网络画板下圆锥曲线的常用绘制方法

网络画板下圆锥曲线的常用绘制方法

刘云松

（蒙自第一高级中学 云南省 蒙自市 661199）

网络画板是由中科院张景中院士带领团队在超级画板的基础上开发的一款基于移动互联网环境下的跨平台动态数学学科教学工具，可进行几何图形的快速创建，能直观地展示图形的绘制过程，还可以进行图像三维移动，长度测量、轨迹跟踪、演示等.与几何画板、Geogebra 等工具相比，网络画板具有支持多终端，资源丰富，通过网络即可在线访问、编辑、下载，易于分享，无需下载安装等特点.此外网络画板可与PPT，希沃白板5等软件兼容，可广泛用于中小学数学课堂的教学中，使数学课堂更直观、更有趣.基于此，本文通过介绍网络画板下圆锥曲线的绘图过程并结合圆锥曲线的绘图原理分析，以介绍网络画板的基本操作.

一、利用圆锥曲线的第一定义作图

1.椭圆的画法

椭圆的第一定义：平面内到两定点的距离之和为定值（该定值大于两点间距离）的点的轨迹叫做椭圆.

画法：

（1）选择线段工具，分别作线段和线段，其中线段；

（2）选择点工具，在线段上做点M，分别构造线段AM、MB，并测量线段AM、MB的长度；

（3）分别选择点,鼠标右键选择构造指定半径的圆，指定半径分别为线段AM、MB的长度；

（4）构造两圆交点,选择两点，鼠标右键跟踪两点轨迹；

（5）选择点M，创建点M在线段AB上的动画，运行动画，则点的轨迹就是椭圆（如图1-1）.

分析：∵,即；

      ∴动点的轨迹就是以为焦点的椭圆.

2. 双曲线的画法

双曲线的第一定义：平面内到两定点的距离之差的绝对值为定值（该定值小于两点间距离）的点的轨迹叫做双曲线.

画法：

（1）分别作线段和线段，在线段AB上取线段MN，其中线段；

（2）在线段上取点O，作线段MO和ON，并分别测量线段MO、ON的长度；

（3）分别以点为圆心,构造指定半径分别为MO、ON的圆；

（4）构造两圆交点,选择两点，并跟踪两点轨迹；

（5）创建点O在线段AB上的动画，运行动画，则点的轨迹就是双曲线（如图1-2）.

分析：∵,即；

      ∴动点的轨迹就是以为焦点的双曲线.

3.抛物线的画法

抛物线的第一定义：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.

画法：

（1）任取点O作水平直线；

（2）直线上取点Q，过点Q作直线的垂线段MN，线段MN上取点E，过点E作线段MN的垂线；

（3）选择点O标记中心，构造点Q关于点O的对称点F，连接线段EF，并构造线段EF的中垂线；

（4）构造的交点P，连接线段PE、PF并跟踪点P；

（5）创建点E动画，运行动画，则点P的轨迹就是抛物线（如图1-3）.

分析：∵点P到直线MN的距离为PE，到点F的距离为PF，且点P在线段EF的中垂线上；

      ∴PF=PE；

      ∴点P的轨迹是以F为焦点、MN为准线的抛物线.

二、利用圆锥曲线的第二定义作图

圆锥曲线的第二定义：平面内到一定点F与到一定直线的距离之比为常数 的点的轨迹.(定点F不在定直线上）.

(1)当时,点的轨迹是椭圆；

(2)当时,点的轨迹是双曲线；

(3)当时,点的轨迹是抛物线.

画法：

（1）作线段AB，并取点M，分别测量线段AM、MB的长度，计算；

（2）作线段OD，并取点N，测量线段NO的长度，计算；

（3）作直线，取直线外一点F；

（4）选中直线，利用变换平移工具，得到水平方向平移距离的直线；

（5）以点F为圆心，构造指定半径为ON的圆，构造此圆与直线的交点，并跟踪的轨迹；

（6）创建点N的动画；

（7）移动点M，则

当时,点的轨迹是椭圆（如图2-1）；

     当时,点的轨迹是双曲线（双曲线的左支或右支，如图2-2）；

   当时,点的轨迹是抛物线.（如图2-3）.

分析：∵动点P到定点F的距离，到定直线的距离为；

    ∴.

当时,点P的轨迹是以F为左焦点，为左准线的椭圆；

      当时,点P的轨迹是以F为右焦点，为右准线的双曲线的右支；

    当时,点P的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线.

三、利用分割函数作图

画法：

（1）选择坐标系，调出平面直角坐标系；

（2）绘制函数图像

椭圆：运用函数工具，分别绘制函数（如图3-1）；

双曲线：运用函数工具，分别绘制函数（如图3-2）；

抛物线：运用函数工具，分别绘制函数或（如图3-3）.

分析：根据圆锥曲线的普通方程，解出y，分别作所得函数的图像即可.

四、利用网络画板内置工具作图

画法：

（1）选择坐标系，调出平面直角坐标系；

（2）选择坐标原点，运用构造工具，可选择构造标准椭圆，通过对四个参数中改变其中两项，即可做出符合的标准椭圆（如图4-1），此操作也可用于标准双曲线的作图（如图4-2）.对于抛物线，只需确定p和开口方向，即可做出标准抛物线（如图4-3）.

分析：通过网络画板内置工具作图能比较快速的得到圆锥曲线的标准图形，可广泛应用在平时课堂.

参考文献：

[1]甘大旺.运用几何画板绘制圆锥曲线的十种方法[J].数学通讯,2019(06):34-37.

[2]杨永良,孔德宏.几何画板条件下椭圆的25种典型作法[J].楚雄师范学院学报,2016,31(06):5-14.

[3] 王鹏远.网络画板平台支持下的新一代数学实验室[J]. 中小学信息技术教育,2018(6):56-8.

[4]甄勇杰. 基于网络画板提升高中生数学学习质量的教学设计与实践[D].重庆三峡学院,2021.DOI:10.27883/d.cnki.gcqsx.2021.000045.

[5]赵小利.快速入门动态数学软件网络画板[J].华夏教师,2019(14):95-96.DOI:10.16704/j.cnki.hxjs.2019.14.064.

[6]王明义.网络画板应用之椭圆轨迹的常用作法.师道：教研,2020(1):96-96.