江大学出版社,2020,73-75;