发展数学思维  精彩“讲题”以2022年常州市中考卷第8题为例

发展数学思维  精彩“讲题”以2022年常州市中考卷第8题为例

李欢欢

常州市武进区遥观初级中学213102

摘要：为提升教师的专业素养和业务能力，常州市经常会组织一些比赛，如命题比赛、说课比赛、讲题比赛、解题比赛、基本功比赛等，而笔者有幸参加了常州市讲题比赛，并荣获二等奖。现将整个讲题思路从审题环节、解读题干和统计图、解题方法、解后反思、变式训练等方面整理如下。

关键词：审题；解题方法；中位数

一、原题呈现

某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0～100km/h的加速时间和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据．已知0～100km/h的加速时间的中位数是ms，满电续航里程的中位数是nkm，相应的直线将平面分成了①、②、③、④四个区域（直线不属于任何区域）．欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在（　　）

A．区域①、②B．区域①、③C．区域①、④   D．区域③、④

二、审题环节

1.试题分析

这道题来自2022年常州市中考卷选择题压轴题第8题，分值是2分。考查的知识点是中位数。这道题考查了学生的分析推理能力、理解能力、阅读能力、信息处理能力，涉及到跨学科、时代背景。难点是对题意的理解，以及对统计图的分析。解决这道题的关键点是对“欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变”的理解；这道题大概177个字，是这份卷子的前面7道选择题的平均字数的6倍。

2.知识点卡片

（1）中位数定义：

将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数。如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息。

3.学情分析

学生读不懂题意，看不懂统计图，统计图中有20个点，比较密集，会干扰主观审题意识。学生不了解新能源汽车这个现实背景中提到的加速时间、满电续航里程。这道题属于新题型，字数较多，没有亲近感，不容易捕捉重点和考点。

4.题意理解

在原先20个数据中加入2个新数据，使这些数据的中位数保持不变。图中的每一个点即对应到横坐标的数据，又要对应到纵坐标的数据，每个点需要进行二维解读。

三、题意解读

1.解读题干

这20个数据中新加入2个新数据使中位数不变。为了促进学生理解这个意思，设置了一个新问题：在这些数1，2，3，4，5，6 中添加2个数使中位数不变，下列添加的数正确的是（   ）

A、6，7  B、1，2  C、3，3  D、1，9

2.解读统计图

方法一：让每位学生将每一个点的横纵坐标的大概数据写出来。如（200,6）。

方法二：将二维散点图分解为2个一维散点图，然后找到中位数。

满电续航里程的统计图中，比中位数n小的10个点分布在①④区域，比中位数n大的10个点分布在②③区域。在0到100的加速时间的统计图中，比中位数m小的10个点分布在①②区域，比中位数m大的10个点分布在③④区域。

四、解题方法

1.方法一：排除法

若这两个点分别落在区域①、②，总体数据的中位数将变小，故A不符合题意；若落在区域①、③，则两组数据的中位数可能均保持不变，故B符合题意；若落在区域①、④，总体数据的中位数将变小，故C不符合题意；若落在区域③、④，总体数据的中位数将变大，故D不符合题意；

2. 方法二：特殊值法+排除法

若在区域①中加入一个点（400，3）；若在区域②中加入一个点（800，3）；若在区域③中加入一个点（800，6）；若在区域④中加入一个点（400，6）。若这2个点落在区域①和②，必然导致加速时间的中位数变小，排除A。若落在区域③和④，必然导致加速时间的中位数变大，排除D。若落在区域①和④，必然导致满电续航里程的中位数变小，排除C。

六、解后反思

不管数据是通过直接列举、折线统计图、表格、条形统计图、散点统计图等方式呈现，

都需要抓住中位数的定义，抓住关键点，选好方法就可以快速高效地解决问题。不管这个时代背景跟学生的实际经验有多大的出入，都要抓住重点，抓住考点，将生活问题转化为数学问题，从而解决问题。

    这道题是选择题第8题，选择题中的压轴题，很多学生看到题号就觉得想要放弃，但是这个题其实并不难，难度系数是0.6，所以需要从心理上克服惧怕心理。另一方面这个题阅读量比较大，需要学生从复杂的背景下提取关键信息，从而捕捉考点，结合考点分析问题，中考中中位数这个知识点的考查要求并不高。选择题和填空题需要给学生传授一些解题方法和技巧，从而快速高效地解决问题。

七、针对性练习

1.（数据直接列举）某女子排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：170，174，178，180，180，184．现用身高为178cm的队员替换场上身高为174cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（　　）

A．平均数变大，中位数不变   B．平均数变大，中位数变大

C．平均数变小，中位数不变   D．平均数变小，中位数变大

2.（折线统计图）4月23日为“世界读书日”，某学校开展了“书香校园”的活动．如图2是某班统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），则这50名学生图书阅读数量的中位数是 ，平均数是 。

图2                                 图3

3.（条形统计图）老师布置了10道选择题作为课堂练习，如图3是全班解题情况的统计，做对题数的中位数为。

4.（表格）下表是九年级一班23名女同学每分钟仰卧起坐的测试情况统计表：

则该班女生每分钟仰卧起坐个数的中位数是。

5.（中位数的变化情况）在一次体质测试中，老师对集体测试的成绩按40人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是88，中位数是85．一位缺席同学的补测成绩为88分，该班级41人的体质测试成绩，下列说法正确的是（　　）

A．平均数不变，中位数变大  B．平均数不变，中位数无法确定

C．平均数变大，中位数变大      D．平均数不变，中位数变小