一元函数极限的计算

一元函数极限的计算

李广川

 重庆三峡学院，重庆  404100

 摘要：极限是微积分最重要的思想，微积分中的很多重要概念是通过极限来进行定义的，例如连续、导数、定积分等，因此掌握好微积分的前提是掌握好极限的计算. 鉴于此，本文对一元函数极限的基本计算方法进行了归纳和总结，如极限四则运算法则、函数连续性、两个重要极限公式、洛必达法则、等价无穷小代换、泰勒公式、夹逼准则等，并对相关定理进行了阐述。

关键词：微积分；一元函数；极限；计算。

函数极限的证明和计算是“高等数学”的基本研究内容. 本文主要是利用极限定义、极限运算法则、函数连续性、两个重要极限、洛必达法则、等价无穷小代换、泰勒（Taylor）公式、夹逼准则等方法计算极限，阐述各计算方法、定理的适用对象，并列举较为具有代表性的例子进行分析，从而掌握各种极限的计算方法。

1一元函数极限的常用方法

1.1 利用极限运算法则求极限

四则运算法则是计算一元函数极限的基础运算法则，熟练运用四则运算法则，可以方便我们计算一元函数极限. 下面就来看看什么是极限运算法则.

定理1 (四则运算法则) 若极限与都存在，则函数当时极限也存在，且

1）

2）

又若则当时极限存在，且有

3）

上述法则是以自变量的形式给出的，其实只要是自变量同一变化过程，结论均为成立的，如等. 本文就不再赘述了.

虽然极限四则运算法则并不难理解，并且使用方便，但仍需要注意其应用. 下面通过2个例子来具体分析应用四则运算法则时需要注意的几个地方。

例1计算.

错误解法：

有时候我们会因忽视四则运算法则的前提条件而发生错误. 题中时，，也就是的极限不存在. 所以不满足定理1中极限都存在的前提条件，故错误.

正确解法：先计算

故                 .

注1：只有在函数极限中每部分的函数极限都存在，才可以使用四则运算法则进行加减.

例2计算

错误解法：

此解法错在商的运算法则未理解清楚，即使时，分子分母极限都存在，但分母极限值为，故不满足分母不为的前提条件，不能运用四则运算法则.

正确解法：先计算

极限不存在.

注2：只有当所求函数极限中分母极限不等于时，两个函数商的极限才等于两个极限的商

1.2 利用夹逼准则求函数极限

夹逼准则是求解极限的众多方法之一，它可以用来证明函数极限存在，也可以计算函数极限，技巧性较强.

定理2夹逼准则：设且在某内有

则.

下面通过例子来进行夹逼准则的应用.

例3求极限.

解：

由夹逼准则. 

例4求.

解：

    当时，有，

    由夹逼准则.

    当时，有，

    由夹逼准则.。

注3：夹逼准则在解题中要对函数进行适当的放缩，再利用极限其它相关性质才能得出计算结果。

1.3利用两个重要极限公式求函数极限

在数学分析中，我们会时常碰到一些相对麻烦的极限， 这时就需要寻求其他方法. 若能正确利用两个重要极限公式，就能迅速简化极限的计算.

两个重要极限公式一般形式为：；.

关于两个重要极限的证明，由于该节主要探究如何利用两个重要极限，故本文不再赘述.

下面通过例子来说明如何利用两个重要极限公式.

例5计算（1）；

（2）.

错误解法：（1）；（2）.

该解是明显错误的，出错的主要原因在于未认识到一个无穷小量的正弦函数与任一无穷小量之比的极限不为，以及错误地认为与一个无穷小量的和的无穷大次幂的极限均为.

正确解法：（1）；（2）.

注4：对于两个重要极限公式中的自变量应该在结构形式上表示同一个自变量，不然就会产生上述的错误.

例6求.

解：.

注5：从这个例子可以看出当使用两个重要的极限公式时，通过拼凑和三角恒等变形，可以将极限简化为两个重要极限公式的一般形式.

例7求.

解：.

例8求.

解：.

注6：当运用两个重要极限进行计算时，要善于观察和分析函数表达式的特点，同时注意自变量变化趋势，然后进行适当的处理，化成两个重要极限的形式进行求解.

小结：两个重要极限公式在应用时，首先应该明确自变量结构形式上的一致，然后再根据函数自身变化特点，进行灵活拼凑，转化成两个重要极限，从而得出正确的计算结果.

2 总结

求极限的方法繁多，类型不同，求极限的方法就不相同. 求极限的一般步骤是:首先判断所求极限的类型，如果是基本类型(第一类型)即满足极限四则运算相关要求的，就对应使用四则运算法则去求解;如果不是基本类型，是准(法)则、公式、定理类型(第二类型)，就使用对应的准(法)则、重要极限公式、有关定理求出所求的极限;如果既不是基本类型，也不是准(法)则、公式、定理类型，而是应用概念、性质类型(第三类型)，就使用有关的定义、性质求出所求的极限. 其次，要考虑所求极限的具体方法，有时候求极限的方法不唯一，求法多样，都能求出所求的极限. 最后，要思考所求的极限是否正确，即检查是否满足所求极限的条件.

 求极限的方法尽管方法多种多样，但每一种类型的极限求法都有特定的条件，做题之前必须要搞清楚题意，认真审视是否满足所使用的法则、公式、定理等的条件，只有符合定理、法则使用的条件才能使用该法则、定理求极限，千万不能机械套用，乱用，否则就会得出错误的结论. 只有勤奋多练、多思，善于归纳总结经验，极限理论及其求法才能熟练掌握，才能为高等数学的后继学习奠定坚实的基础. 另外，在极限的理论学习中，要始终把握求极限的科学性、简便性、学以致用的原则，要树立极限的数学思想，这对我们的学习一定也有较大的促进作用。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 高等教育出版社:北京,2010.

[2]魏本成. 利用极限定义证明极限的技巧[J]. 天中学刊，14（1999）：53-54.

[3]景慧丽. 利用四则运算法则求极限易错题分析[J]. 河南教育学院学报（自然科学版），25（2016）:62-64.

[4]薛秋. 利用两个重要极限求解的几点看法[J]. 数学学习与研究，15（2013）:94.

作者简介：李广川（1999.9-）；男；汉族；重庆云阳人；硕士在读；重庆三峡学院，数学与统计学院；研究方向：学科教学（数学）

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