突破思维方法，探究一般结论------以2020年全国高考数学山东卷第22题为例

突破思维方法，探究一般结论------以2020年全国高考数学山东卷第22题为例

隆建军

四川省攀枝花市大河中学校 四川攀枝花 617061

摘要：圆锥曲线定点、定值问题是高考中的重点和热点问题之一，是考生获得高分的关键所在，该类问题将函数与解析融为一体，一般综合性和灵活性都较强，对考生的数形结合能力、逻辑分析能力和复杂运算求解能力等要求较高，本文对2020年全国高考数学山东卷第22题从不同角度进行解法探究与解后思考，并得到了该问题的一般性结论.

关键词：思维方法；2020年全国高考山东卷；解法探究

圆锥曲线定点、定值问题是高考中的重点和热点问题之一，是考生获得高分的关键所在，该类问题将函数与解析融为一体，一般综合性和灵活性都较强，对考生的数形结合能力、逻辑分析能力和复杂运算求解能力等要求较高，本文从2020年全国高考数学山东卷第22题的解答出发，给出了有别于官方参考答案的解答方法，将试题进行变式引申并拓展到双曲线和抛物线.

1.试题呈现与分析

高考题：已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求的方程；

(2)点在上，且，为垂足.证明：存在定点，使得为定值.

试题分析：这是一道经典的圆锥曲线定点、定值问题，该问题的综合性和灵活性都较强，重点考查数形结合的数学思想和考生的分析理解能力，逻辑思维能力、运算求解能力，对考生综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力起到了很好的考察作用.

解析：(1)，过程略；

(2)方法1：直线定点问题的常规方法为第一步:假设直线为，联立方程组得到根与系数关系；第二步：由，得到，从而得到关系式：或；第三步：将或带入，得，从而得到符合条件的定点坐标，又由为直角三角形，且，要使为定值，则只需要为的中点，这里借助直角三角形这一创新思考方法，是本题的难点也是关键点.

图1

设直线的方程为：，

由，消去，并整理得，由韦达定理有：，

------①，由已知条件，可得，即有

，又因为，所以有

，整理可得

，把①带入该方程，并整理可得

，分解因式可得，所以或，解得或，则直线的方程为：或，即直线过定点或，又因为点不在直线上，故直线过定点,又由为直角三角形，且，要使为定值，则只需要为的中点，故存在定点，使得.

方法2：利用方法1得出直线的方程，利用交轨法求出动点的轨迹是一个以，点为圆心，半径为的圆，所以需满足点为圆心时，是半径，即为定值，

所以设直线的方程为：，由方法一知满足条件的直线的方程为：，设动点，则有

，消去可得，配方可得：，故动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，所以只需满足点为圆心时，等于半径，故存在定点，使得.

方法3：由已知条件，，我们思考能否将化成更简洁的形式，于是联想到可以通过坐标平移，把椭圆方程和直线方程做适当平移，从而构造出关于的齐次式，依题意分析可知，直线不经过原点，设.

①当直线的斜率存在时，设的斜率分别为，则有，，由可知，满足：，设平移坐标为，则椭圆方程可化为：

，即平移后的椭圆方程为：

设直线的方程为：，带入平移后的椭圆方程，并构造齐次式，可得：

，

化简整理得：，在方程两边同除以，则有

，根据韦达定理可得

，解得，则直线的方程为：

，整理可得：，令，解得，

所以直线过定点

②当直线的斜率不存在时，不失一般性，不妨假设，易知，此时直线方程为，仍然经过点，

综合①②可知，直线始终经过定点，又由为直角三角形，且，要使为定值，则只需要为的中点，故存在定点，使得.

拓展探究

沈文选,杨清桃在问[1]中指出“解题活动是数学学习的主要活动，也是培养学生逻辑思维能力、数学直觉的主要阵地”，本题的结论是由具体的椭圆方程和定点得到的，那么，对于一般的椭圆方程和另外的点作一个直角弦，是否还过定点呢？同时，是否存在定点，使得为定值呢？我们利用上题的方法1作进一步探究后发现，可以把上述高考试题的结论进行推广，得到椭圆、双曲线和抛物线相应的一般结论，仅供参考.

结论1：设点是椭圆上的一点，过点作两条互相垂直的弦，则直线横过定点，过点作，为垂足，且存在定点，使得.

证明：过程略，具体方法可以参考前面的证明。

结论2：设点是双曲线上的一点，过点作两条互相垂直的弦，则直线横过定点，过点作，为垂足，且存在定点，使得.

结论3：设点是抛物线上一点，过点作两条互相垂直的弦，则直线横过定点，过点作，为垂足，且存在定点，使得.

过圆锥曲线上一点作两条直线，分别与圆锥曲线交于另外两点，当的斜率之和定值，或斜率之积定值时，可以设直线与圆锥曲线联立方程组，根据韦达定理建立之间的关系，就可以得出直线所过的定点，还可以采用建立二次齐次式方程，直接得到直线的斜率的韦达定理，得出的关系式，从而得出直线所过的定点.

参考文献：

[1]沈文选,杨清桃.数学解题引论[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2017.07.