整体视域下小学数学“尺规作图”教学问题与策略研究

整体视域下小学数学“尺规作图”教学问题与策略研究

吴少东

杭州市春晖小学     

【摘要】“尺规作图”作为2022版新课标“图形与几何”领域中新增加的内容，有着非常重要的学习和研究价值。在小学落实“尺规作图”教学不仅能锻炼孩子的动手操作能力，培养孩子的逻辑推理能力，更能帮助孩子积累作图语言，把握知识本质。作为教师，我们应该基于整体视域，围绕素养发展目标，对学习内容进行统整和适当补充，采取积极有效的策略，落实学习内容，引领学生更好地与初中学习接轨。我我

【关键词】 尺规作图   整体视域   数学素养   教学策略

史宁中教授指出运用“尺规作图”的方法不仅能帮助孩子积累操作经验，促进学生数学逻辑思维的形成与发展，帮助学生从整体上把握知识的本质，更能培养严谨求实的钻研态度。

一、“尺规作图”教学在小学数学教学中的现状分析

1.教材没有课例

一直以来“尺规作图”都是初中图形与几何领域的必修内容，也是该阶段孩子必须要掌握的基本技能。而当下小学阶段的各版本教材中只在第三学段（六年级）教材中安排了关于用圆规画圆的方法（那是学生刚刚接触圆规的开始），其它如画线段、画角、画平面图形，等相关的画图内容都只是利用带刻度的直尺、三角尺、或量角器来完成，所以严格来说，小学阶段的“尺规作图”在教材中是找不到课例和参考依据的。

2.教师没有意识

正是因为没有教材可依，所以鲜少有教师开设过“尺规作图”的课程教学。老师们认为小学阶段学生即使是利用直尺、三角尺和量角器等工具也能达成“画图”的目的，并且长期以来也都是这样教学的，所以老师们不太愿意涉及未开垦的新领域，也有老师认为“尺规作图”到初中才会接触，没必要越俎代庖，提前教学，以免造成知识混乱。

3.课标没有规定。

2011版课标中对小学“画图”教学的要求是：掌握初步的测量、 识图和画图技能；了解几何体和平面图形的基本特征，能在方格纸上画出简单图形和运动后的图形，掌握测量、识图和画图的基本方法。这种要求与“尺规作图”还是有所区别的，因为“画图”的概念是非常笼统的，没有明确的学习目标，也没有作出具体的教学指导，所以这也是“尺规作图”教学不受重视一个重要原因。

二、“尺规作图”在小学数学中的价值界定

1.重要性

“尺规作图”其实并不是当下的新课题，它最早源于古希腊的数学课，距今也已经有2000多年的历史。所谓“尺规”指的就是用没有刻度的直尺和圆规，通过有限次的操作，绘制出规范的平面几何图。借助“尺规作图”可以让传统的“画图”操作更加精准，更符合数学学科的严谨性。同时通过数学化的操作流程，帮助学生在推理和应用中迁移，打通知识间的内部联系，理解图形反应的知识本质，也才能更深刻地理解并掌握几何知识。同时通过作图还能培养动手操作能力、空间想象能力、培养和积累数学的作图语言，为将来初中进一步学习“尺规作图”奠定基础。

2.必要性

调查研究表明，多数孩子上初中后几何证明成为了他们最薄弱的领域，总让他们陷入无法“言传”的尴尬境地，究其原因还是在小学时期，缺乏符号运用能力和逻辑推理能力的培养训练，导致思维的断层和认知的颠覆，也就无法开展深入的探索研究。

3.优势

目前小学“画图”的工具几乎都是用三角尺或量角器，这些工具材质繁多，比如，尺子就有可能因为薄厚不同，导致在“画图”操作中产生诸如“无法贴边”、“对线不齐”、“直角不尖”等造成的误差。甚至还有学生认为画图只要看起来像就可以，并不理解操作的意义，所以常常草率地选择能画出直线的物体都来替代，比如用校徽替代直尺画线段，用刻度线代替直角边来画角等，这样势必会养成不求甚解、不严谨的坏习惯。而运用“尺规作图”，不仅不受工具材质影响，操作简单规范，作图精细误差小，还能培养学生的细心、耐心以及探索精神，能帮助学生更好地理解知识的本质，有利于教学的一致性和整体性。

三、新课标中关于“尺规作图”的相关要求

2022版新课标发布后，对“尺规作图”教学在不同学段的“内容要求”、“学业要求”和“教学提示”上都作出了明确的说明和指导（如表1）。

表1

新课标对“尺规作图”的要求更具体也更明晰，不仅强调了“尺规作图”的价值及对素养能力培养的重要性，更给一线教师们的教学提出了指导性意见。旨在通过“尺规作图”教学，引导孩子们理论联系实际，并在实践操作中积累操作经验，锻炼几何语言、作图语言以及符号语言，形成几何直观能力。

四、整体视域下“尺规作图”的教学策略

整体视域下的“尺规作图”教学，是指站在小学阶段有关“作图”内容的全局视野下，针对学生的阶段化发展目标，对教学内容进行结构化整合，探索相关素养发展的路径，通过对教材中的知识体系进行分析结合学生能力基础，提炼出以下策略。

（一）多维比对分析，整合提炼内容

1.新旧课标纵横比对

将2022版新课标中有关“尺规作图”的内容进行纵向比对（如表2），我们发现，大部分有关“尺规作图”的内容都安排在了初中阶段（第4学段），小学部分涉及较少，个别也都安排在了2、3学段，这与学生的能力发展水平有关。再通过与2011版课标中的“画图”要求进行横向比对，除了“用圆规画圆”这一要求不变的情况下，2022版新课标在第二学段新增了“利用尺规作一条线段等于已知线段”、“把三角形的三条边依次落在一条直线上，感悟周长”，这两个内容。在第三学段中安排了“给定线段，利用尺规画三角形，感悟三角形三边的关系”这几项。新增的内容并不多，但是学段跨度比较大，相对比较零散。

2.教材内容深浅比对

对当下的人教版教材及配套练习作业进行整理分析后，我们还发现，其实我们的教科书中早已经涉及一些如：“将∠1平均分成两个角”有关角平分线的问题；或者是，要求“画出三角形的三条高，说一说你的发现”等类似三角形垂心的问题；亦或是根据给出的边或角的信息，画一个一模一样的三角形的问题。这些问题，除了可以用三角尺或者量角器能解决之外，还可以引导学生利用尺规进行适当的探索。再来观察2022版新课标中有关“尺规作图”的内容安排（表2），我们发现，其实初中的一些“尺规作图”的内容并不复杂，例如，利用尺规画线段的“垂直平分线”、作角的“角平分线”，或者作与已知角相同度数的角……这些作图方法小学生也完全有能力掌握，所以我们应当鼓励和引导学生通过“尺规作图”的方式进行进一步的探索，让学生在实践中感受作图背后的原因。

表2

3.统整提炼课程内容

如果说利用量角器或者三角尺“画图”验证，注重的是一种感性的体验，那么“尺规作图”就是一种探索和发现，更注重理性的认知。为了帮助学生更好地探究“尺规作图”的原理，我们除了要综合运用这两种方法，更要对学习内容进行统整、归类和补充，明确学习顺序和目标。根据课程标准提供的内容指导和现行教材的编排特点以及学生的现实基础，我们整理出了以下课程目录（如表3）

表3

（二）整体把握目标，积淀数学素养

围绕课程目标和内容，教师要用高观点视角整体把握“尺规作图”内容，适当地将教学内容进行整合和调整，除了要在教学中努力引导学生追溯知识发生的原点，发展学生的动手操作能力、几何直观水平，促进逻辑思维的形成和发展，更要在操作中帮助学生提炼方法，产生迁移，丰富学生的作图经验和语言，感悟几何事实，提高应用能力，为将来进一步学习打下坚实的基础。

1. 通过“尺规作图”提高操作能力

“尺规作图”的过程，就是一项利用作图工具的实操过程。小学生好玩好动，在多种作图工具的支持下，孩子们可以自主选择作图工具，积极探索，手脑并用，在实践与交流中不断修正作图步骤和方法，最终熟练地掌握作图技巧。比如在教学画三角形时，我们出示了这样一个操作任务：

提出问题：画出与图中一模一样的三角形你有什么办法？

合作要求：

①试一试：选择恰当作图工具，独立完成作图。

②说一说：组内交流画法。

③试一试：尝试只选择圆规和直尺再次作图，

有困难的同学可以与同桌合作完成。

④比一比：两种方法共同点和优缺点。

其实这是一个非常开放的问题，受到经验驱使，学生可能会首先选择利用量角器量出角的度数和用直尺测出所有边长，确定三角形的角和边的之后再进行画图。其实在操作过程学生自然会发现，其实只要在已知三边长或者已知两角一夹边或两边一夹角的情况下都可以复制出三角形，那么方法就得到了提炼优化。再进一步地追问“只能选择尺规的情况下是否可以作图”，学生就会带着经验去探索尺规做图的过程，通过动手尝试，就会发现，只需要尺规截取线段和画角即可，并不需要测量角度和边的长度，不仅操作更加简单，精确度也高了。这样的动手过程不仅能锻炼学生手脑并用的能力，也使学生对将来要学习的“全等”三角形的认识更加深刻、丰满。

2.通过“尺规作图”丰富作图语言

数学的推理离不开数学的语言和符号，包括作图的语言，这也是数学表达的基础，而小学生的作图语言普遍比较匮乏，并没有形成规范。除了老师们不太重视，还有一个重要的原因是，小学很多说理题的要求总是“言之有理即可”这就出现了“文字说理式”“算式说理式”“图形说理式”等表达，方法不统一，不规范更不完整，与初中的几何教学脱节。其实我们可以借用“尺规画图”的机会，帮助孩子规范数学语言和作图语言，学会数学化的表达方式。比如以画垂直平分线为例,我们可以这样表述：

①分别以点A和点B为圆心，以大于AB

长为半径画弧，两弧相交与C、D两点；

②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线             图1

3.通过“尺规作图”厘清概念本质

小学阶段学生最容易混淆的就是“周长”与“面积”，即使很多学生能对“面积”和“周长”的概念倒背如流，做起题来却不容乐观，其中最主要的原因还是先入为主的视觉冲击，因为面积是一个面，而周长恰恰围在这个面的外面，围出了一个范围，所以如果我们在教学“面积”时引进“尺规作图”的方法，将三角形或者其它多边形的周长转化为几条线段之和集中在一条线段上，就能帮学生建立起周长作为“线”的本质属性，也就能很好地帮助区分“面积”了。

4.通过“尺规作图”促进方法迁移

“尺规作图”的方法其实就是利用圆规取线的方法，不管是取线段，画“垂直平分线”还是找“角平分线”，它们之间的方法是相通的，可以进行相互迁移，我们以“画角平分线”为例（如图2）。

图2

由于受到“垂直平分线”作图方法的启发，在找“角平分线”的时候，学生就会想到在角在内部构造两个全等三角形的方法，达到将角平分成相等两角的目的。在构造三角形的过程中，又会利用画三角形时的经验，再次迁移，用圆规先在角的两边截取两条等长的线段作为三角形中一组相等的边。再利用“中垂线上的点，到线段两段的距离相等”的结论，构造另一组相等的边，同时还找到的一条公共边，证明这两个三角形是相同的，最终找到了角平分线。

再比如，利用尺规测量三角形的周长时，由于有了“利用圆规截取边长聚集到同一条线段上获得周长”的经验，所以又可以把这种方法迁移到其他多边形的周长求法上。所以学生一旦掌握了“尺规作图”的本质，就能在作图时迁移自如。

5.通过“尺规作图”，发展应用意识

“尺规作图”除了是一种帮助推理的技能，也是一种解决问题的方式，它也能为现实生活服务，我们应该尽可能地发挥它的应用价值，激发学生深入研究的兴趣和动力。例如我们以“配玻璃“为例。

出示问题：

一块三角形玻璃摔碎了（如图3），碎成了3块，只要拿其中的一块碎片就能配一块一模一样的玻璃，拿哪块合适？

                             图3

学生先通过已有的经验进行判断和选择，再通过“尺规作图”的方法进行修复，并通过作图语言去描述方法：第①块无法修复，因为已知一个角，无法确定边长；第②块无法修复，因为既没有角也没有完整的边。只有第③块可以修复，因为它满足了已知两角一夹边的条件，然后学生就可以开始着手作图了。学生们对于这样的问题还是非常感兴趣的，纷纷主动尝试，充分激发了学生探索的热情。 像这样体现“尺规作图”在生活中应用的现实问题还是比较多见的，借助“尺规作图”的方式培养学生的应用意识。

（三）融合信息技术，辅助“尺规作图“教学

教育的发展，网络的迭代更新，使得网络与教学的联系更加紧密，各大网络教学平台地兴起为“尺规作图”教学打开了一扇窗，我们的上课方式也不只拘泥于课堂教学这一种形式，利用多媒体技术、动画演示等方式，将“尺规作图”更加直观便捷地展现在学生面前，不仅能加强学生的感官体验，对知识的理解更加通透深入，更能促使学生尝试探索更加宽广的领域。

简单、准确、实用、理性，是“尺规作图”方法的精华所在。小学阶段引入“尺规作图”教学，不仅仅是为了让学生学会画图，因为在作图的过程中留下的痕迹与简单的推理过程，都是学生进行思考、尝试、分析等思维过程的具体表现，其中不仅蕴伏了学生的逻辑推理能力，几何证明能力，同时也体现了做事的严谨性和细致程度，更能间接达成数学学科育人的价值，助推数学核心素养的达成，实现小学数学、中学数学的有效衔接。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 （2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022，4．

[2]曹培英 .跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究［M］. 上海：上海教育出版社，2017：46.

[3]张琦.在小学数学教学中引进“尺规作图”的实践性研究[J].小学数学教师，2019（01）：32-36.