数列中几类常见奇偶项问题探究

数列中几类常见奇偶项问题探究

陈雄飞

湖北省孝感市第一高级中学  湖北孝感  432100

数列中奇偶项问题符合一般递推规律的一类问题是数列中一种常见题型，这类问题学生往往对奇偶分类搞混淆，本文就针对这一类问题进行探究与方法总结.

问题探究一：或型

递推公式为或的形式，这与使用累加法或累乘法求通项公式的形式类似，即与，通常考查求通项公式或数列求和.

【例1】(2021山东省烟台市模拟)已知数列的前项和为

（1）求数列的通项公式.（2）若数列满足，且不等式对任意都成立，求的取值范围.

【解析】（1）由题意得 ①当时，，

②当时，

当时，
（2）由（1）知，      ①

当时，；当时，    ②

两式相减得， ，数列是以为首项，公差为2的等差数列；数列是以为首项，公差为2的等差数列．

当为偶数时，；当为奇数时，，

又对任意的都有成立，
  ①当为奇数时，恒成立，即对为奇数时恒成立，当时，，即；

②当为偶数时，恒成立，即对为偶数时恒成立，当时，
     综上所述，的取值范围是

【探究总结】

1.求通项公式：构造隔项等差数列：两式相减得；

构造隔项等比数列：两式相除得

2.求前项和：求出通项公式，再求和；或者为，可直接并项求和.

分奇偶求通项公式，将原有的数列分为2个数列，要分清原数列中的项在新数列中为第几项，或将转化为或表示，求出通项公式.数列是一种特殊的函数，数列问题中经常出现恒成立问题，解题思路与函数的恒成立问题一致，但要注意的取值，取奇数时最小值为1，取偶数时最小值为2.

问题探究二：型

形如的结构，可分为两种情况：一种是邻项等差、等比数列，如已知；另一种是数列与其他数列的关系，如.

【例2】(2021福建省福州市模拟)已知数列，

（1）是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数.　

【解析】（1）由题意得

故.又，

存在，即当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.

（2）由（1）知，

①当时，

②当时，

与在时均单调递减，与在时均单调递减，

又满足的所有正整数为1和2.

【探究总结】

1.邻项等差、邻项等比数列形将用或替代：

当时，；

当时，构造出以为首项、2为公比的等比数列，求出的通项公式，在求出.

2.数列与其他数列的关系：求出其他数列的通项公式，再求出的通项公式.

对于递推关系分奇偶不同的数列，可以利用及，推导出偶数项递推关系，求出偶数项的通项公式，通过的关系再推出奇数项的通项公式.求Sn时，可以先把看做一项，求出，再求.

问题探究三：含有型

数列的递推公式和通项公式中会含有，都需要讨论的奇偶，使转化为1或.

【例3】(2021江苏省南京市模拟题）设为数列的前项和，，求数列的前7项和.

【解析】∵，∴①当时，，即，，

②当时，，

i）当为偶数时，，，此时为奇数，∴为奇数时，；

ii）当为奇数时，，，即，此时为偶数，∴为偶数，，

∴，故当为奇数时，，当为偶数时，，

∴数列的前7项和为.

【探究总结】

1.递推公式中有：寻找间隔两项之间的关系.如为奇数时，；为偶数时，得到相邻两个奇数项或偶数项的关系；若求数列前项的和，本质上是考查分组求和.

2.通项公式中含有：①等差数列的通项公式乘以，用并项求和法求数列前项的和；

如，前20项的和.②等比数列的通项公式中含有，其前项和可写成分段的形式，可求最值.如等比数列的通项公式为，则其前项和，求的取值范围：分奇偶，讨论求的最值.③裂项相消法求和.如，求和时通过实现正负交替.

含有的数列求和时，要综合利用好分组求和、并项求和、裂项相消法求和等方法，求出的前项和要分奇偶表示.求参数时，要分奇偶，构造关于的函数，注意取最值时，的值.

数列的奇偶项是指数列中的奇数项与偶数项, 按奇偶项分类求和是数列求和的一种重要的方法.本文细致探究了数列中的奇偶项问题考查的几类题型，归纳总结了：①等差、等比数列中的奇偶项和的问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题等.其实，已知条件明确的奇偶项或含有三角函数如等问题都有“暗示”需要对分奇偶讨论，寻找奇数项、偶数项之间的关系，求出通项公式或求和，再进行下一步的求解，全面考查学生的数学核心素养与解题能力.

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