变压器等效电路结合磁链法推导变压器短路电抗计算公式

变压器等效电路结合磁链法推导变压器短路电抗计算公式

周艳松

中铁电气工业有限公司保定铁道变压器分公司   河北省保定市  071000

摘要：本文介绍了一种推导变压器短路电抗计算公式的方法。

关键词：短路电抗；变压器等效电路；磁链

0引言

阻抗电压又称短路阻抗，是变压器的一项非常重要的参数。如果把变压器的二次侧短路，在一次侧施加一个比额定电压小很多的电压，如果施加的电压恰好使各绕组中的电流达到额定值，那么施加的这个电压就叫做变压器的阻抗电压。

工程上阻抗电压通常用标幺值表示，阻抗电压的标幺值是指阻抗电压占施压侧额定电压的百分比。

如果把变压器的一次侧短路，在二次侧施加电压，同样有个合适的电压可以使各绕组中的电流达到额定值，这个电压也叫做阻抗电压。一般情况下在不同侧施压测得的阻抗电压的电压值是不一样的，除非这个变压器的变比是1∶1。但是如果用标幺值表示，在不同侧施压测得的阻抗电压标幺值确是相等的。

当然也可以用欧姆值来表征变压器的短路阻抗特性。阻抗电压的电压值除以施压侧的额定电流，就得到一个欧姆数值，我们通常称它为折算到施压侧的阻抗电压欧姆值。基于此，阻抗电压也可以叫做短路阻抗。事实上，短路阻抗近似可以看做是一个电阻和一个电感的串联，这个电阻叫做短路电阻，电感的电抗值被称为短路电抗。一般的变压器短路电抗的数值远远大于短路电阻，短路电抗的数值在阻抗电压中起主导作用。因此，计算短路电抗就有非常重要的意义。

虽然工程上已有变压器的短路电抗计算公式，但很少有文献给出该公式的推导过程。一些外文翻译文献中介绍过该公式的推导思路，但相对难理解。本文给出了一种变压器等效电路结合磁链法推导变压器短路电抗计算公式的方法，可以帮助变压器从业人员更轻松地理解和运用该公式。

1变压器等效电路下的漏电抗折算

经典的电机学理论中单相变压器原、副边等效电路如下图1所示

图1 变压器原、副边等效电路

其中和为一次侧的电阻和漏电抗，和为二次侧的电阻和漏电抗，是负载。

将二次侧归算到一次侧后的“T”形等效电路如图2所示

图2 变压器“T”形等效电路

其中变压器二次侧的漏电抗与其归算到一次侧之后的电抗值有如下关系

   （1）

其中和分别为一次绕组和二次绕组的匝数。

图2中是铁耗等效电阻，是激磁电抗。由于激磁电流占一次侧额定电流的比例很小，在工程实际中可以忽略。那么“T”型等效电路就化成如图3所示的简化等效电路。

图3 简化等效电路

变压器的短路电抗

   （2）

将式（1）带入到式（2）中，得

    （3）

运用磁链法分别计算和，即可求得变压器的短路电抗X。

2构建模型

以单相变压器为例，图4画出了一个铁心柱上的绕组分布和漏磁情况。二次绕组在内，一次绕组在外。只与一次绕组交链的磁通产生，而这一部分磁通又分为与整个一次绕组全部交链（图4中磁路6和磁路7）和与一次绕组的部分匝数交链（图4中磁路5和磁路8）两种情况。只与二次绕组交链的磁通产生，而这一部分磁通又分为与整个二次绕组全部交链（图4中磁路1和磁路3）和与二次绕组的部分匝数交链（图4中磁路2和磁路4）两种情况。

图4  漏磁示意图

在推导漏抗公式之前，先对模型做如下假设：

1. 假设这个单柱上的两个绕组就是一个完整的变压器，其他铁芯柱上无绕组，事实上如果其他的铁心柱上有和此铁心柱上完全相同的绕组（单相变压器两个铁心柱的一次绕组可能采用并联或者串联，二次绕组可能采用并联或者串联；三相变压器三个铁心柱的一次绕组可能采用星形接法或者三角形接法，二次绕组也可能采用星形接法或者三角形接法）都是不影响最后得到的短路电抗标幺值的。
2. 某一漏磁通路中，磁路既有通过铁磁性材料硅钢片的部分也有通过非铁磁性材料的部分。因为铁芯硅钢片的磁导率远大于非铁磁性材料的磁导率，由磁通连续性原理和安培环路定理，可以得知某一漏磁通路中硅钢片中的磁势降其实很小，磁势几乎全部降落在非铁磁性材料中。
3. 假设变压器线圈的高度远大于线圈的幅向尺寸，也远大于线圈端部到硅钢片的距离。漏磁在绕组和主通道中几乎是平行于线圈轴向。结合上一条的假设，就可以认为磁势全部落在绕组高度（有工作电流的有效高度）范围内。事实上变压器内除了纵向漏磁还有横向漏磁，但是横向漏磁远小于纵向漏磁，因此忽略横向漏磁的影响。
4. 假设电流在绕组的幅向尺寸上是完全均匀分布的。
5. 假设与一次绕组全部交链的磁路和与二次绕组全部交链的磁路分界面如图5中所示。分界面以内的磁通是与二次绕组相交链的，分界面以外的磁通是与一次绕组相交链的。事实上我们并不清楚分界面的真实位置，但是通过后面的推导可以知道分界面的具体位置并不影响最终的计算结果。

在上述假设的基础上建立模型：

1. 建立坐标系，以二次绕组内表面处为x轴0点处，在此沿幅向增大的方向为x轴正方向。整个计算过程中字母代表的各物理参量的单位均采用国际通用单位。
2. 定义尺寸：

二次绕组的幅向尺寸；一次绕组的幅向尺寸；主通道幅向尺寸；二次绕组外表面到假想分界面的幅向尺寸

；二次绕组内径；一次绕组平均直径；二次绕组平均直径；主通道平均直径；绕组高度h。

图5  模型图

3数学推导

画出与二次绕组相交链的漏磁磁势随位置x的变化趋势图，如图6

图6  二次绕组漏磁磁势随位置x的变化趋势

画出与一次绕组相交链的漏磁磁势随位置x的变化趋势图，如图7

图7  一次绕组漏磁磁势随位置x的变化趋势

x从0到范围内的漏磁是与二次绕组相交链的（包括与二次绕组部分线匝交链和全部线匝交链两种情况），其磁场强度：

          （4）

x从到范围内的漏磁是与一次绕组相交链的（包括与一次绕组部分线匝交链和全部线匝交链两种情况），其磁场强度：

(5)

其中和分别是一次绕组和二次绕组的额定电流，h是绕组高度（有工作电流的有效线圈高度）。

磁通密度与磁场强度的关系：

  （6）

为空气、变压器油或者绕组的磁导率，近似等于真空磁导率。

坐标x处宽度dx的小磁通管环内的磁通

   （7）

二次绕组中与坐标x（x取值范围0到）处宽度dx的小磁通管环内的磁通相交链的线圈匝数：

   （8）

一次绕组中与坐标x（x取值范围到）处宽度dx的小磁通管环内的磁通相交链的线圈匝数：

（9）

磁链与小磁通管环内的磁通和匝数的关系：。

综合式（4）、（6）、（7）、（8）可得与二次线圈交链的总磁链：

               （10）

二次绕组的漏电抗：

     （11）

其中f为额定频率。

综合式（5）、（6）、（7）、（9）可得与一次线圈交链的总磁链：

         （12）

一次绕组的漏电抗：

  （13）

式（3）、（10）-（13）联立，可得变压器的短路电抗：

      （14）

式（14）并不含，可见短路电抗值与假想分界面的位置并没有关系。

因，，，整理式（14）得

（15）

因为的数值相对于其他几项的数值较小，工程上经常省略掉这两项，于是得

  （16）

工程上习惯用标幺值表示短路电抗的大小，

  （17）

其中为一次侧的额定电压，为线圈的匝电压。

公式（16）带入代（17）中得，

（18）

上述的推导过程是假设变压器线圈的高度远大于线圈的幅向尺寸，也远大于线圈端部到硅钢片的距离。实际中的变压器很难做到像假设中那样理想，线圈的幅向尺寸和线圈端部到硅钢片的距离相对于线圈的高度来说并不是可以忽略不计的，这就导致了公式（18）有误差，需要通过一个修正系数来修正，工程上

（19）

其中ρ为修正系数，一般变压器手册中都会给出该系数的工程计算用公式。ρ严格的公式推导是一个复杂的过程，本文从略。

4结束

结合变压器等效电路并利用漏电抗在变压器等效电路中的折算关系，使磁链法推导变压器短路电抗变得更加容易理解。这种方法的推导过程也有助于在变压器设计和试验过程中对变压器短路电抗相关数据进行分析。

参考文献：[1]路长柏，朱英浩 等. 电力变压器计算. 哈尔滨：黑龙江科学技术出版社 1986

[2]李永刚，李俊卿，孙丽玲. 电机学.2008