例谈流程图法在几何证明中的应用

例谈流程图法在几何证明中的应用

王湖清

遵义市第三十中学

流程图法是从求证结论出发，结合已学习的判定方法、定理、性质等和题干已知和图形特征拟出主要的证题思路，在主要证题思路框架下不断地寻找相应条件（包括直接条件和准备条件），直到达到推出结论的过程，使证题思路条理化、让证明题的思考方法和思考路径清晰可见的方法。笔者在平时尝试将这种方法运用在几何证明的教学中，使解决证明题的思考方法和思考路径的思维清晰可见，使学生对几何证明的学习有了具体可模仿的做法，学习效果是显然的。

下面笔者以矩形的性质和判定的灵活应用选择了两道典型例题，引导学生学会从求证结论出发，结合题干已知和图形特征拟出主要证题思路，然后通过画流程图的形式条理化证题思路，在主要证题思路框架下不断地寻找相应条件（包括直接条件和准备条件），直到达到推出结论的过程。

例1 如图,在矩形ABCD中,E是BC

上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.

求证：DF=DC.

【题目分析】本题的达成目标是DF=DC，结合图形特征和已知，没有直接所在的三角形，结合矩形性质AB=DC转化，证明DF=DC可以转化为证明DF=AB，找DF、AB所在的三角形，证明其全等即可；或由AE=AD，转化为证AD边上的高等于DC；或添辅助线，构造直接所在的三角形，证明其全等即可。

下面笔者通过流程图法将具体的分析过程呈现如下：

从流程图可以清晰的看出证明本题的目标结论，有三条路径，每一条路径对应着一种分析思路，每一种思路对应着一种证明方法。书写证明过程时，从找条件下的开始，先做准备条件，再罗列直接条件（题干已知和图形已知），最后达成求证目标。

以思路一（结合矩形性质：AB=DC转化，可以找DF、AB所在的三角形），书写过程为：

证法一：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD∥BC， AB=DC

∴∠AEB=∠DAF，

又∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，∴∠B=∠AFD，

又∵AE=AD，∴△ABE≌△DFA（AAS）

∴AB=DF,∴DF=DC证毕。

以思路二（由AE=AD，转化为证AD边上的高=DC），书写过程为：

证法二：连接DE，作AD边上的高EG，

∵DF⊥AE，∴DF为AE边上的高，

又∵AE=AD，∴由面积法得EG=DF，

又∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，AD∥BC，

∴EG=DC（平行线间的距离处处相等），

∴DF=DC证毕。

以思路三（添辅助线DE，构造直接所在的三角形），书写过程为：

证法三：连接DE,

∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，AD∥BC，

∴∠ADE=∠CED，

又∵DF⊥AE，∴∠DFE=90°，∴∠C=∠DFE，

又∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE，

∴∠AED=∠CED，

又∵DE=DE

∴△DFE≌△DCE（AAS）

∴DF=DC证毕。

【方法点评】流程图法形象直观地将思维过程可视化了，让思维过程和思考路径变为了可以看得见的、条理化的图形，学生很容易接受。一种流程对应一种证明思路，一种证明思路对应一种证明方法，体现了思维的发散性，方法的多样化。

例2  如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交

于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至

M，使CM＝AN.

求证：四边形NDMB为矩形．

【题目分析】本题的达成目标是判定四边形NDMB为矩形，结合矩形的判定方法（判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形，判定2：对角线相等的平行四边形是矩形，判定3：有三个角是直角的四边形是矩形）图形特征和已知，可以先画出流程图，就可以把解决问题的思考路径和思考方法直观形象的体现出来。

本例题的具体分析过程的流程图法呈现如下：

从本例所呈现的流程图看推四边形NDMB是平行四边形是三种思路都必须要完成的，而且推理思路完全一样。但第一种思路在推∠DNB等于90°时，是很绕的，第二种思路推对角线相等更直接明了，第三种思路复杂，在第一种思路推出∠DNB等于90°和推出四边形NDMB是平行四边形的基础上还要由平行四边形的性质去推三个角等于90°，就更绕了，由此可以很快的选出按第二种思路写出的证明过程为最优证法。最优证明过程如下：

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC ， OB=OD，

又∵CM＝AN，∴OC+CM=OA+AN，即OM=ON，

又∵ON＝OB，∴OM=ON=OB=OD，

∴四边形NDMB是平行四边形，且MN=BD

∴四边形NDMB为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）

【方法点评】流程图法的优点在于将原理看不见的思维过程变得看得见，让学生可以模仿，学生也很容易比较哪一种流程更简洁、直截了当，便于优化整体过程。

总之，对于几何证明题，不管简单与难，关键是要学会分析，如何分析？拿到一个题目，首先要看达成目标是什么（比如：证线段相等，证角相等还是其它什么等等）；然后根据达成目标，结合图形特征（比如：目标线段在不同的三角形（或直角三角形）中，或同一个四边形中等等），去选择证明思路（证明所在三角形全等，证明特殊四边形等等）；再根据大致思路、题干已知和图形已知去寻找需要满足的条件；最后结合找到的条件（直接条件或做准备条件），遵循先做准备后用的原则，写出证明过程。

流程图分析的核心是从证明题的证明目标对象出发，呈现出对问题的思考路径和具体思考方法，从而完成题目的证明过程。流程图分析的关键是围绕出发点，结合图形特征，寻找与结论相关的图形关系（如从形状初步判断线段所在的两个三角形是否具有全等关系，或所要证的线段在同一个四边形中且又是对边关系时要证相等或平行可以考虑证所在四边形是平行四边形等）。一种流程对应着一种思路，一种思路对应着一种证明方法，对照相应思路结合已知条件（题干已知和图形已知）寻找直接条件（是所证全等三角形的边或角，所证四边形的边或角等）和间接条件（或叫作准备条件）。

对于这种流程图分析方法，初学时学生会觉得困难，可能还会嫌麻烦，但是学生一旦入门，他就会觉得证明思路清楚，条理清晰，书写证明过程很得心应手，且过程简洁明了。同时还培养了发散性思维，也很容易优化证明过程。故虽然初学困难，也很有必要掌握这种分析方法，其实熟练了也不一定要画出流程图，也可以换成文字进行书写。

学习在于积累，方法在于总结。千里之行，始于足下。一种方法的积累只有通过多次的演练积累才可以灵活应用。笔者在此只能起到抛砖引玉的作用，基本功的训练还在于学生、老师们平时的不断积累。