南通市海门证大中学,226100
在学习过程中,数学与生活为非对立面。数列作为高中数学中的一个重要组成,在生活中也有着广泛的应用。文章通过对数列在分期付款、植树和概率问题上的应用解析,旨在于吸引同学们对数列学习的兴趣,提高学生的学习效率。
一、在分期付款上的应用
随着“分析付款”理念被大众所接受,越来越多的人选择分期付款。但是在错综复杂的还贷方式中,分期单利公式为、复利公式为
(
是本金、
是利息、
是时间)就是学生熟知的等差数列、等比数列。
例1:张伟年初向银行贷款10万元买房,选择10年期偿还,偿还贷款的方式是:分10次等额归还,每年一次,并从借后次年的年初开始归还。若10年期贷款的年利率是4%,且每年的利息均按复利计算,问每年应还多少元?
解析:由题可知,10年后的10万元的价值为元。设每年的还款
元,则第一次偿还的
元,在贷款全部付清时的价值为
元;第二次偿还的
元,在贷款全部付清时的价值为
元;……第十次偿还的
元,在贷款全部付清时的价值为
元。所以
=
=
,得
元。所以每年应还12330元。
反思:首先根据题干信息,建立起10年后的本息和与张伟贷款10万元分10次还款的本息和的等量关系。其次可以清楚看出张伟贷款10万元分10次还款的本息和是一个典型的等比数列,通过运用等比数列和公式简化运进而得到最后的值。对于这种题目,建立关系再判断可以快速解题得分。
二、在植树问题上的应用
当逐渐恶劣的环境受到重视,植树是其中的一个环节方法。生活中也遇到连年栽树的情况,以第一年为开始,接下来几年以同样数额递加就是典型的等差数列;或者以同样额数累乘就是典型的等比数列。有规律的植树问题就可以用到数列。
例2:某地区有荒山2200亩,从2000年开始每年年初在荒山上植树造林,第一年植树100亩,以后每一年比上一年多植树50亩。若所植树苗全部成活,则到哪一年年初植树后可以将荒山全部绿化?
解析:设植树年后可将荒山全部绿化,则第
年初植树数量为
。由题意得,数列
是首项为
,公差
的等差数列。所以
,又因为
,所以
,即到2007年初植树后可以将荒山全部绿化。
反思:分析题干,对题干中“第一年植树100亩,以后每一年比上一年多植树50亩”转化成首项为,公差
的等差数列再计算。对于这种题目,题干通常隐晦给出
这些元素,并表达出等差数列或者等比数列。
三、在概率问题上的应用
数列与概率,这两个在数学教材上相隔胜远的两个知识点亦可以相辅相成。以熟知的游戏为辅,构建等比数列或者等差数列的模型。
例3:二人拿出两枚骰子做抛掷游戏,规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时,原掷骰子的人再继续掷;若掷出的点数之和不是3的倍数时,就由对方接着掷.第一次由
开始掷,若第
次由
掷的概率为
,求
。
解析:第次由
掷这一事件,包括第
次由
掷、第
次继续由
掷这一事件以及第
次由
掷、第
次由
掷这一事件,则两事件发生的概率分别是
。又因为两事件互斥,通过事件互斥定义可得
①。又因为
,则设
,所以
②。将①②进行对比得
,所以
,即
。则
是
,
的等比数列,所以
,即
。
反思:通过对二人掷骰子情况进行分析得出互斥的两事件。根剧事件互斥定义得出等式。通过对等式的简化得出一个关于
的数列再得最后结果。像这种题目,概率中有数列,构建两个模型进行解答,思路清晰、目标明确。
综上所述,文章通过数列思想在分期付款、植树和概率问题上的应用,展现数列思想的广泛性。在学习的过程中,分析判断题型,归类数列思想的运用,从而得到分数。
参考文献:
[1] 邹杨月.数列在银行储蓄中的应用[J].中国对外贸易.2011,(4).DOI:2011.04.097.
[2] 苏晨,陈天荣.黄金分割在艺术设计中的应用[J].美术大观.2008,(9).125.
[3] 张柏友.按揭贷款中的数学问题[J].高中数学教与学.2002,(2).57-58.