深度学习问题引领式教学分析——裂项相消法的变式教学初探

深度学习问题引领式教学分析——裂项相消法的变式教学初探

吴信侃

深圳市沙井中学

摘要：裂项相消法求数列前n项和在历年的高考真题中属于热点知识点，学生在这一部分知识中容易出现的现象是：如果给出的通项不是常见的类型，学生会无从下手。这跟学生不清楚裂项的本质有关。裂项的本质是将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题关键是准确裂项和消项。通过变式教学让学生真正学会裂项的本质。

关键词：变式教学；裂项相消法；高考备考

复习课是高三数学教学的主要课型，如果一味地采取“题海”战术，或是就题论题的话，学生不但学习疲劳，而且对学生形成知识结构，提升学生的数学思维没有实质性帮助。我们知道高三一轮复习，应定位为构建完整知识网络，夯实基础，查漏补缺，认识事物本质，优化解决数学问题方法，为提高学生能够数学思维能力，探索能力打下坚实基础。

一、研究的问题和意义

何谓深度学习? 这是一个整体的学习状态，是学习者全心全意投入的过程。不是加工学习者大脑内部信息的过程，而是充满感情、意志、精神、兴趣的过程，是社会过程和文化过程。中国教育部基础教育课程教材发展中心开始研究的“深度学习”教育改善项目是在教师的指导下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全心全意积极参与，体验成功，取得发展的有意义的学习过程。深度学习不仅是一种学习方式，也是一种学习理念。本文所说的深度学习是指在问题引导的基础上，促进自主探索、深入参与、知识转移和创造的过程，提高数学高级思维能力的学习方式是问题引导式教学吗？《普通高中数学课程标准（2017年版）》中指出，以数学学科核心素质为基础的教学活动应把握数学的本质，创设合适的教学情境，提出合适的数学问题，引发学生的思考和交流，形成和发展数学学科的核心素质。问题引导式教学是指教师设计合适的数学问题，引导学生用数学的思想方法解决问题。在解决问题的过程中，了解数学内容的本质，促进深层学习。由问题引导探究不仅有助于学生更好地掌握知识技能，而且有利于学生学习、思考和实践数学，是学生形成和发展数学学科核心素质的有效载体。目前高中数学教育普遍存在这样的问题：重视知识的结果，忽视知识的形成过程。新课匆匆过去，复习课一次又一次；学生作业量大，没有时间反省、整理、深造；没有知识碎片化、系统性和结构化等。由于上述问题，学生学到的更多是知识的象征。理解不深，思考质量不能提高。运用知识解决实际问题的能力薄弱，学习动力和热情不足。没有知识和素质的问题比较严重。对于上述问题，数学教育要实现“以知识为本”、“以素质为本”的跨越。必须通过构建支持“深度学习”的课堂环境，促进学生学习方式的转变，重视知识本身及知识点之间的层次性和关联性。深度学习需要课堂转换，但“问题引导式教学”可以有效地促进深度学习。

二、教学分析

（一）知识层面

裂项消除方法是级数求和中的一种重要方法，它的使用是基于等价级数和其他级数的求和，既可以应用于等价级数的求和，也可以应用于等距级数的求和，是完善序列自身知识结构和知识体系的内在要素。

（二）能力发展层面

学生在学习裂项相消的过程中会记下很多公式，其实公式并不难记住，而这些公式的研究和推导过程以及经验过程中的数学思维和思想方法是教学的重中之重。教师应该在公式推导的过程中，让学生有机会理解作为这种经典方法基础的数学方法和数学思想，感受这些“冰冷的”公式背后是前人“火热”的思考。即使这样的研究过程没有最终的结果，也不能认为这样的内容不适合研究，只要学生思考、探究，他们的思维能力就会发展，这是富有成效的研究，至于本课的智力结论，在学生已经充分思考的基础上，学生处在“心欲求而未得”的愤悱状态时，教师告知讲解，不仅无妨，而且恰当。通过这种教学方式，让学生从特殊到一般的思想，培养学生分析和解决问题的能力，让学生在研究活动中积累基本的活动经验，培养数学抽象、逻辑推理和数学能力，让核心素质在中学数学课堂扎根。

三、教学过程

例1.已知等差数列的前n项和为，且，则数列的前10项和为(　　)

A．　　　　　　　B．C．              D．

评析：此题是基础题，学生自己做完对答案，基本上对型的数列求和都比较熟练。

变式1：已知数列，设，求数列的前n项和。

生1：从数列通项的特点分析我们应该可以用列项法，分母可以写成，可是分子不是常数，那应该怎么办呢？

生2：因为数列通项的分子和分母的最高次是一样的，我们可以尝试先分离常数看看。分离常数后得到了，嗯，这就是我们非常常见的裂项形式，接下来只需把数列分两组分别求和就可以了！（此时学生自主地鼓起了掌）。

师：生2善于观察的好习惯值得大家学习！他善于将我们未见过的结构转化成我们所熟悉的结构，非常不错！那从这道题中我们发现只要数列通项是分式时，求其和可以往裂项法去思考咯！

变式2：

生3：我发现分母正好写成了两项的乘积，可以尝试先让它裂成，通过通分发现它就是

，所以此题就是裂成这两项了。

师：生3掌握了裂项法的“精髓”了哈！那接下来请同学们按生3裂成的两项进行求和吧！

变式3：（2020年天津卷改编）

师：这是一道2020年的天津高考压轴题，通过给出的数列通项的特征和要求的和，我们知道应该分奇偶数项分别求和。偶数项是一个首项为，公比为的等比数列，用等比数列求和公式求即可。但是奇数项呢？

生4：我发现分母是我们平时常见的裂项的形式，但是分子很复杂，我尝试了分离常数，可是分不出来。

生5：我尝试将这个式子进行了变形化简：

师 ：生5的变形化简能力了得，大家给他掌声鼓励！通过变形化简，得到奇数项也可以裂成两项相减，那最后能起到相消的目的吗？同学们来试试！

生6：可以。即

师：非常好！接下来我们只需将奇偶数项的和加起来就可以了！

变式4：

若数列的通项公式为，令，则数列的前n项和＝____________．

生7：先将通项化简得：＝， 通过化简发现分母是常见裂项的结构，应该可以裂成和这两项。但是如果是两项相减的话，分子当中还是有4（n+1）到时就起不到相消的目的了。不知道怎么办了？

师：同学们来观察这个通项的前面含有，我们知道通常是起到调节正负符号的作用，也就是说这个数列的项是正负交替出现的，而且4（n+1）=(2n+1)+(2n+3),由此我们尝试一下是不是可以将通项裂成即

＝，

学生通过引导，得到如下解析：

当n为偶数时，

当n为奇数时，

所以

解题感悟：在平常的教学中，学生和老师接触得比较多的裂项是裂成两项相减，对于裂成两项相加比较少见，本题可以很好地突破我们的固定思维，使学生更好地掌握裂项求和法的本质。

三、教学感悟

高三学生具有较完善的知识结构和经验积累，思维水平逐渐走向综合化，可以从不同角度，不同侧面考虑问题，更加具备了通过现象看到本质的能力，所以在高考备考中我们可以因势利导，以难度适当的问题为背景，激发学生从多角度，多方位中实施探究，从中达到对知识深层次地理解，并在解题中善于反思，总结，从而达到“会一题通一类题”的境界。在高三的复习备考过程中，作为一线教师的我们可以多采用变式教学的方式，通过基础标准型题目变式训练，实现对数学知识的整理和归类，并形成一定的解题思路和思维方式。老师可以有目的，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探究“变”的规律，帮助学生将所学的知识融会贯通，从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣。

小结与反思

问题引导式教学是教师设计有思维空间的问题，搭建探究平台，提出探究方向，引导学生在探究过程中遇到的障碍，合理安排学生进行合作交流，及时评价学生的探究结果，促进学生的思考和创造，提高认知水平要构建结构。笔者以裂项相消法为例，以问题引导的形式激发学生的探究欲望，促进学生体验推测、尝试、验证的探究过程，体现知识的产生和发展过程。

参考文献

[1]端木彦，孔德鹏.积淀活动经验  创新变式教学：以高三微专题“函数零点”教学为例[J].中国数学教育，2018（6）

[2]陈清松.变式训练在高中数学解题教学中的应用探析[J].数学探究，2020（7）