3.2.1直线的点斜式方程（教学设计）

3.2.1直线的点斜式方程（教学设计）

姚昌锦

德宏州民族第一中学  云南德宏  678400

一．内容及其解析

1.内容：这是一节建立直线的点斜式方程（斜截式方程）的概念课。学生在此之前已经学习了在直角坐标系内确定一条直线的几何要素，已知直线上一点和直线的倾斜角（斜率）可以确定一条直线，已知两点也可以确定一条直线。本节课要求利用确定一条直线的几何要素----直线上的一点和直线的倾斜角建立直线方程，通过方程研究直线。

2.解析：直线方程属于解析几何的基础知识，是研究解析几何的开始。从整体上看，直线方程初步体现了解析几何的实质----用代数的知识研究几何问题。从集合与对应的角度构建了平面上的直线与二元一次方程的一一对应关系，是学习几何的基础。对后续圆、直线与圆的位置关系的学习，无论是知识上还是方法上都有着积极的意义。从本节内容来看，学生对直线既是熟悉的，又是陌生的。熟悉是学生知道一次函数的图像是直线，陌生是用解析几何方法求直线的方程。直线的点斜式方程是推导其它直线方程的基础，在直线方程中占有重要地位。

二．目标及其解析

2.1 知识与技能：（1）认识直线方程与一次函数的关系。（2）知道直线方程的点斜式和斜截式及其适用条件。（3）会求直线的点斜式方程和斜截式方程。

2.2 过程与方法：（1）经历知识的构建过程，提升观察、探究、合作学习的能力；（2）知道直线的方程与方程的直线之间的对应关系，感受数形结合的数学思想。

2.3 情感态度与价值观：（1）体会几何代数化的思想，养成分析问题、解决问题的习惯；（2）利用多媒体课件的精彩演示，增强图形美感，感受数学美，增进数学学习的情趣。

2.4教学重点：直线的点斜式方程。教学难点：对直线的方程与方程的直线的对应关系的理解。

解析：1.知道直线上的一点和直线的倾斜角的代数含义是这个点的坐标和已知这条线的斜率。知道建立直线方程就是将确定直线的几何要素用代数形式表示出来。2.理解建立直线的点斜式方程就是用直线上任意一点与已知这两个点的坐标表示斜率。3.经历直线的点斜式方程的推导过程，体会直线与直线方程之间的关系，渗透解析几何的基本思想。4.在讨论直线的点斜式方程的适用条件与建立直线的斜截式方程中，体会分类讨论的思想，体会特殊与一般的思想。5.在建立直线方程的过程中，体会数形结合的思想，在直线的斜截式方程与一次函数的比较中，体会两者区别和联系，特别是体会两者数形结合的区别，进一步体会解析几何的基本思想。

三．教学过程

【设计理念】：本设计根据“诱思探究”的教学理念，充分考虑学生的学习基础和思维发展方向，以“问题引导，探究交流”为主，兼容讲解、演示、合作等多种方式，力求体现教师的主导作用、学生的主体地位，使教学过程中师生间“思维对话”得以“和谐而高效”。

（一）课前回顾：什么是直线的斜率？若已知点和点且，如何计算斜率？ ；

（二）揭示目标：1.了解直线方程与一次函数的关系。2. 知道直线方程的点斜式和斜截式及其适用条件。3.会求直线的点斜式方程和斜截式方程。

（三）自学指导：阅读课本P92-94，先独立完成下列问题与例题，再以小组讨论的形式解决问题和例题。

问题1：画出一次函数的图象，你能说出       

该图象与二元一次方程的关系吗？

观察图象可以知道，图象上的点的坐标都是二元一次方程的解，二元一次方程的解也都在该图象上，由此说明直线与二元一次方程具有对应关系。

设计意图：1. 说明直线与二元一次方程具有对应关系；2.了解一次函数和二元一次方程的关系.

问题2：已知点和斜率，能否确定一条直线？若能够确定，怎样求出其对应的方程？

分析：取异于点的坐标，根据斜率公式，有 ……（1） 得  ……（2）

追问：我们能不能用（1）式来作为直线的方程？

经过检验发现，点不满足(1)式，满足（2）式，因此直线上的每一个点的坐标都满足方程（2），反过来，方程（2）中的每一组解所构成的坐标都在直线上。因此，我们称方程（2）为直线的方程。

知识点：点斜式方程的概念。经过点，且斜率为的直线方程为。我们将方程称作直线的点斜式方程，简称点斜式。

问题3：已知直线过点；（1）求与轴平行的直线方程？（2）求与轴垂直的直线方程？

(1)当直线与轴平行时，斜率时：或 (2)当直线与轴垂直时，斜率不存在：或

例题1：直线经过点，倾斜角=45°，

求直线的点斜式方程，并画出该直线。

解答：设直线的斜率为，则，

所以直线点斜式方程为：.

当时，；当时，；则直线过点（0，5）和（-5，0），则可以在坐标系中画出该直线。

变式：求经过点, 斜率为的直线的方程？

解答：由点斜式方程得：，移项得.

思考：截距是不是距离？

分析：不是，截距是直线与轴交点的纵坐标，因此截距可以是正数、负数或者0；而距离不能为负数。所以截距不是距离。

设计意图：求直线的斜截式方程的已知条件（斜率和在轴上的截距），以及适用范围（不适合与

轴垂直的直线），并点明直线的斜截式方程与一次函数的表达式之间的联系——左端的系数恒为1，右端的系数和常数项均有明显的几何意义：是直线的斜率，是直线在轴上的截距。

知识点：斜截式方程的概念。在式子中，为直线与轴交点的纵坐标，我们把它叫做直线在轴上的截距，而是直线的斜率。因此，将方程称作直线的斜截式方程，简称斜截式。

例题2：已知直线，，试讨论：（1）的条件是什么？  （2）的条件是什么？

设计意图：结合上节课所学对直线平行与垂直作进一步探讨，设直线和的斜率，都存在，其方程分别为，，那么①且；②且⇔两条直线重合；③.

（四）小组互助：学生自学完成后，小组进行交流讨论，梳理学习过程，完成相应问题和练习，做好展示准备。

（五）小组汇报：请小组到前台进行成果展示，将学习历程和讨论结果和大家分享，其他组做好补充、提问、质疑准备。

（六）教师点拨

对小组汇报中存在的问题进行纠正，遗漏的问题进行补充，不能解决的进行释疑。老师要尤其注意学生在讲解的过程中是否有方法总结，思路是否清晰。在学生讲解例题1,2的过程中需注意学生是否强调了直线的点斜式和斜截式方程，从而教师在点拨时需要点明：当已知直线的斜率和与y轴交点的坐标时，常用斜截式写出直线的方程，较直线方程的点斜式更为方便．而在利用这两种方程求直线时特别需要注意点斜式和斜截式的适用范围，因此在确定了一个点的前提下，一定要先看直线的斜率是否存在。

（七）当堂检测，完成配餐作业（略）