基于度量本质 提升整体思维——《弧长与扇形面积》教学设计与思考

基于度量本质 提升整体思维——《弧长与扇形面积》教学设计与思考

刘世雄

福建省厦门双十中学 361003 

笔者所在学校进行“教学大比武”，笔者作为选手执教了义教版第24章“ 弧长和扇形面积”这一节，下面以本节课教学设计为例谈谈感受与思考.

一、教材内容分析

弧长公式和扇形面积公式是学习了圆的性质以及与圆有关位置关系等相关内容后，进一步学习圆中的有关计算.本课是学生第一次涉及封闭曲线的度量问题，在公式探究的过程中整体上注重知识的前后逻辑，从中体会度量的本质——先确定单位，再计算相关对象包含几个度量单位.从而明白确定度量单位的必要性.

二、学情分析

学生已经学过圆的周长和面积公式，同时也掌握了圆的有关性质等内容，通过“弧”和“扇形”的定义可以感知弧长和扇形与圆的关系就是部分与整体的关系,从而贯通了公式的来龙去脉，不是仅停留在直接套用公式的低阶思维水平，而是厘清知识间的前后逻辑联系，以类比迁移为探究方法以期形成高阶思维.

三、教学重、难点

重点：弧长公式和扇形面积公式的推导及简单应用.

难点：弧长公式和扇形面积公式的联系.

四、教学过程

（一）创设情境

问题1：校运会上，100米比赛选手都站在同一起跑线上，200米比赛选手却没有站在同一起跑线上，这是为什么呢？

【设计意图】100米跑道是直道，起点和终点在同一直线上可以保证选手跑过的路程相同；200米有部分弯道，生活经验可知外道比内道跑过的路程大，故而同一起跑线上起跑就不公平.以贴近学生熟悉的校园操场跑道为情境引发学生思考，如何刻画弯道的长度？点明课题——从度量角度考虑求弧的长度.

问题2：什么是弧？它与圆有怎样的关系？

【设计意图】从“弧”的概念出发——圆上任意两点间的部分.感受弧与圆周的关系就是部分与整体的关系，自然而然联想到弧的长度与圆的周长密切相关，从而认识到弧长公式的本质.

（二）探究公式

1.弧长公式的探究

弧长是圆周长的一部分；弧长应怎样计算？它们与圆的周长之间有怎样的数量关系呢？

（1）探究：在变化过程中出现几个特殊图形 ——圆、半圆、四分之一圆，你能分别求出它们的弧长吗?

特殊图形：                                                    

（2）1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角所对的弧长是多少？

【设计意图】从特殊图形入手，再到一般情形的探究，学生可以更加明白弧长公式的来龙去脉，参与弧长公式的生成，知其然知其所以然，防止直接将弧长公式抛给学生将新课演变为操练课，同时探究过程也为后续扇形面积公式的推导做好类比迁移提供范例.

（3）小结：

*可以发现，弧长除了与弧所对的________大小有关，还与__________有关.

（4）思考：探索公式过程中，1°的圆心角所对的弧长具有怎样的作用？

【设计意图】在公式探究的过程中整体上理解度量的本质——先确定单位，再计算相关对象包含几个度量单位.

（5）练习：

①如果弧所对的圆心角为40°，半径为3，那么弧长为___________.

②如果弧长是4π cm，弧所对的圆心角为40°,那么弧所在圆的半径为__________.

【设计意图】通过练习，学生能熟练掌握弧长公式中l，r，n三个量的转关系——知二求一，只要知道其中两个量就可以求第三个，渗透方程思想.

例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L.

【设计意图】在新情境中尝试应用新知，发展应用能力.

2.扇形面积的探究

(1)问题：什么是扇形？它与圆有怎样的关系？

【设计意图】从“扇形”的定义出发——由圆的两条半径和弧所围成的封闭图形，类比封闭图形三角形的面积可以度量，因此猜想扇形面积可以度量.再者扇形构成要素与圆密切相关，自然而然扇形面积可以从特殊的在几个特殊图形的面积出发探究.

（2）探究：类比弧长的探究过程，请思考如何进行扇形面积公式的推导？

考虑几个特殊图形 ——圆、半圆、四分之一圆，你能分别求出相对应的扇形面积吗?

特殊图形：                                                    

【设计意图】启发学生学会类比迁移，感受数学的学习方法.

（3）小结：设扇形面积为S，圆心角的度数为n°半径为r，则

（4）思考：探索公式过程中，1°的圆心角所对的弧长具有怎样的作用？

【设计意图】再次通过思考理解度量的本质——先确定单位，再计算相关对象包含几个度量单位.

（5）练习：

①如果扇形的半径为3，圆心角为150°，那么该扇形的面积为_____________.

②如果扇形的面积为2π，扇形所对弧长为2π，那么扇形所对的圆心角为_____________.

3.弧长与扇形面积的关系

(1)思考：弧长与扇形面积都与________、________有关，那么弧长与扇形面积间有何关系？

【设计意图】弧长与扇形面积

都与圆心角和半径有关，四个量S、l、r和n中，已知r和n可以求S、l.类似这种知二求二，能否用其中的任意两个量来表示剩余两个量呢？即初步感知用基本量表示其余量.

(2)小结：设扇形面积为S，弧长为l，半径为r，则

（3）练习：

如图，打开扇形纸扇，∠BAC=120°，AE的长为30 cm，AC的长为 50 cm，求扇面的面积.

【设计意图】在新情境中尝试应用新知，发展应用能力.

（三）总结归纳

问题：你如何理解“弧长和扇形面积公式”的来龙去脉？

【设计意图】总结知识的同时，注意学习过程中所涉及的数学思想方法.

（四）教学反思

为让学生对“弧长和扇形面积公式”本质上有更深的理解,本教学设计注重从“弧”和“扇形”的定义出发，厘清数学知识的逻辑结构，感知弧长和扇形与圆的关系就是部分与整体的关系,加强知识间的联系，使得对公式的探究水到渠成.获得公式后，通过对度量单位的明确突出了度量的本质，实现高阶思维的形成.

【参考文献】：

[1] 中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］北京：北京师范 大学出版社，2022

[2] 章建跃 章建跃数学教育随想录 [M]杭州：浙江教育出版社，2017