关于动力固结问题的弱形式求积元分析

关于动力固结问题的弱形式求积元分析

江峰

142401198510221813 中化学交建同安产城融合建设（安庆）有限公司

摘要：弱形式求积法是一种新的高阶计算方法，它已成功地用于岩土和结构的分析。本论文将此方法进一步发展与完善，并将其用于饱和土的动力固结分析。首先，在比特饱和土波动理论的基础上，提出了以孔隙水压力、土骨架位移为基本控制变量的方法；建立了饱和土波问题的控制方程的弱形式，再利用洛巴托积分法和差分法对其进行数值积分与数值微分，在此基础上，利用 New mark法进行了时间域的渐进积分，并基于积元计算策略实现了对土体波动的有效控制，最后针对数值解准确性进行验证，证明了该算法的有效性。

关键词：弱形式求积元法；Ｂｉｏｔ动力固结理论

一、固结问题求解

固结问题的求解是土力学领域的一个经典问题，它与土体的渗流、变形等相互作用密切相关，已被广泛地用于岩土工程领域。由于常规问题比较复杂，一般不能求出含惯性作用的固结方程，只有用数值方法才能得到一个近似的结果。一般采用有限元法和边界元法进行数值求解，无限网格法，有限差分法，微分积法等。这些数值计算方法在解决动态固结问题时得到了广泛的应用。但是，这些低级方法仍有许多缺点，很难改进:该方法采用了一种低次线性内插，通过数值方式将波动周期拉长，并对振幅进行数值衰减，用数值方法计算出的速度与实际速度相差很大，这就是所谓的数字弥散误差和数值损耗误差，而且这种误差会随着时间的推移而逐渐增加，从而导致数值计算的可靠性降低。

二、弱形式求积元法

弱形式求积元法（Ｗｅａｋｆｏｒｍｑｕａｄｒａｔｕｒｅｅｌｅ－ｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ，ＱＥＭ）简称求积元法，它是一种新的高阶算法，它将弱格式描述与差分求积相结合，使其具有全域逼近的特性，其结果精度高，收敛速度快，可极大地减少问题的求解规模。在不进行网格分割的情况下，该方法可以增加单元数，降低预处理成本，提高计算精度。这种方法的积分和结点是一致的，而接下来的事情，就变得更加简单了。求积元方法先对问题泛函进行数值积分，再用微分的积逼近问题的代数方程。自从提出后，该方法已被广泛地应用于结构与岩土工程领域，并取得了较好的效果。通过运用该方法开展对饱和土的动态固结分析，能够很好的解决数值扩散和消散问题，使计算效能获得了极大的改善。首先，采用比特饱和土波动的基本原理，通过引入土壤的孔隙水压和骨架位移为主要限制因素，从而给出了各种弱形式饱和土的波动限制方程式;再运用Lo-Batto积分与差分积分法，对它进行了数值积分和数值微分，并利用 New mark法进行了时间域的渐进积分，用求积单元法求解饱和土波的列式，并用数值算法证明了该方法的有效性。

三、强夯法加固地基机理

（一）强夯法加固机理

关于强夯对饱和粘土地基的影响机理，目前已有很多学者对其进行了大量的研究，但意见不一，主要有“新动力固结论”和“波动性理论”。

基于强夯作用下饱和粘土在几十公分内发生的变形，梅纳德提出了一种新的动态固结理论，它与以往的固结理论背道而驰，也就是说，饱和粘性土壤是一种可压缩的材料。即，二相饱和土的流体中有几个密封的可压缩气泡，因此也能使土壤体积发生压缩。梅纳德也给出了一个动态固结模型，然而， Menard仅从宏观角度对以上机制进行了阐释，并没有深入研究。

（二）动力排水固结法加固机理

强夯施工的初期，只限于对沙质、砾石土进行加固，但通过近二十余年的发展与应用，在砂土、黄土、杂填土、素填土以及地下水处理等领域得到了较为广泛的运用，此外，受到强夯施工流程特点的影响，对于高饱和度黏性土而言传统强夯的处理效果却不佳，对淤泥质、淤泥质土壤的影响也较大。国外对强夯应用范围的认识目前还较为一致，严格意义上来讲，强夯施工主要适用于塑性系数小于等于10的土壤。近几年，由于强夯法的调整，技术策略的不断演进以及相关机制的进一步研究，使其应用领域得到了新的理解。郑颖人认为，如果选择适当的技术，针对软弱土壤，选择强夯法进行夯实，能够达到预想的补强作用。在饱和软弱土壤中为达到良好的补强作用，往往需要形成一个排水通道。因此，在软土地基上采用强夯法加袋装砂井（或插入塑料排水板）是一种行之有效的加固方法。

（1）动力排水固结法施工工艺

针对软弱地基的工程特点，采用水平排水和垂直排水两种方法对软弱地基进行排水，排水作业后，由施工人员采用电动夯实机等设备进行夯实，从而有效排出软弱地基土壤当中含有的水分，使地基得到有效加固，使土壤中的孔隙水得以排出。基于动力排水固结法进行软弱地基的加固，能够为后续结构施工奠定更加坚实的基础，确保后续施工安全可靠。

（2）动力排水固结法加固机理

本文从动静结合排水固结技术的特点出发，从冲击加载条件下饱和粘性土的固结过程入手，对其动力固结机理进行了详细的阐述。

1.能量转化和夯坑变形阶段：夯锤作用下的冲击力导致坑壁受到冲剪力的破坏，导致了周边土体的横向挤压和挤压。

2.撞击与土体结构变化阶段：受到撞击能的刺激，土体表面所存在的水膜发生变化，厚度缩减，从而产生自由水，孔压增加，土壤微观组织也随之改变，从而产生软化或触变带，其强度明显下降。

3.排水固结压密阶段：由上覆土的静载荷和动载荷所构成的"硬壳层"所产生的额外压力，通过自然或人为的排水渠道排出，孔压力降低，有效应力增加，使土壤颗粒形成更为稳定的次序，从而使地基的固结沉降得到进一步的加强。饱和软粘土因渗透性能较差而具有一定的时间效应。

4.触变强化阶段：随着持续的自由流，土体内的孔压逐渐减弱，自由水向弱键转化，触变区强度明显恢复，软化区强度增加，土壤均匀度增加，它的整体变形模量和强度都得到了很大的提高。

四、动力固结问题控制方程

在针对动力固结施工进行控制之前，需要将施工作业作为理想环境进行分析，假定软弱地基土体内部孔隙水压力ｐｗ为正，应力σ，应变ε为正，其计算方程如下：

（1）

（2）

在动力固结控制方程当中，α为比奥系数，Ｋｗ为软弱地基土体孔隙当中的水体积压缩模量，Ｋ指的是软弱地基土体压缩模量，ｎ为地基内部土体孔隙所占比重，ｕ为软弱地基整体结构受外力或内力影响产生的位移，ρ为软弱地基当中土体密度。基于应力原理方程：

（3）

其中为应力，ｍ为地基动力固结状态下计算当中的辅助向量，其在不同边界条件以及限制条件下所得出的值为及。基于达西定理公式：

（4）

其中为软土地基动力固结状态下内部渗透系数，为软土地基内部存水密度。在进行计算之前，可首先针对其虚功方程进行分析：

（5）

在虚功方程当中，Ｔ为面力，最终弱形式可表达为：

（6）

其中，为边界达西流速。

五、弱形式求积元法求解列式

与一般的有限元方法相比，弱格式求积法是先将弱格式的平衡方程进行数值积分，再对其进行数值微分，最后将其转化成一组线性代数方程。（5）方程首先进行数值积分：

（7）

其中：和是积分权系数，Ｎξ，Ｎη和Ｎζ是分布在不同坐标方向上的积分点数量，ＮＳ是在特定边界条件限制与制约下的面个数，和是坐标内部的雅克比表达。针对弱形式求解的计算当中，常使用洛巴托积分。接着，将会引入以下的转换：

（8）

其中，，，为各自联系矩阵，为计算过程当中坐标位移产生的变量，为单元孔压矢量，为变化过程当中的应变矩阵，可基于微分法进行计算求解，继续整理后得到

     （9）

其中，为弹性矩阵。接着采取积分法针对连续性方程进行运算。

  （10）

基于微分法进行计算后可得出孔压梯度参数：

  （11）

继续整理后可得：

   （12）

在整体角度上针对（9）和（12）进行汇总计算，得出相应方程：

  （13）

采用 ＮＥＷＭＡＲＫ 方法对时间项进行直接积分：

  （14）

式中，上标表示时间步，其他参数为：

           （15）

其中，为计算常数。采用积分法针对上述方程进行计算与换代后得出如下内容：

  （16）

最终可得出软弱地基动力固结问题的求解方程，将工程实践过程当中测定得出的相关条件参数进行带入即可得出最终地基结构发生的位移以及孔隙水受力产生的影响。

六、数值算例

（一）单相材料一维波动问题

针对图1当中的单相材料一维波动进行分析和研究。为减少计算步骤，本文将其作为理想状态进行研究，假设研究目标材料为单相固体材料，并针对土体底部与两侧进行固定，土体顶部受力为。

  （17）

图１ 单相材料波动问题示意图

对土壤的波形传播进行了数值模拟。土壤的弹性模量和泊松比率分别为10和0.3。在坐标当中按照算例条件以及计算要求进行单元选择，并将其进行仿真运算，将最终得出的方针运算结果与传统运算方式得出的结果进行比较，具体数据如图所示。通过对比发现，在波动传播初期，用有限元和积元计算出了较高的精度，有限元法的计算误差随时间的增加而增加，在1 s的时间内，积元的求解比有限元方法的效率要高得多，结果表明，用积分法求解波浪问题是有效的。

图２ 一维波动问题计算结果对比

（二）饱和土体一维波动问题

相比于算例一而言，本算例针对饱和土体当中产生的一维波动进行分析，结构模型如图1所示。结构土体波动比参数为0.3，渗透系数为ｍ／ｓ。

  （18）

选取10个四阶均匀分布的计算单元，并与有限元计算结果进行比较，这一问题采用了线性孔压力有限元方法进行求解。图3是孔压时程 y=9 m的曲线，图4示出了在 t=0.07 s的条件下，土体孔隙压力的分布，由该图所示的计算单元与有限元计算的结果十分一致，从而验证了计算方法的有效性。

图３ ｙ＝9ｍ 处孔压时程曲线

图４ ｔ＝0.07ｓ时孔压分布

结语

本文基于传统饱和土体波动传播理论的基础上，综合考量外界受力影响以及土体空隙影响，衍生出了有关土体的波动计算方程，利用Lo-Batto积分、差分求积法以及 Newmark法在时间域上的渐进积分，构建起了一项针对土体波动进行计算的策略体系。最后，用一维单相介质和饱和土壤中的波动传递问题对该方法进行了验证。数值结果显示，在求解波浪问题的初始阶段，无论是采用有限元还是求积元法，都是比较精确的，随时间的演变，积分方法比有限元方法具有更好的计算效率。

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