“趋于”乎 还是“等于”乎？——数学分析2020年全国理综Ⅰ卷第21题

“趋于”乎 还是“等于”乎？——数学分析2020年全国理综Ⅰ卷第21题

周传娟

（当涂第一中学  安徽  马鞍山  243100）

摘要：通过对2020年全国高考新课标卷Ⅰ（理综）第21题中U形金属框驱动导体棒的物理数学分

析，试图清晰呈现“直线型电动机”启动及运动过程。

关键词：电磁驱动  相对运动  安培力  阻力  直线型电动机  速度  加速度  函数。

    “电磁驱动”是人类有效利用能量的里程碑。具体说，如果磁场相对导体运动，在导

体中产生感应电流，感应电流使导体受到安培力作用，安培力就会使导体运动起来。通常电

磁驱动分“直线型”和“转动型”两种类型。笔者下面只对2020年理综Ⅰ第21题“直线型电动机”的运动作数学分析。

1原题呈现

【题目】如图，U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直。ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略。一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保持良好接触，且与bc边保持平行。经过一段时间后

A．金属框的速度大小趋于恒定值

B．金属框的加速度大小趋于恒定值

C．导体棒所受安培力的大小趋于恒定值

D．导体棒到金属框bc边的距离趋于恒定值

2  常规分析

首先，拉动的金属框相当于“发电机”，是电源；其次，导体棒MN通电受安培力被驱

动，相当于是“电动机”；更由于两者都在做直线运动，故称之为“直线型电动机”。

一般而言，由于金属框和导体棒开始均静止，而金属框受到恒力的作用，故金属框和导体棒均做加速直线运动，回路中的感应电流，式中、分别为金属框和导体棒切割磁感线的速度，、分别为导体棒跨轨有效长度和电阻，为磁场的磁感应强度，则导体棒所受安培力大小为。 再记金属框和导体棒质量分别为、，对于金属框，，对于导体棒，，考虑到金属框开始的加速度比导体棒的加速度要大，所以两者的速度之差逐渐增大，加速度之差逐渐减

小，直到两者加速度相等时，它们的速度之差就保持不变了。

3  数学分析

笔者为了“探究”选项中关于“趋于”的真实含义，尝试作如下数学分析。

3.1 牛顿第二定律

金属框：由牛顿第二定律得     ……（1）

导体棒：          同理有         ……（2）

将，并记，得到，

两边积分并取初值可得到两者速度之差表达式为

   ……（3）

于是，两者加速度之差表达式为

   …… （4）

根据函数知识可知，随增大而增大，随增大而减小，且当时，就会有趋于恒定；亦趋于恒定。

3.2 动量定理

金属框：由动量定理得    ……（5）

整合（3）与（5）式可得金属框速度表达式为

  …… （6）

导体棒速度表达式为

  …… （7）

于是，金属框所对应的加速度为

 …… （8）

导体棒所对应的加速度为

  …… （9）

由此可见，金属框与导体棒将一直做加速直线运动。金属框加速度由大变小趋于一恒

定值，导体棒加速度由小变大也趋于同一恒定值。换言之，两者运动都是渐变“趋于”恒

定加速度的运动过程，而不是突变“等于”恒定加速度的运动过程。因此题目选项中用“趋

于”作设问完全正确。不过，题中要是加上“忽略相对论效应”可能会更妥当些。

4  原题拓展

当然，原题只是个理想模型。现将金属框所受的动力和阻力合为恒力，导体棒所受阻力设为恒力，我们来重新讨论一下结果。

仿照上述分析过程，会有

再记

整合两式可得，，

注意，上述已改设导体棒刚启动为时刻，金属框初速。

结论一：

当时，导体棒不启动，金属棒以匀速运动，此装置只是个发电机；

结论二：

当时，金属框和导体棒都作加速直线运动，且当时，会有，；

结论三：

让导体棒启动到一速度后，再度调整金属框合力，终会有，且，即两者将做有一定“速度差值”的匀速直线运动。这也是“直线型电动机”

一种典型启动及运行模式。

5  结语

一年高考已落幕，来年高考又启程。笔者通过对2020年全国理综卷Ⅰ第21题所做的数学分析及其拓展，是想让读者认识到，凡涉及函数的物理过程都是非线性的过程，并且当时，就有这一显明性质。

2022年12月19日